2025北京房山区初一（下）期末数学试题及答案

初中2025北京房山初一（下）期末数学本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.神威•太湖之光超级计算机是世界首台峰值运算能力超过每秒10亿亿次、拥有千万核的超级计算机，是中国国内第一台全部采用国产处理器构建的世界第一的超级计算机．达到峰值计算速度时，它计算1亿次需要的时间约为秒．将用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.2.不等式组的解集在数轴上表示为()A.B.C. D.3.下面各图中，和是对顶角的为（）A.B.C. D.4.下列调查中，调查方式选择合理的是（）A.为了解全国七年级学生使用电子产品的情况，应采用全面调查的方式B.为确保飞行安全，应采用抽样调查的方式调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁品C.调查一批零件的质量情况，应采用抽样调查的方式D.为了解房山区境内小清河的鱼类品种情况，应采用全面调查的方式5.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. B.C. D.6.下面各图中，由，能得到的是()A.B.C. D.7.小智同学在阅读中国古代重要数学著作《九章算术》时，看到书中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”于是他类比书中的问题提出了一个问题：“今有汉堡三、蛋挞二，直金六十六元；汉堡二、蛋挞三，直金五十四元．问汉堡、蛋挞各直金几何？”意思是：3个汉堡和2个蛋挞总价为66元，2个汉堡和3个蛋达总价为54元．问汉堡和蛋挞的单价分别是多少元？设每个汉堡元，每个蛋达元，则下列方程组中正确的是（）A. B. C. D.8.如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.计算：____________．10.因式分解：____________．11.如图，在四边形中，点E是延长线上一点，请你添加一个条件，使，那么可以添加的条件是________．（写出一个即可）12.若用一组x，y的值说明命题“若，则”是假命题，则这样的一组值可以是______，______．13.已知关于x，y的二元一次方程的一组解为，则此二元一次方程可以是____________．（写出一个即可）14.若是关于的一元一次不等式组的一个解，则的值可以是____________．（写出一个即可）15.一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当___________°时，．16.对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”．（1）最小的“数”为____________；（2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________．三、解答题（本题共68分，第17－21题，第23题，第25题，每题5分；第22题，第24题，每题6分；第26－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．18.因式分解：．19.计算：．20.解方程组：21.解不等式组，并写出它的所有非负整数解．22.先化简，再求值：，其中．23.请你补全下面的推理过程：已知：如图，，求的度数．解：（已知），（_______________），（等量代换），（_______________），_______________（_______________），，_______________．24.2024年，北京市发布《北京市教育领域人工智能应用工作方案》和《北京市教育领域人工智能应用指南》，在教育领域不断强化人工智能创新应用，越来越多的学校在“助教、助学、助育、助评、助研、助管”六大领域开展探索尝试．为了让AI赋能教育教学，某中学组织该校学生对A，B两款人工智能学习软件打分，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．I．抽取的对A款学习软件的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89．II．抽取的对B款学习软件的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．III．A，B两款学习软件的评分统计表类型平均数中位数众数A8896B8887．5IV．A款学习软件评分扇形统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）上述图表中，____________，____________，____________；（2）根据以上数据，你认为哪款学习软件更受学生喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可）（3）在此次调查中，有400人对A款学习软件进行评分，300人对B款学习软件进行评分．请通过计算，估计此次调查中，对人工智能学习软件的评分等级不低于“满意”的共有多少人．25.如图，已知直线，．（1）求证：；（2）画的角平分线交于点，求证：．26.2025年5月23日，由房山区教育委员会、房山区体育局主办的“闪耀红星”2025年房山区中小学生定向越野比赛在韩建翠溪谷圆满落幕．某学校为了表彰在比赛中表现突出的同学，决定采购汉白玉石雕作为奖励．经调查发现，若购买A种石雕3个、B种石雕4个，共计1500元；若购买A种石雕2个、B种石雕3个，共计1080元．（1）A，B两种规格石雕的单价分别是多少元？（2）学校计划购买这两种规格的石雕共20个，总费用不超过4350元，则A种石雕最少可以买多少个？27.已知：点是的边上的一点(点不与点重合)，将线段沿方向平移，得到线段，点在上，连接．（1）请你依题意在图1中补全图形，并求证：；（2）过点作交射线BC于点，连接，当点不与点重合时，请你依题意在图2中补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．