第五章 微专题1　曲线运动的典型问题

微专题1

曲

线

运动的典型问题

[定位·学习目标]1.通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思

想。2.能利用运动合成和分解的知识分析小船渡河类问题，会求渡河的最

短时间和最短位移。3.运用运动的合成与分解的规律来解决关联速度的实

际问题。突破

·

关键能力情况图示说明渡河时间最短当船头方向垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为

「要点归纳」小船在有一定流速的水中渡河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动速度v水)和船相对水的运动(船在静水中的速度v船),船的实际运动是合运动(合运动的速度为v合)。要点一小船渡河问题渡河位移最小当v水<V船且满足v水一船cos

θ=0时，合速度垂直于河岸，小船渡河位移最小(等于河宽d)。此时渡河时间当v水>V船且船头方向(V船方向)与合速度方向垂直时，小船渡河位移最小，其大小为而渡河时间「典例研习」[例1](渡河的最短时间问题)(多选)(2025

·福建福州阶段练习)“十月里来秋风

凉，中央红军远征忙；星夜渡过于都河，古陂新田打胜仗。”这是在于都县长

征第一渡口纪念碑上镌刻的一首诗。假设船在静水中的速度为2m/s

保持不变，于都河宽600m,

水流速度为1m/s且处处相等，则([A]船渡河的最短时间为300s[C]船在河流中的航行速度大小一定为√5m/s[D]小船能到达正对岸[B]水流速度变大后，若保持船头朝向与河岸夹角不变，过河时间变长【解析】当船头始终垂直于河岸渡河时，渡河时间最短，其大小为S=300s,故A正确；若保持船头朝向与河岸夹角不变，则船速在垂直于河岸方向的分

速度不变，无论水流速度如何变化，渡河时间不变，故

B

错误；根据运动的合成可

知当船头与河岸方向垂直时，船在河流中的航行速度大小为

√5

m/s,当船头与

河岸方向的角度改变时，船在河流中的航行速度大小改变，故

C错误；因为船速大

于水流的速度，当船头与上游河岸夹角为60°时，小船能到达正对岸，故D正确。[例2](渡河的最小位移问题)(2025

·

山西太原阶段练习)如图所示，老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为d=60m

的河面上驾驶电动

小游船进行学习体验游戏，水流的速度为v₁,其大小可以通过闸门调节；游船

在静水中的速度为v₂,其方向决定于船头的朝向。游戏时，小组同学驾驶小游

船从河的一边渡到河对岸，取sin37°=0.6,cos37°=0.8。(1)若v₁=4m/s,v₂=3

m/s,则当小游船过河时间最短时，其运动轨迹与河岸的夹角及通过的位移为多少?【答案】(1)37°

100m【解析】(1)船头的指向垂直于河岸方向时，过河时间最短，即分速度

v₂

的方向垂直于

河岸，水流速度为v1,速度矢量图如图甲所示。设运动轨迹与河岸的夹角为θ₁,有

得θ₁=37°,过河通过的位移为甲(2)若v₁=4

m/s,v₂=5m/s,则当小游船过河位移最小时，其船头朝向与河岸的夹角及过河时间为多少?【答案】(237°

20

s【解析】(2)由于v₂>V₁,当小游船的实际速度即合速度

v垂直于河岸时，过河位移最小，

速度矢量图如图乙所示。设船头的指向即

v₂的方向指向上游方向与河岸夹角为θ₂,有

得θ₂=37°,过河时间为由图可得

v=v₂sin

θ₂,联立解得t=20s。乙(3)若v₁=5m/s,v₂=3

m/s,则当小游船过河位移最小时，其过河通过的最小位移为

多

少

?【答案】

(3)100m【解析】(3)由于v₂<v₁

,只有当合速度

v

的方向与河岸夹角a最大，即

v₂与OC

垂直时过河位移最小，速度矢量图如图丙所示。根据几何关系有得α=37°,

所以最小位移为

丙·

规律方法·小船渡河问题中船速小于水速时的动态分析(1)该类问题类同于物体受两个力的作用，其中一个力不变，另一个力为变力

时合力的变化情况，可应用动态矢量三角形进行分析。(2)由表示水流速度v水和船速船的矢量首尾相接，并从v水首端向v船末端作矢量，构成矢量三角形。保持水速矢量不动，使船速矢量与之首尾相接，且绕水速矢量的末端转动，如图所示，则船速矢量的末端在一个圆周上移动，即合速

度矢量的末端也就在这个圆周上移动。(3)当合速度vLv船时，合速度v与河岸夹角最大，船的位移最小。H「要点归纳

」1.“关联物体”指物体甲通过绳或杆拉物体乙运动的问题(此处为了方便，将绳或杆统称为“绳”),需要注意以下两点：(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和

