2025年大学本科二年级（统计学）多元统计综合技能测试试题及答案

2025年大学本科二年级（统计学）多元统计综合技能测试试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本卷共6题，每题5分。每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案填写在题目后面的括号内。1.主成分分析中，主成分的贡献率是指（）A.主成分的方差占原始变量总方差的比例B.主成分的均值占原始变量总均值的比例C.主成分的协方差占原始变量总协方差的比例D.主成分的相关系数占原始变量总相关系数的比例（A）2.在聚类分析中，当采用离差平方和法时，类与类之间的距离是通过（）来计算的。A.两类重心之间的距离B.两类样本之间的最短距离C.两类样本之间的最长距离D.两类合并后类内离差平方和的增加量（D）3.判别分析的主要目的是（）A.对样本进行分类B.寻找变量之间的关系C.进行数据降维D.估计总体参数（A）4.因子分析中，因子载荷矩阵的元素表示（）A.因子与原始变量的相关系数B.因子之间的相关系数C.原始变量之间的相关系数D.因子的方差贡献率（A）5.典型相关分析研究的是（）A.两组变量之间的线性相关关系B.两组变量之间的非线性相关关系C.一组变量内部的相关关系D.一组变量与另一组变量的因果关系（A）6.在多元线性回归模型中，若某个解释变量的方差膨胀因子VIF很大，则说明（）A.该变量与其他变量之间存在严重的多重共线性B.该变量的观测值有异常C.该变量对被解释变量的影响不显著D.模型的拟合优度很低（A）第II卷（非选择题共70分）答题要求：请根据题目要求，在相应位置作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7.（10分）简述主成分分析的基本思想和步骤。主成分分析的基本思想是通过线性变换，将原始变量组合成若干个互不相关的新变量，这些新变量称为主成分，且保留了原始变量的大部分信息。步骤如下：首先对原始数据进行标准化处理；然后计算相关系数矩阵；接着求相关系数矩阵的特征值和特征向量；再根据特征值的贡献率确定主成分个数并计算主成分；最后对主成分进行解释和应用。8.（15分）在聚类分析中，常用的距离度量方法有哪些？请分别简述其定义。常用的距离度量方法有：欧氏距离，它是两点之间直线距离的平方和开方；明氏距离，包括绝对距离（p=1时）、欧氏距离（p=2时）等，是各变量值之差的p次方和的p次方根；切比雪夫距离，是各变量值之差绝对值的最大值。还有马氏距离，它考虑了变量之间的协方差结构，消除了量纲和相关性的影响。9.（15分）已知一个多元线性回归模型：Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+ε，现有一组观测数据如下：|Y|X1|X2|X3||---|---|---|---||10|2|3|4||12|3|4|5||14|4|5|6||16|5|6|7||18|6|7|8|请用最小二乘法估计模型的参数β0、β1、β2、β3。首先计算相关数据：X1均值=4，X2均值=5，X3均值=6，Y均值=14。L11=∑(X1i-4)^2=10，L12=∑(X1i-4)(X2i-5)=10，L13=∑(X1i-4)(X3i-6)=10，L22=∑(X2i-5)^2=10，L23=∑(X2i-5)(X3i-6)=10，L33=∑(X3i-6)^2=10，L1Y=∑(X1i-4)(Yi-14)=20，L2Y=∑(X2i-5)(Yi-14)=20，L3Y=∑(X3i-6)(Yi-14)=20。然后计算系数矩阵的逆矩阵：系数矩阵=[101010][101010][101010]逆矩阵=[0.15-0.1-0.05][-0.10.2-0.1][-0.05-0.10.15]最后计算参数：β1=L1Y0.15+L2Y(-0.1)+L3Y(-0.05)=200.15+20(-0.1)+20(-0.05)=1β2=L1Y(-0.1)+L2Y0.2+L3Y(-0.1)=20(-0.1)+200.2+20(-0.1)=2β3=L1Y(-0.05)+L2Y(-0.1)+L3Y0.15=20(-0.05)+20(-0.1)+200.15=1β0=Y均值-β1X1均值-β2X2均值-β3X3均值=14-14-25-16=2所以β0=2，β1=1，β2=2，β3=1。10.（20分）材料：为研究某地区居民的消费结构，收集了该地区50户居民的食品支出（X1）、衣着支出（X2）、居住支出（X3）、交通通信支出（X4）和教育文化娱乐支出（X5）的数据。经过初步分析，发现这些变量之间可能存在一定的相关性。问题：请你选择一种合适的多元统计方法来分析这些变量之间的关系，并说明理由。如果采用该方法，具体步骤是什么？可以选择主成分分析方法。理由是主成分分析能够将多个相关的原始变量转化为少数几个互不相关的主成分，在保留原始变量大部分信息的同时，实现数据降维，便于更清晰地了解变量之间的关系。步骤如下：先对数据进行标准化处理；接着计算相关系数矩阵；然后求相关系数矩阵的特征值和特征向量；根据特征值贡献率确定主成分个数并计算主成分；最后对主成分进行解释，分析各主成分所代表的含义以及与原始变量的关系。11.（10分）在判别分析中，如何判断判别函数的有效性？可以通过以下几个方面判断判别函数的有效性：首先看判别准确率，即正确判别的样本数占总样本数的比例