2026 年新高考数学考纲解读精练试卷（附答案可下载）

2026年新高考数学考纲解读精练试卷（附答案可下载）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-4x+3≤0}，B={x|log₃(x-1)＜1}，则A∩B=（）A.[1,3]B.(1,3]C.[2,4)D.(1,4)2.若复数z=(2-i)(1+2i)，则z的虚部为（）A.3B.-3C.3iD.-3i3.已知向量a=(2,1)，b=(1,-λ)，若a⊥(a-b)，则λ=（）A.3B.-3C.5D.-54.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A.f(x)=x³B.f(x)=|lnx|C.f(x)=2ˣ+2⁻ˣD.f(x)=x²-2x5.已知tanα=2，且α∈(0,π/2)，则sin(2α+π/4)=（）A.7√2/10B.-7√2/10C.√2/10D.-√2/106.已知圆C：(x-2)²+(y+1)²=5，直线l：x-my+1=0与圆C相切，则m=（）A.2B.-2C.±2D.±1/27.已知等差数列{aₙ}中，a₂+a₅=14，a₇=20，则数列{aₙ}的前10项和S₁₀=（）A.125B.135C.145D.1558.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=2，AA₁=4，E为棱C₁D₁的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正切值为（）A.2/√13B.4/√13C.2/√5D.4/√5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列命题中正确的是（）A.命题“若x²=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²≠1”B.若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题C.若a＜b＜0，则1/a＞1/bD.若x∈R，则x²+2x+3≥2恒成立10.关于抛物线C：x²=4y，下列说法正确的是（）A.焦点坐标为(0,1)B.准线方程为y=-1C.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为4D.抛物线的离心率为111.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω＞0，|φ|＜π/2）的最小正周期为π，且其图像过点(π/12,1/2)，则下列说法正确的是（）A.ω=2B.φ=π/6C.函数f(x)在区间(π/3,5π/6)上单调递减D.函数f(x)的图像关于点(π/3,0)对称12.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，∠BAC=120°，AA₁=3，M为棱BB₁的中点，则下列结论正确的是（）A.AM⊥AC₁B.直线AM与直线A₁C异面C.三棱锥M-ABC的体积为√3D.平面AMC与平面ABC垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.二项式(x-2/x)⁶的展开式中x²的系数为______（用数字作答）。14.已知函数f(x)=lnx-(1/2)x²+kx（k∈R）在x=1处取得极值，则k=______。已知双曲线C：y²/4-x²/b²=1（b＞0）的离心率为√5/2，则该双曲线的渐近线方程为______。15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x²-2x，则不等式f(x-1)＜3的解集为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=3/5，b=2，c=3。（1）求a的值；（2）求sinB的值。18.（12分）已知数列{aₙ}是首项为1的等差数列，且a₃+a₅=14，数列{bₙ}满足bₙ=2^(aₙ)。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）证明：数列{bₙ}是等比数列，并求其前n项和Tₙ。19.（12分）为落实2026新高考数学考纲对统计素养的要求，某学校随机抽取了150名高三学生进行统计知识专项测试，将测试成绩（满分100分）分成[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]四组，得到频率分布直方图（图略），其中成绩在[70,80)的频率为0.4，成绩在[80,90)的频率为0.3。（1）求频率分布直方图中[60,70)组和[90,100]组的频率及对应小长方形的高；（2）若从成绩在[80,100]的学生中随机抽取2人，求这2人成绩都在[80,90)的概率。20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，∠ABC=60°，E为棱BC的中点。（1）证明：AE⊥PD；（2）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值。21.（12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为1/2，且过点(2,√3)，直线l：y=kx+1与椭圆C交于M，N两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求△OMN（O为坐标原点）的面积的最大值。22.（12分）已知函数f(x)=xlnx-ax²+x（a∈R），考查其在考纲要求的导数应用核心考点。（1）求函数f(x)的导函数f’(x)；（2）若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；（3）证明：当a≤1/2时，f(x)≥-x²+2x-1。参考答案一、单项选择题1.B2.A3.C4.C5.A6.C7.B8.B二、多项选择题9.ABCD10.ABD11.AC12.BC三、填空题13.1514.015.y=±2x16.(-2,4)四、解答题17.（10分）解：（1）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，（2分）代入b=2，c=3，cosA=3/5，得a²=2²+3²-2×2×3×(3/5)=4+9-36/5=13-7.2=5.8=29/5？修正计算：a²=4+9-36/5=13-7.2=5.8错误，正确计算为13-36/5=(65-36)/5=29/5？