吉林省吉林市丰满区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题及答案

吉林省吉林市丰满区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的两根为$x_1$和$x_2$，且$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。若方程的两根互为倒数，则$a$的值为A.1B.2C.-1D.-22.若$\angleA$和$\angleB$是等腰三角形$ABC$的底角，且$\tanA=2\sqrt{3}$，则$\tanB$的值为A.$\sqrt{3}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$-\sqrt{3}$D.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$\{a_n+2\}$的通项公式为A.$a_1+2n$B.$a_1+(n+1)d$C.$a_1+nd$D.$a_1+(n-1)d$4.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，且过点$(1,3)$和$(2,7)$，则$a$的值为A.1B.2C.3D.45.已知$\triangleABC$中，$a=5$，$b=8$，$c=10$，则$\angleA$的余弦值为A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{8}$D.$\frac{8}{5}$6.若$x^2-2x-3=0$，则$x^3-3x^2+x$的值为A.0B.1C.2D.37.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_{2n}-S_n$的值为A.$na_1$B.$2na_1$C.$na_2$D.$2na_2$8.已知函数$y=2^x$的图像在第二象限，则$y=2^{-x}$的图像在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.若$x^2-4x+4=0$，则$x^3-8$的值为A.0B.1C.2D.310.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\angleA$的正弦值为A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$二、填空题1.若$\angleA$和$\angleB$是等腰三角形$ABC$的底角，且$\tanA=2\sqrt{3}$，则$\tanB$的值为________。2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$\{a_n+2\}$的通项公式为________。3.若$x^2-2x-3=0$，则$x^3-3x^2+x$的值为________。4.已知$\triangleABC$中，$a=5$，$b=8$，$c=10$，则$\angleA$的余弦值为________。5.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_{2n}-S_n$的值为________。6.已知函数$y=2^x$的图像在第二象限，则$y=2^{-x}$的图像在________。7.若$x^2-4x+4=0$，则$x^3-8$的值为________。8.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\angleA$的正弦值为________。三、解答题1.已知函数$y=2^x$，求：（1）$y$的反函数；（2）当$x=3$时，$y$的值；（3）$y$在$x=2$处的导数。2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=12$，$S_6=42$，求$\{a_n\}$的首项和公差。四、应用题要求：运用所学知识解决实际问题。1.小明家购买了一批水果，包括苹果、香蕉和橙子。已知苹果的重量是香蕉的两倍，橙子的重量是苹果的1.5倍。如果小明一共购买了10千克的水果，且香蕉的重量是2千克，求苹果和橙子各重多少千克？2.某商店为促销活动，对商品进行打折。原价为100元的商品，打八折后的价格是80元。如果再打九折，求最终的价格是多少元？3.小华参加了一场数学竞赛，共10道题，每题10分。他答对了其中的6题，剩下的4题全部答错。求小华在这场竞赛中的得分是多少分？4.一辆汽车从甲地开往乙地，已知甲乙两地的距离为240千米。汽车以80千米/小时的速度行驶，行驶了3小时后，发现油箱中的油还剩下1/4。如果汽车油箱的容量为60升，求汽车在行驶过程中平均每升油可以行驶多少千米？5.某班级有男生和女生共50人，男生人数是女生人数的1.2倍。如果从班级中选出10人参加学校举办的运动会，要求男女比例相同，求参加运动会的男生和女生各有多少人？六、证明题要求：运用所学知识证明以下命题。1.证明：若$a^2+b^2=c^2$，则$\triangleABC$是直角三角形。2.证明：若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1+a_3+a_5=9$，则$a_1+a_2+a_3=6$。3.证明：若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，且过点$(1,3)$和$(2,7)$，则$a>0$。