2025-2026学年广东省惠州市正弘实验学校高二上学期12月月考数学 附答案

/惠州市正弘实验学校2025-2026学年高二年级第一学期12月月考数学试卷试卷分值：150分；考试时间：120分钟；一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.等差数列{an}中，a3=3，aA.2 B.6 C.1 D.142.在数列{an}中，a1=2，且aA.2 B.−1 C.12 D.3.关于抛物线y2=−2xA.开口向右 B.焦点坐标为(−1,0)

C.准线方程为x=1 D.对称轴为x4.已知双曲线C:x2a2−yA.y=±14x B.y=±15.过椭圆x24+y2A.32 B.32 C.36.双曲线x2−y2=1A. B. C. D.7.动圆M过定点A(−4, 0)，与定圆B：(x−4)2+A.x212−y24=1 B.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>A.[32,1) B.(0,3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3A.an=2n−3 B.S10=70 C.10.已知直线l:kx−y+2A.直线l过定点(−2,0)

B.直线l与圆C恒相交

C.直线l被圆C截得的弦长为4时，k=−43

D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线11.已知O为坐标原点，M(1,2)，P是抛物线C：y2=2px上的一点，F为其焦点，若F与双曲线A.若|PF|=6，则点P的横坐标为4

B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为3

C.若▵POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。12.已知椭圆x2a2+y24=1(13.若点P在椭圆x22+y2=1上，F1,F14.在数列中，已知，且，则

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知数列的前项和为(1)求的最小值，并求此时的值：(2)求出的通项公式16.已知圆C经过点和，且圆心C在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值.17.在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且．（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值.19.已知双曲线的渐近线方程是，且过点.(1)求的标准方程；(2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知.（i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；（ii）求面积的取值范围.惠州市正弘实验学校2025-2026学年高二年级第一学期12月月考数学答案和解析1.【答案】B

解：记等差数列{an}的公差为d，

根据题意，因为等差数列{an}中，2.【答案】B

【解答】解：∵a1=2，且an+1=11−a3.【答案】D

解：因为抛物线的方程为y2=−2x，所以p=1，即p2=12，

所以抛物线开口向左，焦点坐标为−12解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为525.【答案】C

解：椭圆焦点的横坐标为±4−3=±1，则直线与椭圆的交点的纵坐标满足1所以过椭圆x24+y26.【答案】C

解：设直线l的方程为y−1=k(x−2)，即y=kx−2k+1.

联立方程组x2−y2=1y=kx−2k解：设动圆圆心为点P，则|PB|=|PA|+4，即|PB|−|PA|=4<|AB|=8，

∴点P的轨迹是以A，B为焦点，且2a=4，a=2的双曲线的左支，又∵2c=8【解析】解：设椭圆C的焦点为F₁(−c,0)、F₂(c,0)，A为椭圆上一点，

记|AF₁|=m，|AF₂|=n，由椭圆定义得m+n=2a．因为AF1|AF1|⋅AF2|AF2|=cos∠F₁AF₂=−12，

所以∠F1A9.【答案】ACD

【解析】解：因为等差数列{an}中S3=3，a4=5，所以3a1+3d=3a1+3d=5，解得d=2，a1=−1，

故an=−1+2(n−1)=2n−3【解析】解：直线l:kx−y+2k=0由|CP|2=(−2+1)2+(0−2)2=5<8如图，直线l与圆C相交于A,B两点，连接CA，则过点C作CD⊥AB于点D，则AD=即点C到直线l的距离d=2，由d=|−k−2+2k|由图知，直线l于PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，因P(−2,0)，此时kPC=2−0−1−(−2)=2，k整理得x+2y+2=011.【答案】ACD

解：∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，∴p2=2,∴p=4，∴抛物线的标准方程为y2=8x，∴抛物线的准线方程为x=−2．

对于A，设点P1(x,y)，由抛物线的性质知x+2=P1F=6，所以点P1的横坐标为4，A正确；

对于B，联立x23−y2=1x=−2，解得两交点的坐标分别为(−2,33)，(−2,−33)，所以抛物线的准线被双曲线截得的线段长度为233，B错误；

对于C，根据抛物线的概念知圆心到准线的距离等于到点F的距离，所以圆心P2在抛物线上，由三角形的外接圆性质知圆心到O，F的距离相等，所以圆心P2又在线段OF的垂直平分线上，故圆心P12.【答案】4

解：设椭圆与双曲线的焦距均为2c，双曲线x29−y23=1，由此得c=13.【答案】1

解：椭圆x22+y2=1的a=2，b=1，则c=2−1=1，则PF1+PF2==214．【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案.15．(1)最小值为，此时或8；(2).【详解】（1）由，，故或时，最小为；（2）当时，，当时，，显然不满足上式，故.16．(1)(2)或【详解】（1）由圆心在直线上，设圆心，由，得，解得，因此圆心，半径，所以圆的标准方程为.（2）由（1）知，圆的圆心为，半径，由，得圆心到直线的距离，则，即，解得或，所以实数的值为或.17.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】因为平面，平面，且四边形是矩形，所以两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，因为，且.所以．因为，所以，即．【小问2详解】由（1）得．设是平面的一个法向量，则，令，得，所以．因为平面，所以平面，所以平面的一个法向量为．因为，结合图形可得：平面与平面夹角的余弦值为．18.(1)；(2)4.【详解】（1）由椭圆：的短轴长为4，得，由椭圆的离心率，得，则，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，由消去并整理得，，解得，则，，原点到直线的距离，因此的面积，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为4.19.(1)(2)（i）证明见解析，（ii）【详解】（1）设双曲线的方程为，因为双曲线过点，所以，所以双曲线的方程为.（2）（i）设直线