垂直于绳方向。(2由于绳不可伸长，

一根绳两端物体沿绳方向的速度相等。要点二关联物体的速度问题情境图示定量结论v=v=V物cosθB=V=VAcos

θ2.常见的速度分解模型V//=v'即v物cosθ=V物’cos

aV/=v即物cos

a=物'cos「典例研习」[例3](绳关联速度问题)(2025

·

黑吉辽内蒙古卷)如图，趣味运动会的“聚力建

高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方

向匀速下落，则(B[A]一直减小

[B]一直增大[C]先减小后增大

[D]先增大后减小【解析】设两边绳与竖直方向的夹角为θ,塔块沿竖直方向匀速下落的速度为

V块，将

v块沿绳方向和垂直于绳方向分解，将v

沿绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示，可

得

v

块cos

θ=vsin

θ,解得

由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知

v一

直增大，B

正确。高，其速度大小为v₁,已知此时轻杆与水平方向的夹角θ=30°,小球B的速度大小为v₂,则v₁

与v₂

的关系为(D)[A]v₂=√3v₁[B]v₁=√3v₂[C]v₂=2v₁

[D]v₁=V₂[例4](杆关联速度问题)(2025

·福建福州检测)如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA

和m

的两个小球A

和B(均可视为质点)。将其放在一个光滑球

形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时，小球A与球形容器球心等【解析】当轻杆到达位置2时，小球A

的速度v₁

竖直向下，由运动效果可知，速度v₁可分解成沿着杆与垂直于杆两方向，同时小球B的速度v₂

也可分解成

沿着杆与垂直于杆两方向，如图所示，由于A

、B两球在同一杆上，沿杆的分速度相等，则有

v₁sinθ=v₂sinθ,所以v₁=v₂,

选项D

正确。·规律方法

·解决关联物体速度分解问题的一般步骤(1)先确定合运动，物体的实际运动就是合运动。(2)确定合运动的两个实际作用效果，

一是沿“绳”方向的平动效果，改变速

度的大小；二是沿垂直于“绳”方向的转动效果，改变速度的方向。(3)根据平行四边形定则作运动关系的矢量图或矢量三角形。(4)根据几何关系确定合运动与分运动的关系方程。检测

·

学习效果1.

(2025

·

江西新余阶段练习)某同学设计了多个小船渡河的方案，用箭头表示小船及船头的方向，虚线表示船实际的运动方向，河水的流速恒定，下列小船渡河方案可行的是(C[A]

[B]

[C][D]下游

—

下

游

下

游

—.下

游

【解析】小船渡河时，同时参与两个分运动，为水流方向的运动和小船船头方向的运动，由于两个分运动不在同一直线上，由互成角度的两个分运动的合成规律可知，小船船头的方向与船实际的运动方向不可能在一条直

线上，故A

、B

错误；当小船的船头垂直于河岸、水流向右运动时，小船的实

际运动方向应沿下游方向，不可能沿上游方向，故C

正确，D

错误。2.

(多选)(2025

·

江苏南通阶段检测)如图所示，匀速向右运动的汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提升物块A,则A

到达滑轮之前(

BD)[A]做匀速运动[B]做加速运动[C]做减速运动[D]绳的拉力大于物块所受重力【解析】

对汽车的速度v沿绳子的方向和垂直于绳子的方向分解，如图所示，有v₂=vcosθ,v₁=vsin

θ,而物块上升的速度大小VA=v₂=vcos

θ,由于汽

车匀速向右运动，θ角变小，所以v₂

变大，物块A

向上做加速运动，绳的拉力

大于物块所受重力，A、C

错误，B、D

正确。3.

(2025

·

山东聊城期中)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼

面平台AB上，N端在水平地面上向右以vo匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B是(

(A

端靠近，平台高为h,当

CN=

√3h时，被救人员向B点运动的速率【解析】由运动效果可知，轻杆N

端的速度

vo分解如图，设此时

vo与杆的夹角为θ,则被救人员向

B点运动的速度等于

vo沿杆的分量，即

v人=v₀

cos

θ,根据几何关系解得

故

A

正确。4.

(2025

·

陕西渭南阶段检测)小物块置于倾角θ=45°的固定光滑斜面靠近斜面底端的C点，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着小物块与动力小车，滑

轮到地面的距离h=4m,小物块与滑轮间的细绳平行于斜面，小车带动小物

块使其以速度v₀=3

m/s沿斜面向上做匀速直线运动，小车从A点到B点的

过程中，连接小车的细绳与水平方向的夹角由θ₁=53°变化到θ₂=30°。取

sin

53°=0.8,小物块和小车均可视为质点。求：(1)小车在A点时的速度大小vA;【答案】(1)5

m/s【解析】(1)小车在