28.对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．（1）在方程①，②，③中，_____________（填序号）是不等式组的“子方程”；（2）若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_____________；（写出一个即可）（3）若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】C【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：将用科学记数法表示应为，故选：C．2.【答案】A【分析】本题考查的是在数轴上表示解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．根据解集表示法将解集表示在数轴上即可．【详解】解：∵，∴将解集表示在数轴上，如图所示：故选：A．3.【答案】B【分析】本题考查了对顶角，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此判断即可，掌握对顶角的定义是解题的关键．【详解】解：、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角；、和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角；、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角；、和没有公共顶点，所以不是对顶角．故选：．4.【答案】C【分析】本题考查抽样调查和全面调查，理解抽取样本的广泛性、代表性和可靠性是正确判断的前提．根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．【详解】解：A、为了解全国七年级学生使用电子产品的情况，全国七年级学生数量庞大，全面调查成本过高，应采用抽样调查，故本选项不符合题意；B、为确保飞行安全，应采用全面调查的方式调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁品，故本选项不符合题意；C、调查一批零件的质量情况，应采用抽样调查的方式，故本选项符合题意；D、为了解房山区境内小清河的鱼类品种情况，适合采用抽样调查的方式，故本选项不符合题意；故选：C．5.【答案】C【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得，解题的关键是掌握因式分解的定义．【详解】解：左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解；左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解；左边是多项式，右边是的乘积形式，是因式分解；右边是平方与常数的和，未形成乘积形式，不是因式分解；故选：．6.【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题．【详解】解：A、，可得，不能判定，故本选项不符合题意；B、，对顶角相等不能用来推导平行，故本选项不符合题意；C、，可以得到，故本选项符合题意；D、，同旁内角相等不能用来推导平行，故本选项不符合题意；故选：C．7.【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“3个汉堡和2个蛋挞总价为66元，2个汉堡和3个蛋挞总价为54元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：根据题意可列出方程组．故选：A．8.【答案】D【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：∵，∴，故①正确；过点作，则，∴，，∴，即，故②正确；设，，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，故③正确；∵，，，，∴，，过点作，则，∴，，∴，∴，∵，∴，故④正确；综上，正确结论的序号是①②③④，故选：．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】本题考查整式的除法．利用多项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．10.【答案】【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再用公式法因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．11.【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据内错角相等，两直线平行即可得．【详解】解：使，那么可以添加的条件是，（内错角相等，两直线平行）故答案为：．（答案不唯一）12.【答案】①.0②.-2【分析】根据x>y给出x、y值，计算乘方，使x2<y2即可．【详解】解：若x=0，y=-2，则满足x>y的条件，∴x2=0，y2=4，∴x2<y2，不符合，故答案为：0，-2（答案不唯一）．【点睛】此题考查了有理数的大小比较，假命题的判断，正确理解命题中的题设和结论，对应给出数值是解题的关键．13.【答案】【分析】本题考查二元一次方程的解．根据二元一次方程的解的意义写出一个符合题意的方程即可．【详解】解：已知关于x，y的二元一次方程的一组解为，则此二元一次方程可以是，故答案为：（答案不唯一）．14.【答案】1【分析】本题考查了解一元一次不等式组．将代入不等式组中进行计算，即可解答．【详解】解：将代入中得：，成立；将代入中得：，即，∴m的值可以1，故答案为：1（答案不唯一）．15.【答案】或【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时；②当时，利用平行线的判定条件即可求解：【详解】解：由题意得，，如图，当时，可得；②如图，当时，可得，则．故答案为：或；16.