2026年高一数学寒假自学课（人教A版）专题02 不等关系与一元二次不等式重点题型全归纳（原卷版）

专题02不等关系与一元二次不等式重点题型全归纳

内容导航

串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：两个实数的大小比较

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法与0比较做商法与1比较

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

a

abab01(b0)

b

aa

ab1(a，b0)或1(a，b0)

bb

�−�<0

2、不等式的大小比较方法

（1）作差法比较大小的步骤

①作差；②变形；③判断差式与0的大小；④下结论.

（2）作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤

①作商；②变形；③判断商式与1的大小；④下结论.

注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大

小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘

积的形式，也可考虑使用作商法.

知识点2：不等式的性质

性质性质内容

对称性abba；abba

传递性ab，bcac；ab，bcac

可加性abacbc

可乘性ab，c0acbc；ab，c0acbc

同向可加性ac，cdacbd

同向同正可乘性ab0，cd0acbd

可乘方性ab0，nN*anbn

知识点3：一元二次不等式的概念

1、一元二次不等式的定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元

二次不等式．

2、一元二不等式的一般形式：ax2bxc0(0)，ax2bxc0(0)，(其中a0，a,b,c均为常数)．

3、一元二次不等式的解与解集

使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；

一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；

将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．

3、二次函数的零点

一般地，对于二次函数yax2bxc0，我们把使ax2bxc0的实数x叫做二次函数的零点．

4、三个“二次”之间的关系

对于一元二次方程2的两根为、且，设2，它的解按照

axbxc0(a0)x1x2x1x2b4ac0，

2

0，0可分三种情况，相应地，二次函数yaxbxc(a0)的图像与x轴的位置关系也分为

三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)

的解集．

知识点4：一元二次不等式的解法

1、一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤是:

（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;

（2）计算b24ac的值,并判断的符号;

（3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根;

（4）画出对应的二次函数的简图;

（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.

2、一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.

其中,①当0时,一元二次不等式ax2bxc0a0的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;

一元二次不等式ax2bxc0a0的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两

边,小于0取中间”;

2b

②当0时,一元二次不等式axbxc0a0的解集为xx;一元二次不等式

2a

ax2bxc0a0的解集为;

③当0时,一元二次不等式ax2bxc0a0的解集为R;一元二次不等式ax2bxc0a0

的解集为.

知识点5：一元二次不等式在R上恒成立的问题

a0ab0

（1）ax2bxc0在R上恒成立,则有:或;

b24ac0c0

a0ab0

（2）ax2bxc0在R上恒成立,则有:或;

b24ac0c0

a0

（3）一元二次不等式ax2bxc≥0在R上恒成立,则有:;

b24ac0

a0

（4）一元二次不等式ax2bxc≤0在R上恒成立,则有:.

b24ac0

知识点6：分式不等式的解法

各标准形式的分式不等式的解法为:

f(x)f(x)0f(x)0

（1）0与不等式组或同解,与不等式f(x)g(x)0同解;

g(x)g(x)0g(x)0

f(x)f(x)g(x)0

（2）≥0与不等式组同解;

g(x)g(x)0

f(x)f(x)0f(x)0

（3）0与不等式组或同解,与不等式f(x)g(x)0同解;

g(x)g(x)0g(x)0

f(x)f(x)g(x)0

（4）≤0与不等式组.

g(x)g(x)0

由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.

知识点7：绝对值不等式的解法

1、绝对值定义

x(当x0时)

|x|0(当x0时)

x(当x0时)

2、x表示实数x在数轴上所对应的点到原点的距离.因此，求不等式xa(a0)的解集就是求在数轴上

到原点的距离小于a的点所对应的实数x的集合.

xa的解集xa的解集

a0(a，a),aa,

a0R

a0,00,

【题型01比较大小】

1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）若x2aa2，ya22a3，则（）

A．xyB．xyC．xyD．x，y的大小关系无法确定

1

2．已知a是实数，则“a1”是“a2”的（）．

a

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知c＞1，且x＝c1－c，y＝c－c1，则x，y之间的大小关系是（）

A．x＞yB．x＝y

C．x＜yD．x，y的关系随c而定

【题型02不等式的性质】

1．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选题）已知abc，下列选项正确的是（）

11ab

A．B．

abc21c21

22

C．acbcD．a2bc

2．（25-26高一上·湖南长沙·月考）（多选题）下列说法中，正确的是（）

mtm

A．若m2n2，则|m||n|B．若mn0,t0，则

ntn

mn

C．若，则mnD．若mn,kt，则mknt

k2k2

3．（25-26高一上·四川遂宁·期中）（多选题）已知ab0，c0，则下列式子正确的是（）

11

A．cbcaB．

acbc

aacaba2b2

C．D．

bbc22

【题型03不利用不等式的性质求取值范围】

1．（25-26高一上·河北邢台·期中）（多选题）已知实数a,b满足2ab3,4ab5，则（）

A．a的取值范围为1,4

B．b的取值范围为3,1

C．3ab的取值范围为0,11

D．a2b2的取值范围为10,15

2．（多选题）已知3a10，5b30，则下列结论正确的有（）

b

A．210B．112ab50

a

23a22b

C．2ba20D．22

10b

3．（25-26高一上·河南·月考）若1ab1,0ab1，则7a3b的取值范围为．

y2

4．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知3x7,1y2，则的取值范围是.

x

【题型04解不含参数的一元二次不等式】

1．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）求下列不等式的解集：

(1)x2x30

(2)x22x10

(3)x25x70

2．（24-25高一上·全国·课后作业）解下列不等式：

(1)2x2x60；

(2)x26x9≥0；

(3)x22x30；

(4)4x24x10.

