2026年高一数学寒假自学课（人教A版）专题01 集合与常用逻辑用语重点题型全归纳（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语重点题型全归纳

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：集合的含义与表示

1、元素

把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：a、b、c···）

2、集合

把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：A、B、C···）

3、元素的特征

确定性、互异性、无序性.

求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性.

4、元素与集合的关系

①属于：aA；②不属于：aA.

5、常用数集

①自然数集（包含和正整数）②正整数集或

N0NN+

③整数集Z④有理数集Q⑤实数集R

6、集合的分类

①有限集；②无限集；③空集.

7、集合的表示方法

①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用括起来.

例如1,3,5,7、2,4,6,8，

②描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xAP(x).

例如xZ10x20、xx2k1,kZ

③图示法（Veen图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.

8、常见集合的表示方法

①方程的解集：x2x30

②不等式的解集：x2x30

③函数自变量构成的集合：xy2x3

④函数因变量构成的集合：yy2x3

⑤函数图象上的点构成的集合：x,yy2x3

xy2

⑥方程组的解：x,y或(1,1)

xy0

⑦奇数集：xx2n1,nZ

⑧偶数集：xx2n,nZ

注：做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（xN、N、

Z、R···）.

知识点2：集合间的基本关系

1、子集

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.

记作：AB或BA读作：A包含于B或B包含A

①任何一个集合是它本身的子集.

②若AB，且BC，则AC.

2、集合相等

若AB，且BA，则AB.

①若AB，且BC，则AC.

②欲证AB，只需证AB，且BA.

3、真子集

如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A.

记作：AB或BA读作：A真包含于B或B真包含A

①若AB，且BC，则AC.

②若AB，且AB，则AB.

③和用于集合和集合之间，和用于元素和集合之间.

4、空集

不含任何元素的集合.符号：

①空集是任何集合的子集.

②空集是任何非空集合的真子集.

③解决有关AB、AB等问题时，一定要先考虑的情况，以防漏解.

5、子集个数与元素个数的关系

设有限集合A有n(nN)个元素,则其子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空子集个数是2n1，非

空真子集个数是2n2.

知识点3：集合的基本运算

1、交集

属于集合A且属于集合B.（A和B的公共部分）

记作：AB读作：A交B

含义：ABxxA,且xB

①ABBA；②AAA；③AA；

④(AB)A；⑤(AB)B；⑥ABABA.

2、并集

属于集合A或属于集合B.（包含A和B的所有元素）

记作：AB读作：A并B

含义：ABxxA,或xB

①ABBA；②AAA；③AAA；

④A(AB)；⑤B(AB)；⑥ABABB.

3、全集

研究问题中涉及的所有元素.符号：U

4、补集

由全集中不属于集合的所有元素组成的集合符号：ð

UA.UA

含义：ð且

UAxxU,xA

①ð；②ð；③ð；④痧；

UAUUUUUU(UA)A

⑤ð；⑥ð；

A(UA)UA(UA)

知识点4：充分条件与必要条件

1、命题

可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.

表示：“若p，则q”、“如果p，那么q”.其中p为命题的条件,q为命题的结论.

2、充分条件与必要条件

①“若p，则q”是真命题，即pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②“若p，则q”是假命题，即pq，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

判断充分条件、必要条件的三种方法：

①定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”

的真假；

②集合法：利用集合的包含关系判断；

③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若，，则

p1p2p2p3p1p3.

3、充要条件

如果“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题，即既有pq，又有qp，则可记作pq，这时称p

是q的充分必要条件，简称充要条件.

充分条件、必要条件的判断：

①pq且qpp是q的充分不必要条件

②pq且qpp是q的必要不充分条件

③pqp是q的充要条件

④pq且qpp是q的既不充分也不必要条件

4、全称量词

短语“所有的”“任意一个”通常叫做全称量词.符号：

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

“对M中任意一个x，p(x)成立”用符号记为：xM,p(x)

5、存在量词

短语“存在一个”“至少有一个”通常叫做存在量词.符号：

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

“存在M中元素的x，p(x)成立”用符号记为：xM,p(x)

6、全称量词命题和存在量词命题的否定

①全称量词命题xM,p(x)的否定为：xM,p(x).