【答案】（1）6200；（2）9753【分析】本题考查整式的加减，代数式求值等知识，读懂题意，审清概念是解题的关键．（1）根据“千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2”可知：当个位数字和十位数字都是0，取得最小的“数”，从而得解；（2）根据题意可知，从而代入消去c和d，从而得到，要使得取最大值，则千位数字a取9，由可让、7……依次判断即可．【详解】解：（1）∵千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，∴当个位数字和十位数字都是0时，千位数字是6，百位数字是2，此时取得最小的“数”，最小的“数”为6200，（2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，∴，由题意可知：，即，∴，又∵，∴，∴要使得取最大值，则千位数字a取9，则若，则，不能被8整除，不合题意；若，则，能被8整除，符合题意，此时，；∴满足条件的的最大值为9753．故答案是：（1）6200；（2）9753．三、解答题（本题共68分，第17－21题，第23题，第25题，每题5分；第22题，第24题，每题6分；第26－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】【分析】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则．先计算各部分，再进行加减计算即可．【详解】解：．18.【答案】【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．【详解】解：．19.【答案】【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先分别运用多项式乘法法则和平方差公式展开，再合并同类项即可．【详解】解：20.【答案】．【分析】本题考查了解二元一次方程组．由①得③，把③代入②求出x，把x的值代入③求出y即可．【详解】解：，由①得③，把③代入②得，解得，把代入③得：，所以这个方程组的解是．21.【答案】，不等式组的所有非负整数解为，0．【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，所以不等式组的所有非负整数解为，0．22.【答案】，【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值．根据完全平方公式、平方差公式和单项乘多项式的运算法则可以化简题目中的式子，再将m、n的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：，当时，原式．23.【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，由已知和对顶角相等可得，即得，再根据平行线的性质解答即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【详解】解：（已知），（对顶角相等），（等量代换），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），，，故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．24.【答案】（1）10，88.5，98（2）A款学习软件更受用户喜爱，理由见解析（3）估计此次调查中，对人工智能学习软件的评分等级不低于“满意”的共有555人．【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．（1）用“1”分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值；（2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可；（3）利用样本估计总体，由A、B两款的不低于“满意”的人数之和即可得出答案．【小问1详解】解：由题意得：A款“满意”所占百分比为，∴“不满意”所占百分比为，∴；∵“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，∴，在B款的评分数据中，98出现的次数最多，∴；故答案为：10，88.5，98；【小问2详解】解：A款学习软件更受用户喜爱，理由如下：因为A，B两款学习软件的评分的平均数相同，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款学习软件更受用户喜爱（答案不唯一）；【小问3详解】解：（人），答：估计此次调查中，对人工智能学习软件的评分等级不低于“满意”的共有555人．25.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）根据题意，结合图形，得到，证得结论；（2）根据题意，得，结合已知条件，则有，即可证得结论．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】证明：如图，作的角平分线交于点H，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即．26.【答案】（1）A种规格石雕的单价是180元，B种规格石雕的单价是240元；（2）A种石雕最少可以买8个．【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．（1）设A种规格石雕的单价是m元，B种规格石雕的单价是n元，若购买A种石雕3个、B种石雕4个，共计1500元；若购买A种石雕2个、B种石雕3个，共计1080元，列方程组可解得A种规格石雕的单价是180元，B种规格石雕的单价是240元；（2）设A种石雕可以买x个，由总费用不超过4350元，可得，解得，即可知A种石雕最少可以买8个．【小问1详解】解：设A种规格石雕的单价是m元，B种规格石雕的单价是n元，根据题意得，解得，答：A种规格石雕的单价是180元，B种规格石雕的单价是240元；【小问2详解】解：设A种石雕可以买x个，则B种石雕可以买个∵总费用不超过4350元，∴，解得，∵x为整数，∴x最小取8，答