3．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）当x是什么实数时，下列各式有意义？

(1)x23x6；

(2)2x28x8．

【题型05分式不等式】

1

1．（25-26高一上·上海宝山·期中）不等式1的解集为．

x

2x

2．函数fx的定义域是.

2x1

3x

3．（25-26高一上·天津河北·月考）不等式1的解集为．

x1

2x

4．（25-26高一上·陕西榆林·月考）不等式0的解为.

3x22x

【题型06绝对值不等式】

1．（24-25高一上·上海·期中）不等式x1的解集是.

2．（25-26高一上·贵州遵义·月考）不等式3x11的解集是．

1

3．（25-26高一上·上海宝山·期中）不等式1x1的解集为A，则A．

2

4．（25-26高一上·上海·期中）不等式2x1x20的解集为.

5．（25-26高一上·上海·月考）不等式2x123x的解集为.

【题型07一元二次不等式求参数问题】

1．（25-26高一上·北京·期中）如果关于x的不等式x2axb0的解集是1,3，那么ab等于（）

A．7B．7C．1D．1

2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知不等式ax2bx10的解集为2,3，则不等式x2bxa0的解集

为（）

1111

A．,B．,,

2332

1111

C．,,D．,

2332

3．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为{x|2x3}，

则不等式cx2bxa0的解集为（）

1111

A．xxB．xx或x

3223

1111

C．xxD．xx或x

2332

4．（25-26高一·全国·假期作业）已知关于x的不等式x2(a1)xa0恰有四个整数解，则实数a的取值

范围是（）

A．{a∣5a6}B．a|4a3

C．{a|4a3或5a6}D．{a|4a3或5a6}

5．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）（多选题）已知关于x的不等式ax2bxc0的解集{x|x1或x2}，

则下列说法正确的是（）

A．a0B．axc0的解集为{x|x<2}

1

C．5a4b2c0D．cx2bxa0的解集为x|1x

2

【题型08解含参数的一元二次不等式】

1．解下列关于x的不等式x2xa0

2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）解不等式：x25ax6a20a0.

3．（24-25高一上·河南南阳·月考）解关于x的不等式：ax22a1x20.

4．（23-24高一下·全国·课堂例题）解关于x的不等式：x2ax10（aR）；

5．解关于x的不等式ax2x10aR.

【题型09一元二次不等式恒成立问题】

1．（24-25高一上·上海·期中）已知对于任意xR，kx22kxk20，则实数k的取值范围为.

2．已知“xR，不等式x24ax恒成立”为假命题，则实数a的取值范围为.

1

3．（25-26高一上·贵州遵义·月考）若函数fx的定义域为R，则实数a的取值范围.

ax22ax2

4．（25-26高一上·广东·期末）已知当x0,时，不等式x2mx90恒成立，则实数m的取值范围为．

5．（25-26高一上·天津·期中）已知函数f(x)x2ax1，对任意x[2,4]，f(x)0恒成立，则实数a的

取值范围为

6．（25-26高一上·安徽·期中）若关于x的不等式16kx28kx30在1,1上恒成立，则实数k的取值范围

是．

7．（25-26高一上·河北邯郸·月考）x2,,x24ax72a0恒成立，则实数a的最大值为.

8．（24-25高一上·吉林长春·月考）若不等式x2xaax2对a0,1恒成立，则实数x的取值范围

是．

【题型10一元二次不等式有解问题】

2

1．（25-26高一上·湖北十堰·期中）x0R，使x0mx040成立，求m的取值范围；

2．（24-25高一上·云南昆明·期末）若关于x的不等式x24x1ax0在区间1,4内有解，则实数a的取

值范围是．

14

3．（23-24高一上·河北唐山·期中）正数x，y满足1，且不等式xym28m有解，则实数m的

xy

取值范围是.

4．（25-26高一上·吉林·月考）若存在0x3，使不等式mxmx2成立，则m的取值范围是.

1．（25-26高一上·四川宜宾·月考）已知M2x22x5，Nx23x4，则M与N的大小关系为（）

A．MNB．MNC．MND．M=N

x6

2．（25-26高一上·陕西·月考）已知集合Axx12,Bxx0，则AB（）

x2

A．x2x1B．xx1或2x3

C．x3x3D．x3x2或x3

3．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式x2ax163x4a对任意a2,4恒成立，则x的取值范围

为（）

A．,83,B．,01,C．8,6D．0,3

4．（25-26高一上·四川凉山·期中）若m1xm210对一切m1,2恒成立，则实数x的取值范围（）

55

A．1,B．,C．0,1D．1,

33

5．（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知不等式x22m3x6m0的解集中恰好有两个偶数解，则实数

m的取值范围是（）

1

A．0,B．3,4

2

15

C．1,03,4D．0,,3

22

6．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式x22m1x4m0的解集中恰有4个整数，则实数m的

取值范围是（）

55

A．mm3B．mm3

22

115

C．m1mD．{m|1m或m3}

222

7．（多选题）下列命题为真命题的是（）

A．若ab，cd，那么acbd

B．若ab0，cd0，那么acbd

11

C．若ab0，那么

a2b2

cc

D．若abc0，那么

ab

8．（25-26高一上·云南昆明·期中）（多选题）已知ba0，m0则下列不等式成立的是（）

A．b2aba2B．a2b2

11aam

C．abD．

babbm

9．（25-26高一上·云南·期中）（多选题）若zxy0，则（）

xyxxzxy

A．xyB．x2yy2xC．D．

2yyzzxzy

10．（25-26高一上·海南海口·月考）（多选题）已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|x3或x4，

则下列说法正确的是（）