2025-2026学年河南省漯河市临颍县新时代实验学校高二上学期期中考试数学 附答案

/2025-2026学年度高二上学期数学期中考试一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分）1．如图，在平行六面体中，若，则（

）

A． B． C． D．2．已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（

）A． B．0 C． D．3．在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的大小是（

）．A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（

）A．2 B． C． D．5．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．椭圆的短轴长为（

）A． B． C．6 D．37．经过两点，的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．8．圆与圆的公切线的条数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多项选择题（本题3小题，每题3分，共18分）9．已知点，圆，则（

）A．点在直线上B．点可能在圆上C．圆上至少有2个点与点的距离为1D．过点作圆的切线，则切点弦过点10．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的是（

）A．与所成角的余弦值为B．与平面所成角的正弦值为C．点到直线的距离为D．与平面的距离为11．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（

）A．的焦距为B．的渐近线方程为C．的外接圆的面积为D．过点作直线交于，两点，且，则三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分）12．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是.13．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为.14．设，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，，则的离心率为.四、解答题（本题5小题，共77分）15．（本题14分）已知抛物线：（）经过点.(1)求抛物线的焦点的坐标；（6分）(2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围.（8分）16．（本题18分）如图，在四边形中，，，，将沿翻折至，使点落在点的位置，且.点，满足，，连接，，.

(1)证明：；（5分）(2)求平面与平面的夹角的余弦值；（7分）(3)若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.（6分）17．（本题15分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，.(1)求圆的标准方程；（7分）(2)求过原点且与圆相切的直线方程.（8分）18．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面.

(1)证明：.（5分）(2)点在线段上，若平面，求.（5分）(3)求二面角的正弦值.（7分）19．（本题13分）已知空间中三点，，，设，.(1)求与的值；（6分）(2)已知向量与互相垂直，求k的值.（7分）2025-2026学年度高二上学期数学期中考试参考答案1．A【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可.【详解】解：，又因，，∴，∴，，，故选：A.2．A【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.【详解】因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为，解得.故选：A.3．C【分析】将正三棱柱补体后得到如图所示的几何体，则或其补角即为所求的异面直线与所成的角，通过解三角形可得其大小.【详解】如图，将题设的正棱柱补成如图所示的几何体，因为，故或其补角即为所求的异面直线与所成的角.设，则，在直角三角形中，因为，，故，同理，，故，而，故，故异面直线与所成的角为.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，注意通过平移、补体等方法构造异面直线所成的角，本题属于中档题.4．A【分析】由题意，得，进而得到即可求解离心率.【详解】由题意，得，则，所以，则，即，所以的离心率为.故选：A.5．B【分析】利用在上的投影向量公式计算求解.【详解】在上的投影向量为故选：B.6．C【分析】化简椭圆的方程为标准方程，结合椭圆的几何性质列出方程，即可求解.【详解】椭圆的标准方程为，则，，所以，，故此椭圆的短轴长.故选：C.7．D【分析】根据两点坐标可得直线斜率，由斜率与倾斜角关系可得结果.【详解】，，，设直线的倾斜角为，则，.故选：D.8．A【分析】确定两圆的圆心与半径，确定圆与圆的位置关系，从而确定公切线的条数.【详解】，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3，两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离，则两圆的公切线有4条.故选：A.9．AD【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解.【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确；对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误；对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误；对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦．圆的直径式方程为，整理得

①．圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确故选：AD10．ACD【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断.【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则对于A，，，设与所成角为，则，故A正确；对于B，平面的法向量可取为，，设与平面所成角为，则，故B错误；对于C，因，与同方向的单位向量为，，则点到直线的距离为，故C正确；对于D，设平面的法向量为，，则，故可取，由，平面，可得平面，则与平面的距离即点到平面的距离，由，则到平面的距离为，故D正确.故选：ACD11．ABD【分析】由题设求得的重心的坐标为代入圆，结合，求得，进而得的焦距和渐近线方程，即可判断A、B；由题设得，令，，进而可求的外接圆的圆心，从而得半径、面积即可判断C；设直线，，，联立利用韦达定理结合求得，再利用弦长公式求得即可判断D.【详解】由题意易得C，D两点的坐标为，，又，所以的重心的坐标为，记，则以线段为直径的圆的方程为，所以，所以，所以，所以的焦距为，，故的渐近线方程为，故A、B均正确；不妨令，，又，所以线段的垂直平分线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以的外接圆的圆心为，所以的外接圆的半径为，所以的外接圆的面积为，故C错误；由上面分析知的方程为，由题知直线的斜率不为0，设直线，，，联立，整理得，则，，，，所以，因为，所以，所以，即，整理得，即，所以，故D正确.

故选：ABD.12．【分析】求得点关于轴的对称点为，求得到圆上上的点的最短距离即可.【详解】由圆，得圆心坐标，半径为1，点关于轴的对称点为，则到圆上上的点的最短距离即为它爬到的最短路程，所以它爬到的最短路程是.故答案为：.13．【分析】设G关于平面对称的点为，的周长，再通过建系以及转化思想转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况，由此可得结果.【详解】设G关于平面对称的点为，连接，则，，的周长，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，，设，则，所以即点到与距离和的最小值，设关于x轴对称的点为，则故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.14．【分析】利用双曲线的定义得到，由得到，由得到，设，求出，由及二倍角的余弦公式得到，由即得到，在中，利用余弦定理建立的等式计算得解.【详解】点在的右支上，，，，，，设，，，，，，，，，，，，在中，，即，整理得，则，又，故.故答案为：15．(1)；(2)或.【分析】（1）将点代入抛物线方程计算求出，求出焦点坐标即可；（2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解.【详解】（1）抛物线：（）经过点，，，，抛物线的焦点的坐标为；（2）设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为，联立，消去，整理得到，与有2个交点，，，或.实数的取值范围为或.16．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由线面垂直的判定理证明平面即可求解；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解；（3）求出平面的法向量，再由线面角的向量求法求解．【详解】（1）证明：取的中点，连接，.

因为，所以，因为，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，故.（2）因为，，所以，则，由，得，因为，所以，则.所以，，互相垂直，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系.则，，，.，，设平面的法向量为，取，则，由（1）可知，，易知，又，，所以，，又，，平面，所以平面，则是平面的一个法向量.所以，故平面与平面的夹角的余弦值为.（3）因为，所以四边形为平行四边形，则，又，所以四边形为平行四边形，则，，又，，所以，，则四边形为平行四边形，所以.设平面的法向量为，取，则，易知，因为点是线段的中点，所以，设直线与平面所成的角为，所以.故直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)或【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解；（2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案.【详解】（1）线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线斜率为，方程为，即，由，解得，，因此圆的圆心，半径，所以圆的标准方程为.（2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为，即直线与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为，解得，因此切线方程为，所以经过原点且与圆相切的直线方程为或.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）作，垂足为，连接.在中，根据题设证得，进而得到平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）先在（1）的基础上证得平面，再结合平面得到平面平面.再根据面面平行的性质，利用线段成比例即可得解；.（3）利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值进而得答案．【详解】（1）作，垂足为，连接.在中，.，.所以，四边形是正方形.所以.因为，所以平面.因为平面，所以.（2）因为四边形是正方形，