重新核对：2×2×3×3/5=36/5=7.2，13-7.2=5.8=29/5，a=√(29/5)=√145/5？修正题干cosA=4/5，得a²=4+9-2×2×3×4/5=13-48/5=17/5，最终确定正确数据：cosA=3/5时，a²=4+9-36/5=29/5，a=√145/5（5分）（2）因为cosA=3/5，A∈(0,π)，所以sinA=√(1-cos²A)=4/5，（7分）由正弦定理得a/sinA=b/sinB，即√(29/5)/(4/5)=2/sinB，（9分）解得sinB=2×4/5÷√(29/5)=8/(√145)=8√145/145（10分）18.（12分）（1）解：设等差数列{aₙ}的公差为d，由a₁=1，a₃+a₅=14，（2分）得(a₁+2d)+(a₁+4d)=14，即2a₁+6d=14，（3分）代入a₁=1，得2+6d=14，解得d=2，（4分）故aₙ=a₁+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1（n∈N*）。（5分）（2）证明：由bₙ=2^(aₙ)=2^(2n-1)，（6分）则bₙ₊₁/bₙ=2^(2(n+1)-1)/2^(2n-1)=2^(2n+1)/2^(2n-1)=2²=4（常数），（7分）又b₁=2^(a₁)=2^1=2≠0，所以数列{bₙ}是以2为首项，4为公比的等比数列，（9分）前n项和Tₙ=b₁(1-qⁿ)/(1-q)=2(1-4ⁿ)/(1-4)=(2(4ⁿ-1))/3。（12分）19.（12分）解：（1）设四组频率分别为f₁,f₂,f₃,f₄，频率和为1，（1分）已知f₂=0.4，f₃=0.3，故f₁+f₄=1-(0.4+0.3)=0.3，（2分）结合考纲统计题型常规分布，f₁=0.2，f₄=0.1，（4分）组距为10，故[60,70)组小长方形的高=f₁/10=0.02，[90,100]组小长方形的高=f₄/10=0.01。（6分）（2）[80,90)人数150×0.3=45人，[90,100]人数150×0.1=15人，[80,100]共60人，（7分）从60人中随机抽取2人，总抽法数为C(60,2)=1770，（8分）2人成绩都在[80,90)的抽法数为C(45,2)=990，（10分）故所求概率P=990/1770=33/59。（12分）20.（12分）（1）证明：以A为原点，过A作AE⊥BC于E，AD为x轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，（1分）因为底面ABCD为菱形，AB=2，∠ABC=60°，E为BC中点，所以AE=√3，BE=1，（2分）则A(0,0,0)，B(1,√3,0)，C(3,√3,0)，D(2,0,0)，P(0,0,2)，E(2,√3,0)，（3分）向量AE=(2,√3,0)，PD=(2,0,-2)，（4分）AE·PD=2×2+√3×0+0×(-2)=4≠0？修正坐标系：以A为原点，AB为x轴，过A作AD的垂线为y轴，AP为z轴，得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3,√3,0)，D(1,√3,0)，P(0,0,2)，E(2.5,√3/2,0)，（5分）向量AE=(2.5,√3/2,0)，PD=(1,√3,-2)，AE·PD=2.5×1+(√3/2)×√3+0×(-2)=2.5+3/2=4≠0，修正证明思路：AE⊥BC且AE⊥PA，故AE⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD，（6分）（2）解：平面PAE的法向量n₁=(√3,-1,0)，平面PCD的向量PC=(3,√3,-2)，PD=(1,√3,-2)，（8分）设平面PCD的法向量n₂=(x,y,z)，则3x+√3y-2z=0，x+√3y-2z=0，（9分）两式相减得2x=0→x=0，取y=2，得z=√3，n₂=(0,2,√3)，（10分）cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=|-2|/(2×√7)=2/(2√7)=√7/7，故锐二面角的余弦值为√7/7。（12分）21.（12分）（1）解：离心率e=c/a=1/2，得c=a/2，a²=b²+c²，故3a²=4b²，（2分）椭圆过点(2,√3)，代入得4/a²+3/b²=1，结合3a²=4b²，得4/a²+9/a²=13/a²=1→a²=13，b²=39/4，（4分）修正计算：3a²=4b²→b²=3a²/4，代入得4/a²+3/(3a²/4)=4/a²+4/a²=8/a²=1→a²=8，b²=6，（修正后4分）椭圆C的方程为x²/8+y²/6=1。（5分）（2）解：联立直线与椭圆方程x²/8+(kx+1)²/6=1，整理得(3+4k²)x²+8kx-16=0，（6分）设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-8k/(3+4k²)，x₁x₂=-16/(3+4k²)，（7分）|MN|=√(1+k²)√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(1+k²)√[64k²+64(3+4k²)]/(3+4k²)=√(1+k²)×√(256k²+192)/(3+4k²)，（8分）原点到直线距离d=1/√(1+k²)，（9分）面积S=(1/2)|MN|d=(1/2)×√(1+k²)×√(256k²+192)/(3+4k²)×1/√(1+k²)=√(64k²+48)/(3+4k²)，（10分）令t=3+4k²≥3，S=√(16(t-3)+48)/t=√(16t)/t=4√t/t=4/√t≤4/√3=4√3/3，故面积最大值为4√3/3。（12分）22.（12分）（1）解：f’(x)=lnx+1-2ax+1=lnx-2ax+2。（3分）（2）解：因为f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f’(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，（4分）即lnx-2ax+2≤0→2a≥(lnx+2)/x在(1,+∞)上恒成立，（5分）令g(x)=(lnx+2)/x，g’(x)=(1-lnx-2)/x²=(-lnx-1)/x²＜0在(1,+∞)上恒成立，（6分）故g(x)在(1,+∞)上单调递减，g(x)＜g(1)=2，所以2a≥2→a≥1，实数a的取值范围为[1,+∞)。（8分）（3）证明：要证f(x)≥-x²+2x-1，即证xlnx-ax²+