浙江省诸暨市牌头中学2026届高二数学第一学期期末监测试题含解析

浙江省诸暨市牌头中学2026届高二数学第一学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．阅读程序框图，该算法的功能是输出A.数列的第4项 B.数列的第5项C.数列的前4项的和 D.数列的前5项的和2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点（1，2），为锐角，且，则（）A.-18 B.-6C. D.3．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（）A. B.C. D.4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（）A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；至多有1个红球6．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（）A.3 B.C. D.7．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定8．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（）A. B.C. D.9．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（）A. B.C. D.10．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）A. B.C. D.11．如果一个矩形长与宽的比值为，那么称该矩形为黄金矩形.如图，已知是黄金矩形，，分别在边，上，且也是黄金矩形.若在矩形内任取一点，则该点取自黄金矩形内的概率为（）A. B.C. D.12．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列14．在的展开式中项的系数为______．（结果用数值表示）15．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.16．已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项（1）求数列与的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.19．（12分）已知函数，且在处取得极值.（1）求的值；（2）当，求的最小值.20．（12分）已知椭圆：经过点，设右焦点F，椭圆上存在点Q，使QF垂直于x轴且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于D，G两点.是否存在直线使得以DG为直径的圆过点E（-1，0）?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.21．（12分）如图所示，四棱锥的底面为矩形，，，过底面对角线作与平行的平面交于点（1）求二面角的余弦值；（2）求与所成角的余弦值；（3）求与平面所成角的正弦值22．（10分）已知函数，且）的图象经过点和

.（1）求实数，的值；（2）若，求数列前项和

.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：模拟程序的运行,依次写出每次循环，直到满足条件,退出循环,输出A的值即可详解：模拟程序的运行,可得:

A=0,i=1执行循环体,,

不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,不满足条件,执行循环体,满足条件,退出循环,输出A的值为31.观察规律可得该算法的功能是输出数列{}的第5项.所以B选项是正确的.点睛：模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的A,i的值,当i=6时满足条件,退出循环,输出A的值,观察规律即可得解.2、A【解析】由终边上的点可得，由同角三角函数的平方、商数关系有，再应用差角、倍角正切公式即可求.【详解】由题设，，，则，又，，所以.故选：A3、A【解析】函数的图象在点处的切线与直线平行，利用导函数的几何含义可以求出，转化求解数列的通项公式，进而由数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可【详解】解：∵函数的图象在点处的切线与直线平行，由求导得：，由导函数得几何含义得：，可得，∴，所以，∴数列的通项为，所以数列的前项的和即为，则利用裂项相消法可以得到：所以数列的前2021项的和为：.故选：A.4、B【解析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出、、的关系，即可判断三角形的形状【详解】解：在中，已知，，，分别为角，，的对边），由正弦定理可知：，所以，解得，所以为等边三角形故选：【点睛】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题5、C【解析】根据试验过程进行分析，利用互斥事件的定义对四个选项一一判断即可.【详解】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件.故A错误；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故B错误；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误；对于D：“至多有1个红球”包含都是白球和一红一白，“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，所以“至多有1个白球”与“至多有1个红球”不是互斥事件.故D错误.故选：C6、D【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，所以，则，所以，所以故选：D.7、C【解析】由正弦定理得出，再由余弦定理得出，从而判断为钝角得出的形状.【详解】因为，所以，所以，所以的形状为钝角三角形.故选：C8、C【解析】根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值.【详解】由双曲线可知：的周长为.当轴时,周长最小值为故选：C9、C【解析】设出圆心坐标，根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标，结合两点距离公式得半径，即可得圆方程【详解】设圆心为，则圆心与点的连线与直线l垂直，即，则点，所以圆心为，半径，所以方程为，故选：C10、C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为故选：C【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面11、B【解析】由几何概型的面积型，只需求小矩形的面积和大矩形面积之比.【详解】由题意，不妨设，则，又也是黄金矩形，则，又，解得，于是大矩形面积为：，小矩形的面积为，由几何概型的面积型，概率为若在矩形内任取一点，则该点取自黄金矩形内的概率为：.故选：B.12、D【解析】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解.【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，则，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，所以M点的轨迹围成区域的面积为.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由条件②写出一个等比数列，再求出并确保单调递增即可作答.【详解】因是等比数列，令，当时，，，是递增数列，令是互不相等的三个正整数，且，若，，成等差数列，则，即，则有，显然、都是正整数，，都是偶数，于是得是奇数，从而有不成立，即，，不成等差数列，数列不成等差数列，所以.故答案为：14、【解析】先求解出该二项式展开式的通项，然后求解出满足题意的项数值，带入通项即可求解出展开式的系数.【详解】展开式通项为，由题意，令，解得，，所以项的系数为.故答案为：.15、2【解析】题中几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.【详解】解：因为，又，所以，，则.故答案为：2.【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.16、##0.84375【解析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解.【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得：PA=PB故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】（1）根据已知条件可得出关于方程，解出的值，可求得的值，即可得出数列与的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得，分析可知数列为单调递增数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，，且是和的等比中项，所以，整理可得，解得或.若，则，可得，不合乎题意；若，则，可得，合乎题意.所以，;；（2）因为，①，②②①得因为，即对恒成立，所以当且，，故数列为单调递增数列，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以，即.综上可得18、（1）（2）存在，【解析】（1）根据离心率及短轴长，利用椭圆中的关系可以求出椭圆方程；（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.【小问1详解】，，，，椭圆的标准方程为.【小问2详解】由已知可得，，，∴，∵，设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得，设，，则，，∵，∴.即，因为，，即..所以，或.又时，直线过点，不合要求，所以.故存在直线：满足题设条件.19、（1）；（2）.【解析】（1）对函数求导，则极值点为导函数的零点，进而建立方程组解出a,b，然后讨论函数的单调区间进行验证，最后确定答案；（2）根据（1）得到函数在上的单调区间，进而求出最小值.【小问1详解】，因为在处取得极值，所以，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，故为函数的极值点.于是.【小问2详解】结合（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，而，所以.因为，所以.综上：的最小值为.20、（1）；（2）存在，或.【解析】（1）根据题意，列出的方程组，求得，则椭圆方程得解；（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化题意为，求解即可.小问1详解】由题意，得，设，将代入椭圆方程，得，所以，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】当斜率不存在时，即时，，为椭圆短轴两端点，则以为直径的圆为，恒过点，满足题意；当斜率存在时，设，，，由得：，，解得：，，若以为直径的圆过点，则，即，又，，，解得：，满足，即，此时直线的方程为综上，存在直线使得以为直径的圆过点，的方程为或21、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）设，连接、，证明出平面，推导出为的中点，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；（3）利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.【小问1详解】解：设，则为、的中点，连接、，因为平面，平面，平面平面，则，因为为的中点，则为的中点，因为，为的中点，则，同理可证，，平面，，，则，，以点为坐标原点，、、的方向分别