2025年大学本科二年级（统计学）概率论与数理统计综合试题及答案

2025年大学本科二年级（统计学）概率论与数理统计综合试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则随着σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}将会（）A.单调增加B.单调减少C.保持不变D.增减不定2.已知随机变量X和Y相互独立，且它们的分布函数分别为F_X(x)和F_Y(y)，则Z=max(X,Y)的分布函数F_Z(z)为（）A.F_X(z)+F_Y(z)B.F_X(z)F_Y(z)C.1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))D.min(F_X(z),F_Y(z))3.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，则样本均值X̅的数学期望E(X̅)为（）A.λB.nλC.λ/nD.n²λ4.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则关于X的边缘概率密度f_X(x)为（）A.∫f(x,y)dyB.∫f(x,y)dxC.f(x,y)D.15.已知随机变量X的方差D(X)=4，Y=2X+3，则D(Y)等于（）A.4B.8C.16D.206.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，则θ的矩估计量为（）A.X̅B.2X̅C.nX̅/(n-1)D.(n+1)X̅/n7.设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则P{X<1.96}的值为（）A.0.95B.0.975C.0.025D.0.058.设A,B为两个随机事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列式子中正确的是（）A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(A-B)=P(A)-P(B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A|B)=P(AB)/P(B)9.设总体X的均值为μ，方差为σ²，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，样本方差S²=1/(n-1)∑(X_i-X̅)²，则E(S²)等于（）A.σ²B.nσ²C.σ²/nD.(n-1)σ²10.设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(x)为偶函数，则E(X)的值为（）A.0B.1C.2D.无法确定第II卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）答题要求：把答案填在题中横线上。11.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则P{X>1}=________。12.已知随机变量X的分布列为P{X=k}=C(5,k)(1/3)^k(2/3)^(5-k)，k=0,1,2,3,4,5，则C=________。13.设总体X服从正态分布N(1,4)，X_1,X_2,X_3是来自总体X的简单随机样本，则(X_1+X_2+X_3)/3服从的分布为________。14.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P{X=i,Y=j}=1/6，i=1,2，j=1,2，则X与Y的协方差Cov(X,Y)=________。15.设总体X服从参数为p的0-1分布，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，则p的极大似然估计量为________。三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）答题要求：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.设随机变量X的概率密度为f(x)={kx²,|x|<1;0,其他}，求：(1)常数k；(2)P{-1/2<X<1/2}；(3)X的分布函数F(x)。17.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={2e^(-x-2y),x>0,y>0;0,其他}，求：(1)关于X和Y的边缘概率密度f_X(x)和f_Y(y)；(2)判断X与Y是否相互独立；(3)P{X<Y}。18.设总体X的概率密度为f(x)={θx^(θ-1),0<x<1;0,其他}，其中θ>0为未知参数，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的简单随机样本，求θ的极大似然估计量。四、综合题（本大题共1小题，15分）材料：某工厂生产的某种产品的质量指标X服从正态分布N(μ,σ²)，现从该产品中随机抽取25件，测得样本均值X̅=16，样本方差S²=9。答题要求：(1)求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间；(2)在显著性水平α=0.05下，检验假设H_0:μ=15，H_1:μ≠15。（已知t_{0.025}(24)=2.0639，z_{0.025}=1.96）五、证明题（本大题共1小题，5分）答题要求：证明应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.设随机变量X与Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，证明：Z=X²+Y²服从自由度为2的χ²分布。答案：1.C解析：P{|X-μ|<σ}=P{μ-σ<X<μ+σ}，其值只与正态分布的参数有关，与σ大小无关，所以保持不变。2.C解析：F_Z(z)=P{Z≤z}=P{max(X,Y)≤z}=P{X≤z,Y≤z}=F_X(z)F_Y(z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))。3.A解析：E(X̅)=E(X)=λ。4.A解析：f_X(x)=∫f(x,y)dy。5.C解析：D(Y)=D(2X+3)=4D(X)=16。6.B解析：E(X)=θ/2，令θ/2=X̅，得θ=2X̅。7.B解析：查标准正态分布表可得P{X<1.96}=0.975。8.D解析：根据条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)。9.A解析：E(S²)=σ²。10.A解析：因为f(x)为偶函数，所以E(X)=∫xf(x)dx=0。11.e^(-2)解析：P{X>1}=∫(1到+∞)2e^(-2x)dx=e^(-2)。12.1解析：由二项分布概率和为二项式展开式系数和，可得C=1。13.N(1,4/3)解析：(X_1+X_2+X_3)/3服从N(1,4/3)。14.0解析：先求E(X)、E(Y)、E(XY)，再根据Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)计算得0。15.X̅解析：似然函数L(p)=p^∑X_i(1-p)^(n-∑X_i)，对p求导并令导数为0，解得p的极大似然估计量为X̅。16.(1)由∫(-1到1)kx²dx=1，解得k=3/2；(2)P{-1/2<X<1/2}=∫(-1/2到1/2)3/2x²dx=1/4；(3)当x<-1时，F(x)=0；当-1≤x<1时，F(x)=∫(-1到x)3/2t²dt=1/2x³+1/2；当x≥1时，F(x)=1。17.(1)f_X(x)=∫(0到+∞)2e^(-x-2y)dy=2e^(-x)，x>0；f_Y(y)=∫(0到+∞)2e^(-x-2y)dx=2e^(-2y)，y>0；(2)因为f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，所以X与Y相互独立；(3)P{X<Y}=∫(0到+∞)∫(0到y)2e^(-x-2y)dxdy=1/3。18.似然函数L(θ)=θ^n(∏X_i)^(θ-1)，取对数lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)∑lnX_i，对θ求导并令导数为0，解得θ的极大似然估计量为n/(-∑lnX_i)。19.因为X与Y相互独立且都服从N(0,1)，则X²服从自由度为1的χ²分布，Y²服从自由度为1的χ²分布，根据χ²分布的可加性，Z