北京市顺义区第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/北京市顺义区第一中学2025−2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知向量，，且，那么（

）A． B． C． D．52．已知过原点的直线与圆相切，切点在第二象限，则该直线的方程为．A． B．C． D．3．甲、乙两个袋子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号不同外没有其他差别.分别从两个袋子中随机摸出一个球，则摸出的两个小球的标号相同的概率是（

）A． B． C． D．4．过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于、两点，则下列结论错误的是（

）A．直线的方程为 B．C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上5．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（

）A． B． C． D．6．从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．8．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（

）A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.749．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（

）A．直方图中x的值为0.004B．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10C．估计全校学生的平均成绩不低于80分D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分10．正方体，是线段（不含端点）上的点.记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（

）A． B． C． D．二、填空题11．数列满足，，，则.12．样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是，第75百分位数是．13．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积．14．如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为．15．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点.给出下面四个命题：①曲线关于轴对称；②曲线上两点间的最大距离为；③的取值范围为；④曲线围成的图形的面积小于.则以上命题中正确的序号有.三、解答题16．某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查结果如下表：阅读名著的本数12345男生人数31213女生人数13312（1）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；（2）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（3）试比较该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在正方体中，正方体的棱长为2，为的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求到平面的距离．18．已知直线与圆相交于不同两点.（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦若存在，求出的值，并求出此时线段的长；若不存在，请说明理由.19．已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.（1）求抛物线的方程和焦点的坐标；（2）抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.20．已知椭圆经过和两点，点为椭圆C的右顶点，点P为椭圆C上位于第一象限的点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）比较的面积与的面积的大小，并说明理由．21．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”（1）求点P所在曲线的方程.（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.（ⅰ）求直线的方程.（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】C【详解】由向量，，且，得，则，则.故选C2．【答案】D【详解】设过原点的切线为：即，又圆的圆心坐标为，其半径为，因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离，解得或，因为切点在第二象限，故，所以，切线为：，故选D.3．【答案】B【详解】分别从两个袋子中随机摸出一个球，共有16种情况，小球标号相同的有4种，则摸出的两个小球的标号相同的概率是.故选B.4．【答案】D【详解】依题意，设直线的方程为，由直线过点，得，解得，直线，由时，得点，由时，得点.对于A，直线的方程为，A正确；对于B，因，则，B正确；对于C，原点到直线的距离为，C正确；对于D，线段的中点不在直线上，D错误.故选D5．【答案】C【详解】由椭圆方程可知，即焦点坐标为，设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为.故选C.6．【答案】B【详解】从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，可能的情况有：共有10种可能，其中，能构成三角形的只有共2种可能，故这三条线段能构成一个三角形的概率为故选:7．【答案】A【详解】双曲线的渐近线方程为，斜率为，依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上，所以直线的斜率的取值范围是.故选A8．【答案】C【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件，则两人都中靶的概率为，两人都不中靶的概率为，恰有一人中靶的概率为，至少一人中靶的概率为.故选C9．【答案】C【详解】由得，A错；成绩在区间[60，70）的频率为，人数为，B错；平均成绩为，C正确；低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数约为分，则，解得，D错．故选C．10．【答案】A【详解】不妨设为的中点，连接交于，做的中点为，连接,经过分析，从而可求出，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设为的中点，连接交于，做的中点为，连接，则面.设正方体的边长为.由题意知.，，则；则；.因为，所以.故选:A.11．【答案】20【详解】由，得，，.12．【答案】57【详解】样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，，该组数据的第50百分位数是，，第75百分位数是7．13．【答案】【详解】抛物线的方程为，，可得，得焦点设,根据抛物线的定义，得，即，解得，点在抛物线上，得n2=4×3=24,，的面积为．故答案为．14．【答案】【详解】解：连接，因为是圆的直径，所以，即，因为是等边三角形，所以所以所以在中，由双曲线的定义得即所以双曲线的离心率为15．【答案】①③【详解】对于①，在曲线上任取点，则关于轴的对称点为，因，即，故曲线上的点关于轴对称，即曲线关于轴对称，故①正确；对于③，设，则，因，则，即，即，故，则，故③正确；对于④，设在曲线上，易得也在曲线上，即曲线上的点关于轴对称，故曲线关于轴对称，当时，曲线的方程可化为，则曲线与轴正半轴交于点与轴交于点，根据对称性可得到曲线的大致图象：曲线围成的图形的面积，故④错误；对于②，由③可知，根据曲线的图象的对称性可知，曲线上两点间的最大距离为，故②错误.16．【答案】（1）3；（2）；（3）.【详解】（1）女生阅读名著的平均本数为本．（2）设事件从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人．男生阅读5本名著的3人分别记为，女生阅读5本名著的2人分别记为．从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：，，，，，，，，，．其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：，，，，，．则．（3）男生阅读名著的平均本数为，则，所以.17．【答案】（1）见详解（2）（3）【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，则,（2）因为正方体的棱长为2，∴，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，∴，设直线与平面所成角为，则|＝||＝，故直线与平面所成角的正弦值为．（3）∵，∴由（2）知，平面所的法向量为，∴平面，所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，18．【答案】（1）（2）存在，的长【详解】（1）圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，∵直线与圆相交于不同两点，∴，即，解得或.所以实数的取值范围为.（2）∵为圆上的点，∴的垂直平分线过圆心，∴直线与直线垂直，又，∴，解得，符合（1）中的取值范围，∴存在，使得过的直线垂直平分弦，此时直线的方程为，圆心到直线的距离，所以.19．【答案】（1）抛物线的方程为，焦点坐标为（2）存在，且【详解】（1）将代入得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.（2）存在，理由如下：直线的方程为，或，即.抛物线的准线，设，，即，所以.即存在点使.20．【答案】（1），离心率；（2）相等，理由见详解【详解】（1）由题意可知，，，所以椭圆方程为，离心率；（2）设直线，令，得，直线，令，得，所以，所以

21．【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）存在，【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P所在曲线的方程为（2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则所以，