本次试卷答案如下：一、选择题1.A.1解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。若两根互为倒数，则$x_1=\frac{1}{x_2}$，代入$x_1x_2=\frac{c}{a}$得$\frac{1}{x_2^2}=\frac{c}{a}$，解得$x_2^2=\frac{a}{c}$，又因为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入$x_1=\frac{1}{x_2}$得$\frac{1}{x_2}-x_2=-\frac{b}{a}$，解得$x_2=\frac{1}{\sqrt{a}}$，进而得到$x_1=\sqrt{a}$，因此$a=1$。2.A.$\sqrt{3}$解析：由$\tanA=2\sqrt{3}$可知$A$为锐角，所以$\angleA=60^\circ$，由等腰三角形性质，$\angleB=\angleC=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$，因此$\tanB=\tan60^\circ=\sqrt{3}$。3.D.$a_1+(n-1)d$解析：等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，则$\{a_n+2\}$的通项公式为$a_n+2=a_1+(n-1)d+2=a_1+(n-1)d+2$。4.B.2解析：函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，则$a>0$。代入点$(1,3)$和$(2,7)$，得到方程组$\begin{cases}a+b+c=3\\4a+2b+c=7\end{cases}$，解得$a=2$。5.B.$\frac{4}{5}$解析：由余弦定理，$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，代入$a=5$，$b=8$，$c=10$，得$5^2=8^2+10^2-2\times8\times10\cosA$，解得$\cosA=\frac{4}{5}$。6.A.0解析：由$x^2-2x-3=0$，得$x^2=2x+3$，代入$x^3-3x^2+x$得$x^3-3(2x+3)+x=0$。7.C.$na_2$解析：等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，所以$S_{2n}-S_n=\frac{2n}{2}(a_1+a_{2n})-n(a_1+a_n)=na_2$。8.D.第四象限解析：函数$y=2^x$的图像在第二象限，所以$2^x>0$，则$y=2^{-x}<0$，即$y=2^{-x}$的图像在第四象限。9.B.1解析：由$x^2-4x+4=0$，得$(x-2)^2=0$，解得$x=2$，代入$x^3-8$得$1$。10.B.$\frac{4}{5}$解析：由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$\sinA=\frac{a}{c}\sinC=\frac{3}{5}\sinC$，因为$c$是最长边，所以$\sinC=\sin90^\circ=1$，解得$\sinA=\frac{3}{5}$。二、填空题1.$\sqrt{3}$2.$a_1+(n-1)d$3.14.$\frac{4}{5}$5.$na_2$6.第四象限7.18.$\frac{4}{5}$三、解答题1.（1）$y$的反函数为$x=\log_2y$。（2）当$x=3$时，$y=2^3=8$。（3）$y$在$x=2$处的导数为$f'(x)=2^x\ln2$，代入$x=2$得$f'(2)=2^2\ln2=4\ln2$。2.（1）由等差数列的性质，$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，代入$a_3+a_5=9$得$2a_1+6d=9$。（2）$a_2=a_1+d$，$a_3=a_1+2d$，代入$a_1+a_2+a_3=6$得$3a_1+3d=6$。（3）解方程组$\begin{cases}2a_1+6d=9\\3a_1+3d=6\end{cases}$，得$a_1=3$，$d=0$，所以$\{a_n\}$的首项为$3$，公差为$0$。四、应用题1.解：设香蕉重量为$b$千克，则苹果重量为$2b$千克，橙子重量为$3b$千克。由题意得$2b+3b+2=10$，解得$b=1$，所以苹果重$2$千克，橙子重$3$千克。2.解：打八折后的价格为$80$元，再打九折后的价格为$80\times0.9=72$元。3.解：小华答对的题目得分为$6\times10=60$分，答错的题目不得分，所以总分为$60$分。4.解：汽车行驶了$3$小时，剩余油量为$60\times\frac{1}{4}=15$升，所以平均每升油可以行驶$\frac{240}{15}=16$千米。5.解：男生人数为$50\times1.2=60$人，女生人数为$50-60=-10$人，不合理，因此男女比例应为$1:1$，即男生和女生各有$25$人。五、证明题1.解：由勾股定理的逆定理，若$a^2+b^2=c^2$，则$\triangleABC$是直角三角形。2.解：由等差数列的性质，$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1+a_3+a_5=9$得$2a_1+6d=9$，化简得$a_1+3d=4.5$。又$a_2=a_1+d$，$a_3=a_1+2d$，代入$a