②存在量词命题xM,p(x)的否定为：xM,p(x).

①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论.

②全称量词命题的否定是存在量词命题；

存在量词命题的否定是全称量词命题.

③一个命题和它的否定，只能是一真一假.

【题型01数集与点集】

π

1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①R；②2Z；③3N*；④3Q，其中正

2

确的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案.

ππ

【详解】对于①，为实数，而R表示实数集，所以R，所以①正确；

22

对于②，2为整数，而Z表示整数集合，所以2Z，所以②错误；

*

对于③，33为正整数，而N*表示正整数集，所以3N，所以③错误；

对于④，因为33为无理数，Q表示有理数集，所以3Q，所以④正确．

故选：C

2．（25-26高一上·内蒙古·期末）设集合A{x∣x13},a11，那么（）

A．aAB．aAC．aAD．aA

【答案】D

【分析】根据元素与集合是属于与否的关系，集合与集合之间是包含与否的关系，从而作出判断．

【详解】因为A是集合，a是元素，两者的关系应是属于与否的关系．

a与A是包含与否的关系，所以选项A、选项C显然不对，

而1113，所以a是A的一个元素，a是A的一个子集，故B错误，D正确.

故选：D．

2xy1

3．在平面直角坐标系中，集合Cx,y|yx，集合Dx,y|，则下列关系正确的是（）

x4y5

A．DCB．DC

C．CDD．CD

【答案】B

【分析】先求出集合D中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可.

2xy1

【详解】因为集合Dx,y|1,1，集合Cx,y|yx，

x4y5

因为是元素与集合之间的关系，而D,C均为点集，所以A错误；

因为集合Cx,y|yx包含1,1，所以B正确，C,D错误.

故选：B.

4．若Mx,yyx2，则下列选项正确的是（）

A．0MB．0MC．MD．0M

【答案】A

【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的表示直接得出结果.

【详解】Mx,yyx2表示为抛物线y=x2上的点的集合，

而0为一个数，故0M，A正确

由于表示集合与集合之间的关系的符号不是“”，故BC错误.

0是数集，M是点集，故二者不具有包含关系，D错误.

故选：A

5．（25-26高一上·福建宁德·月考）（多选题）下列判断中，正确的是（）

q

A．xZx0NB．xRx，p,qZ，p0Q

p

C．xyx21RD．xx22x1

【答案】BCD

【分析】根据常见数集符号概念以及集合的描述法逐项判断即可.

【详解】A选项，由于0N，0xZx0，故A选项错误；B选项，符合有理数的定义，B选项正确；

2

C选项xyx1，其中x的范围为R，C选项正确；

D选项，不等式x22x1即(x1)20，无解，故D选项正确；

故选：BCD.

6

6．（24-25高一上·四川南充·期中）把集合N|xN用列举法表示为.

x1

【答案】1,2,3,6

6

【分析】当x取2,3,4,7时，对应的值为6,3,2,1，再根据列举法即可求解.

x1

6

【详解】当x取2,3,4,7时，对应的值为6,3,2,1，

x1

6

所以N|xN1,2,3,6.

x1

故答案为：1,2,3,6.

【题型02集合的性质-互异性应用】

1．（25-26高一上·海南海口·月考）已知集合A2a,2a2a，若1A，则a（）

111

A．B．1C．1或D．1或

222

【答案】B

【分析】分2a1和2a2a1讨论即可.

1

【详解】若1A，则①2a1，解得a，此时2a2a2a1，不满足集合互异性，舍去；

2

1

②2，解得a1或（舍去），

2aa12

当a1时，A2,1，满足题意，

则a1.

故选：B.

2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合Aa2,a2,3，Bxx22x30，且BA，则a的

值为（）

A．1B．1C．1D．3

【答案】A

【分析】求出集合B，分析可知集合A中必含元素3、1，可得出关于实数a的方程，结合集合A中的元素

满足互异性可得出实数a的值.

