2025-2026学年四川省泸州市龙马潭区五校联考九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省泸州市龙马潭区五校联考九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形是用数学家名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.赵爽弦图 B.科克曲线

C.笛卡尔心形线 D.斐波那契螺旋线2.抛物线y=-（x+2）2+1的顶点坐标是（）A.（-2，1） B.（2，1） C.（1，2） D.（1，-2）3.下列事件中，是必然事件的是（）A.从一副扑克牌中抽到红桃 B.打开电视，正在播放新闻

C.12道选择题全选C，正确3道 D.任意作一个三角形，其内角和为180°4.下列运算正确的是（）A.a3•a3=a9 B.（-3a3）2=9a6 C.6a2-3a2=2a2 D.（a-b）2=a2-b25.一元二次方程x2+6x+n=0配方变形为（x+3）2=2，则n的值为（）A.7 B.8 C.9 D.106.如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2

B.48πcm2

C.60πcm2

D.80πcm27.若关于x的方程x2-x-m=0没有实数根，则m的取值可以是（）A.-1 B.0 C.1 D.28.如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是（）A.25°

B.30°

C.35°

D.40°9.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为（）A.x（60-x）=864 B.x+（60-x）=864x+（60-x）=864

C.2x+2（60-x）=864 D.x（60+x）=86410.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m,轮子的吃水深度CD为1m,则该桨轮船的轮子直径为（）A.

B.4m

C.5m

D.6m11.如果A（m-2，a），B（4，b），C（m,a）都在二次函数y=x2-2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜3，则m的取值范围（）A.m＜4或m＞6 B.3＜m＜4或m＞6 C.m＜3或4＜m＜6 D.m＜3或m＞612.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，（x1＜x2）分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点.已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=-kx+2（4+k）上，则b,c的值为（）A.b=2，c=8 B.b=-2，c=-8 C.b=10，c=-16 D.b=-10，c=16二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。13.把多项式2x2+4x+2因式分解的结果是

.14.若点A（1，2）与点B关于点C（-3，-2）对称，则点B的坐标是

.15.已知m,n是一元二次方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于

.16.如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC位置，EC=3，则在旋转过程中线段EC所扫过的面积是

.

17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5，AD=4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为______.

三、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

计算：.19.(本小题8分)

如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．

求证：BC=CF．20.(本小题10分)

随着通讯技术的迅猛发展,人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中,表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？

（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．21.(本小题10分)

已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0的两个实数根分别为x1，x2.

（1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2满足，求实数k的值.22.(本小题10分)

某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元.近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：周销售单价x（元/千克）7580859095周销售量y（千克）9080706050假设一段时间内，不计其它因素和费用.解答下列问题：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由；

（3）求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？23.(本小题12分)

如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里.

（1）求观测点B与C点之间的距离；

（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间.24.(本小题12分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，∠DBC=∠BAC.⊙O经过A、B、D三点.连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，DE与AB交于点F.

（1）求证：CB是⊙O的切线；

（2）求证：AB=EB；

（3）若，BC=5，求⊙O的半径.25.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-4，0），B（2，0），与y轴交于点C.

（1）求抛物线关系式；

（2）已知P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，求四边形APCB面积的最大值；

（3）如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，M是直线AC上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】B

12.【答案】D

13.【答案】2（x+1）2

14.【答案】（-7，-6）

15.【答案】2021

16.【答案】

17.【答案】-2

18.【答案】6．

19.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠FCE，

∵E是CD的中点，

∴DE=CE，

在△ADE和△FCE中，

∵，

∴△ADE≌△FCE，

∴AD=CF，

又∵AD=BC，

∴BC=CF．

20.【答案】（1）100；108°；

（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5(名)，

喜欢用微信的人数为：100-20-5-30-5=40(名)，

补充图形，如图所示：

（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40%，

∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600(名)，

（4）列出树状图，如图所示：

所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，

甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：=.

21.【答案】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1和x2．

∴Δ=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5≥0，

∴．

（2）∵x1+x2=1-2k,，，

∴，

∴（1-2k）2=3（k2-1）+16，

即k2-4k-12=0，

解得：k=6或k=-2，

∵，

∴k=-2．

22.【答案】y=-2x+240

周销售单价定为80元，由题可得：（x-60）（-2x+240）=1600，

解得：x1=100，x2=80，

∵-2x+240≥50，

∴x≤95，

∴x=80．

即周销售单价定为80元

这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价为90元

23.【答案】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，

根据题意可知：∠ACE=∠CAE=45°，AC=25海里，

∴AE=CE=25（海里），

∵∠CBE=30°，

∴BE=25（海里），

∴BC=2CE=50（海里）．

答：观测点B与C点之间的距离为50海里；

（2）如图，作CF⊥DB于点F，

∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，

∴四边形CEBF是矩形，

∴FB=CE=25（海里），CF=BE=25（海里），

∴DF=BD+BF=30+25=55（海里），

在Rt△DCF中，根据勾股定理，得

CD===70（海里），

∴70÷42=（小时）．

答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．

24.【答案】连接OB，OA，如图所示：

在⊙O中，OB=OD，∠BAC=∠BED，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠DBC=∠BAC，

∴∠DBC=∠BED，

∵DE是⊙O的直径，

∴∠DBE=90°，

∴∠ODB+∠BED=90°，

∴∠OBD+∠DBC=90°，

∴OB⊥BC，

∵OB是⊙O的半径，

∴CB是⊙O的切线

在⊙O中，∠ABD=∠AED，

由（1）得：∠DBC=∠BED，

∴∠ABD+∠DBC=∠AED+∠BED，

∴∠ABC=∠BEA，

∵DE是⊙O的直径，

∴∠EAC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACB=180°，

∴AE∥BC，

∴∠ABC=∠BAE，

∴∠BEA=∠BAE，

∴AB=EB

25.【答案】解：（1）将A（-4，0），B（2，0）两点代入解析式得，

，

解得，

∴抛物线关系式y=x2+x-4．

（2）连接OP，

设P点坐标，则，

∵-1＜0，此函数有最大值，

∵-4＜t＜0，

∴当x=2时，四边形面积有最大值，最大面积是16．

（3）存在，此时点N的坐标为：（-4，-3）；（-1，）；（-1，-）；（，-）．

由y=x2+x-4，可知，对称轴为直线x=-1，

∴E（-1，0），

连接CE，可得CE=，

①当CE为边，且四边形CEMN为菱形时，如图所示，

此时CE=M1E=，过点M1作M1G⊥x轴于点G，

设M1（t,-t-4），

则M1G=-t-4，OG=-t,EG=-t-1，

∴（-t-1）2+（-t-4）2=（）2，解得t=0（舍去），或t=-5，

∴M1（-5，1），N1（-4，-3）；

②当CE为边，且四边形CENM为菱形时，如图所示，

此时CE=CM2=CM3=，过点M2作M2H⊥y轴于点H，过点M3作M3T⊥y轴于点T，

∵AO⊥OC，

∴AO∥M2H，AO∥M3T，

∴CH：CO=M2H：OA=CM2：CA=：4，

CT：CO=M3T：OA=CM3：CA=：4，

∴CH=M2H=，CT=TM3=，

∴