【详解】因为Bxx22x303,1且BA，

所以3A,1A，

所以a21或a21，得a1或1，

a2a2

根据集合中元素的互异性可得，解得a1且a2且a5，故a1.

a23

故选：A.

3．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知集合A1,3,a2，Ba2,1，若ABB，则实数a可取的值

组成的集合为（）

A．1,1,2B．1,2C．1,2D．2

【答案】D

【分析】由ABB，得到BA，分a23和a2a2两种情况讨论，结合集合元素的互异性，即可

求解.

【详解】因为ABB，所以BA，

当a23时，即a1，此时a21，集合A中元素不满足互异性，舍去；

当a2a2时，即a2a20，解得a2或a1，

若a1，此时a21，集合A中元素不满足互异性，舍去；

若a2，可得a24，此时A1,3,4，B1,4，符合题意；

综上，可得实数a的取值集合为2.

故选：D.

b2

4．（25-26高一上·福建福州·期中）已知aR,bR，若集合a,,1a,ab,0，则a2025b2026（）

a

A．2B．1C．1D．2

【答案】C

【分析】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得a,b的值，代入计算，即可求解.

bb

【详解】由集合a,,1a2,ab,0，可得0，即b0，所以a,0,1a2,a,0，

aa

若a1，此时a11，不满足集合元素的互异性，舍去；

若a21，解得a1或a1（舍去），

综上可得，a1，b0，

所以a2025b2026(1)2025020261

故选：C.

5．已知mR，集合Am,1,2，Ba2aA，若CAB，且C的所有元素和为12，则m（）

A．3B．0C．1D．2

【答案】A

【分析】先确定集合B中可能的元素，根据两集合中元素的和求出m的值，再根据集合中元素的互异性取

值.

【详解】集合B中的元素可能为：m2，1，4

因为m1，m2.

若m1，则A1,1,2，B1,4，则C1,1,2,4，元素和不为12；

若m2，则A2,1,2，B1,4，则C2,1,2,4，元素和不为12；

当m1,2时，Cm,1,2,m2,1,4，因为C中所有的元素和为12，

所以m2m6，解得m3或m2（舍去）.

综上：m3.

故选：A

【题型03（真）子集的个数】

1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知集合AxZx2x2，则集合A的子集个数为个.

（填数字）

【答案】16

【分析】解一元二次不等式求出集合A，结合子集个数的公式计算即可求解.

【详解】由x2x2，即x2x20，解得1x2，

所以A{1,0,1,2}，共4个元素，

所以集合A的子集个数为2416.

故答案为：16

2．（25-26高一上·上海·月考）已知集合M∣x1x2a1，xZ，若集合M有3个真子集，则实数a的

取值范围为

3

【答案】,2

2

【分析】根据真子集个数可得集合中元素，据此求出参数范围.

【详解】因为集合M有3个真子集，

所以M中有2个元素，即M1,2,

3

所以22a13，解得a2，

2

3

故答案为：,2

2

3．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合Bxmx24x10，xR的所有子集只有两个，则实数m的值

为.

【答案】0或4

【分析】根据子集个数公式，结合方程解的个数分类讨论进行求解即可.

【详解】设集合B元素个数为n，

由题意可得2n2n1，所以该集合的元素只有一个，

1

当m0时，方程mx24x104x10x，符合题意；

4

当m0时，

要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程mx24x10的判别式0，

即424m0m4，显然m0，符合题意，

综上所述实数m的值为0或4，

故答案为：0或4

4．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知集合Ax,yxy2,xZ,yZ的子集个数为．

【答案】32

【分析】根据题意，得到A0,0,0,1,0,1,1,0,1,0，结合子集个数的计算方法，即可求解.

【详解】由不等式xy2，

当x0,y0时，可得xy2；当x0,y0时，可得xy2；

当x0,y0时，可得xy2；当x0,y0时，可得xy2，

不等式xy2所围成的区域，如图所示的正方形，

又因为xZ,yZ，所以集合A表示正方形内的整点，

即集合A0,0,0,1,0,1,1,0,1,0，可得A中元素的个数为5，

所以A的子集个数为2532．

故答案为：32.

．（高一上云南文山月考）已知集合，∣，则满足ACB的集合

525-26··A1,2B{x1x5,xN}C

的个数为.

【答案】7

【分析】由AC，得C中含有1,2，再结合0,3,4的真子集即可求解.

【详解】B{x∣1x5,xN}0,1,2,3,4，

由AC，得C中含有1,2，

CB3

又，所以集合C的个数即为0,3,4的真子集个数217，

故答案为：7

【题型04集合间的基本关系中的参数问题】

1．（25-26高一上·广东·期末）设集合A{x|2x1}，B{x|xa1}，满足AB，则实数a的取值范

围是（）

A．{a|a2}B．{a|a1}C．{a|a³1}D．{a|a2}

【答案】A

【分析】根据集合间的关系求出参数范围即可.

【详解】由题意知，要满足AB，则有a11，所以a2．

故选：A．

2．（25-26高一上·重庆·月考）集合Mxaxa4，N{x|x5或x1}，若MNM，则a的

取值范围是（）

A．,11,B．1,1

C．,55,D．5,5

【答案】C

【分析】由题设MN，结合已知集合列不等式求参数范围.

【详解】由MNMMN，而aa4，即M为非空集合，

所以a41或a5，即a5或a5.

故选：C

3．（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合A1,2，Bx|ax20，若ABA，则实数a的取

值所组成的集合是（）

A．1,2B．2,1C．2,0,1D．1,0,2

【答案】D

【分析】根据ABA，可得BA，再分a0和a0两种情况讨论即可.

【详解】因为ABA，所以BA，

当a0时，BA，符合题意；

2

当a0时，则B，

a

22

因为BA，所以1或2，解得a2或a1，

aa

综上所述，实数a的取值所组成的集合是1,0,2.

故选：D.

4．已知集合A1,3,a2,B1,a2，若ABB，则a（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】C

【分析】根据题意得到BA，讨论a23和a2a2，解方程并验证得到答案．

【详解】若ABB，则BA，故a23或a2a2.

当a23时，a1，此时a21，集合A不满足元素的互异性，舍去；

当a2a2时，a1或a2，

a1时，a21，集合A不满足元素的互异性，舍去；

a2时，A{1,3,4},B1,4，满足条件．

综上所述：a2．

故选：C．

5．（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合A{x|2x5}，集合B{x|m1x2m1}，若B为A的

真子集，则实数m的取值范围是（）

A．3,3B．3,3

C．,3D．,3

【答案】C

【分析】分集合B是否是空集进行讨论即可求解.

【详解】当B时，满足B为A的真子集，此时m12m1，解得m2.

m12m1

当B时，则m12,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得2m3.

2m15

综上，m3，即m的取值范围是,3.

故选：C.

【题型05集合的交、并、补运算（含韦恩图、容斥原理）】

x2

1．（25-26高一上·安徽·月考）已知集合A{x|12x5}，B{x|0}，则AB（）

x1

A．(3,)B．(1,)C．(1,1)D．(,2)

【答案】B

【分析】解不等式求集合，再应用集合的交运算求结果.

【详解】因为A{x|x2}，B{x|(x2)(x1)0}{x|x2或x1}，

所以AB{x|x1}(1,).

故选：B

∣∣ð

2．（25-26高一上·辽宁·月考）已知集合AxZx2，Bxx1，则ARB（）

A．{2,1,0,1}B．{2,1,0}

C．{1,0}D．{2,1}

【答案】B

ð

【分析】分别求出集合A和RB，根据交集运算的概念，即可得答案.

ð∣

【详解】由题意，A2,1,0,1,2,RB{xx1}，

ð

所以ARB2,1,0.

故选：B.

2

3．（25-26高一上·北京·月考）已知集合Axx3x40，Bxylog2x1，则集合AB是（）

A．2,4B．1,2C．2,4D．1,

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据定义域的求法，可得集合B，根据并集运算的概念，

即可得答案.

【详解】因为x23x4(x4)(x1)0，解得1x4，所以A[1,4]，

因为log2x10，解得x2，所以B2,，

所以AB=1,.

故选：D

4．（24-25高一上·江苏盐城·月考）（多选题）已知集合Ax3x9，Bxx5，则下列说法正确的

有（）

A．ABAB．ABR

ðð

C．RABx2x5D．RBAx2x5

【答案】AC

【分析】由指数幂的运算求出集合A，再由集合的交并补混合运算逐项判断即可；

【详解】因为函数y3x为增函数，所以Ax3x9x|x2，

对于A、B，ABA，ABB，故A正确，B错误；

痧

对于C，RAxx2,RABx2x5，故C正确；

痧

对于D，RBxx5,RBA，故D错误；

故选：AC.

5．（25-26高一上·安徽宿州·月考）（多选题）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出

19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的

商品有4种，则（）

A．该网店第一天售出但第二天未售出的商品有16种

B．该网店前两天售出的商品种类有28种

C．该网店第三天售出但第二天未售出的商品有14种

D．该网店这三天售出的商品最少有29种

【答案】ACD

【分析】对于AB，可以通过绘制韦恩图，结合集合的运算逐项分析即可；对于C，直接用第三天售出的商

品种类数减去后两天都售出的商品种类数即可；对于D，设三天都售出的有x种，仅第一天和第三天都售出

的有y种，结合题意画出三天售卖商品的韦恩图即可求解．

【详解】对于A，韦恩图如图所示，黑色表示第一天售出的商品种类，红色表示第二天售出的商品种类，

第一天售出19种商品，前两天都售出的有3种，所以第一天售出但第二天未售出的商品有19316种，

故A正确；

对于B，前两天售出的商品种类数为第一天售出的种类数加上第二天售出的种类数减去前两天都售出的种类

数，即1913329种，不是28种，故B错误；

对于C，第三天售出18种商品，后两天都售出的有4种，所以第三天售出但第二天未售出的商品有18414

种，故C正确。

对于D，设三天都售出的有x种，仅第一天和第三天都售出的有y种，则由题意可知，三天商品售卖韦恩图

如下所示，

这三天售出的商品有16yyx3x6x4x14y43y种，

16y0

由于y0，所以0y14，

14y0

所以，故正确．

43ymin431429D

故选：ACD．

6．（25-26高一上·上海·月考）设全集UR，集合A1,2,3,4,5,B{x|3x8,xN}，则下图中的阴影

部分表示的集合是．

【答案】1,2,3

【分析】先分析出图中的阴影部分表示的集合，再求出集合B，从而求出图中阴影部分的集合．

【详解】图中的阴影部分表示的集合为xxA且xB，

又A1,2,3,4,5，B{x|3x8,xN}{4,5,6,7}，

图中的阴影部分表示的集合xxA且xB1,2,3．

故答案为：1,2,3．

7．（25-26高一上·上海·期中）已知集合Ax,y∣x1，Bx,y∣xy1，则AB．

【答案】1,0

【分析】由集合的交集运算求解．

x1x1

【详解】由，得，

xy1x0

则AB1,0．

故答案为：1,0

8．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集Uxx10,xN*，且

痧ð

AB6,UAB3,4,7,AUB2,5，则UAB=

【答案】1,8,9

【分析】根据题设画出Venn图即可求解.

【详解】由题意，知全集Ux|x10,xN*{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

痧

又AB6,UAB3,4,7,AUB2,5，

画出Venn图如下图所示，

ð

即得U(AB)1,8,9.

故答案为：1,8,9.

9．（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，

52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有人.

【答案】7

【分析】根据题意结合韦恩图运算求解即可.

【详解】作出韦恩图，如图所示：

可知持有交通卡或有自行车的人数为78523793，

所以既无交通卡又无自行车的人数为100937.

故答案为：7.

ðI

10．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知集合A{x∣2x7},B{x∣m1x2m1}，若RAB，

则实数m的取值范围是．

【答案】,4

ð

【分析】根据题意，先求RAxx2或x7，再结合题意，分B和B讨论求解即可．

ð

【详解】RAxx2或x7，

ðI

又RAB，

所以①当B，m12m1，解得m2；

m12m1

②当B，m12，解得2m4；

2m17

ðI

综上，RAB时，实数m的取值范围为,4．

故答案为：,4．

【题型06集合的基本运算中的参数问题】

1．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知A{x|x3或x1}

若B{x|m2x3m1}，，求m的取值范围；

(1)B⫋A

(2)若B{x|x3m1或xm2},ABA，求m的取值范围.

【答案】(1)R

41

(2){m|m1或m}

32

【分析】（1）根据集合的包含关系，分类讨论建立不等式即可解出结果；

（2）根据集合交集得包含关系，建立不等式即可解出结果.

【详解】（1）B{x|m2x3m1}，A{x|x3或x1}，且B是A的真子集，

1

当B时，则3m1m2，即m时，符合题意；

2

3m1m23m1m2

当B时，则或，解得m1，

3m13m212

综上，m的取值范围是R；

（2）由ABA，可得AB，

因为A{x|x3或x1}，若B{x|x3m1或xm2}，

1

当3m1>m2，即m时，BR，满足AB；

2

155

当3m1m2，即m时，B{x|x或x}，不满足AB；

222

1

当3m1m2，即m时，

2

3m134

要使AB，需使，解得m1．

m213

41

综上，m的取值范围为{m|m1或m}.

32

2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知Axaxa3，Bx|x1或x5．

(1)若ABR，求a的取值范围；

(2)若AB，求a的取值范围．

【答案】(1)a2

(2)a1

aa3

【分析】（1）根据条件，利用集合的运算得a1，即可求解；

a35

（2）分A和A两种情况，结合条件，利用集合的运算，即可求解.

【详解】（1）因Axaxa3，Bx|x1或x5，

aa3

又ABR，则a1，解得a2，

a35

所以a的取值范围为a2.

（2）因为AB，

3

当aa3，即a时，A，满足AB，

2

3a13

当a时，由AB，得到，解得a1，所以1a，

2a352

综上所述，a的取值范围为a1.

3．（25-26高一上·四川遂宁·期中）已知集合A{y|yx22},B{x|x2k1xk0,k1}.

(1)求集合A；

ð

(2)若集合BRA，求实数k的取值范围.

【答案】(1)(,2]

(2)(1,2]

【分析】（1）求出函数yx22的值域即可求解；

（2）解一元二次不等式，再根据补集交集运算求解即可.

【详解】（1）yx222，所以A(,2].

ð

（2）A(,2]，所以RA(2,)，

x2k1xk0，

即x1xk0，又因为k1，

所以1xk，所以B{x|1xk}，

ð

因为BRA，所以1k2.

2

4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数fxlog1x42的定义域为集合A，函数gxx2x5，

3

x3,2的值域为集合B.

(1)求A，B；

(2)设集合Cxa2x2a1，若ABCC，求实数a的取值范围.

【答案】(1)Ax4x5，Bx6x3

(2),32,1

【分析】（1）根据具体函数定义域的求法列不等式可得集合A，根据二次函数值域的求法可得集合B；

（2）根据集合间的运算可知CAB，根据集合间的关系可列不等式，解不等式即可.

【详解】（1）由已知fxlog1x42，

3

logx420

1

则3，解得4x5，

x40

即Ax4x5；

2

又gxx22x5x16，x3,2，

当x1时，gx取得最小值为6，

当x2时，gx取得最大值为3，

即Bx6x3；

（2）由（1）得Ax4x5，Bx6x3，

则ABx4x3，

又ABCC，

所以CAB，

当C时，a22a1，解得a3，此时满足ABCC；

a22a1

当C时，由CAB，则a24，解得2a1；

2a13

综上所述a,32,1.

5．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合Ax1x5，Bxax10.

1

(1)若a，求AðB；

3R

ðð

(2)从①ABB；②BRAR；③ARB这三个条件中任．选．一．个．，补充在下面的横线上，并进

行解答.

问题：若选__________，求实数a的取值范围.

【答案】AðBx1x3

(1)R

(2)答案见解析

1

【分析】（1）当a时，求出集合B，利用补集和交集的定义可求得集合AðB；

3R

（2）根据所选条件可得出AB，分a0、a0两种情况讨论，求出集合B，根据集合的包含关系可得

出关于实数a的不等式，即可解得实数a的取值范围.

11

【详解】（1）当a时，Bxx10xx3，则ðBxx3，

33R

故AðBx1x3

R.

（2）若选①，ABB，可得AB，则B.

111

当a0时，Bxx，由x1x5xx，可得5，故a；

aaa

111

当a0时，Bxx，由x1x5xx，可得1，故a1.

aaa

综上，实数a的取值范围为aa1；

若选②，因ð，可得，则

BRARABB.

111

当a0时，Bxx，由x1x5xx，可得5，故a；

aaa

111

当a0时，Bxx，由x1x5xx，可得1，故a1.

aaa

综上，实数a的取值范围为aa1；

若选③，因为AðB，可得，则

RABB.

111

当a0时，Bxx，由x1x5xx，可得5，故a；

aaa

111

当a0时，Bxx，由x1x5xx，可得1，故a1.

aaa

综上，实数a的取值范围为aa1.

【题型07集合中的新定义问题】

x

1．（25-26高一上·江苏南京·月考）非空集合A具有如下性质：①若x,yA，则A；②若x,yA，则

y

xyA；由此可知：下列判断错误的是（）

A．0AB．1A

C．若x,yA，则xyAD．若x,yA，则xyA

【答案】D

【分析】通过对x,y进行赋值及利用两个性质可判断各个选项.

【详解】由于0不能作除数，所以0A，A正确；由性质①，取xy可得1A，B正确；

x

1A

因为1A，所以A，由性质①1，即xyA，C正确；

y

y

假设若x,yA，则xyA，取xy可得0A与0A矛盾，D错误.

故选：D

2．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集MPxxM且xP，则PMP等于（）

A．PB．MPC．MPD．M

【答案】A

【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可.

【详解】当MP时，由韦恩图知，MP为下图中的阴影部分，则PMP显然为P．

当MP时，MPM，

则PMPPMxxP且xMP

故选：A．

3．（24-25高一上·安徽马鞍山·月考）若数集Aa1,a2,,an1a1a2an,n2具有性质P：对任

aj

意的i，j(1ijn)，aiaj与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（）

ai

A．{1,3,4}为“权集”B．{1,2,3,6}为“权集”

C．“权集”中元素个数一定是有限个D．“权集”中一定有1

【答案】B

【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，举反例即可反驳CD.

4

【详解】对A，因为34与均不属于数集{1,3,4}，所以A错误；

3

66

对B，因为12，13，16，23，，都属于数集{1,2,3,6}，所以B正确；

23

对C，举例Ax|x2n,nN*，由“权集”的定义易知其为“权集”，所以C错误；

66

对D：举例{2,3,6}，因为，23，，都属于数集{2,3,6}，则其是“权集”，

23

所以“权集”中不一定有1，故D错误.

故选：B.

∣

4．（25-26高一上·吉林·月考）定义集合间的运算ABx1y1,x2y2x1,y1A,x2,y2B，若

Ax,yxy2,x,yZ，Bx,yx2y21,x,yZ，则AB的非空真子集的个数为（）

A．2B．3C．6D．7

【答案】C

【分析】根据集合，确定x1y1，x2y2的可能取值，利用集合新定义得出集合中的元素，求其非空真子集个数

即可.

【详解】对于Bx,yx2y21,x,yZ，

由于x，yZ，所以x，y至少有一个为0，故x2y20，x2,y2B.

对于Ax,yxy2,x,yZ，由于x，yZ，

若有一方为2，则另一方必定为0，故此时必有x1y10，x1,y1A；

若二者均不为0，则必有二者分别均为1或1，此时x1y