河南省漯河市临颍县博雅学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/河南省漯河市临颍县博雅学校2025−2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．数列中，，（为正整数），则的值为（

）A． B． C． D．2．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．3．双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．4．、分别为与上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．65．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于A．或 B．或 C．或 D．或6．如图，直径为4的球放在地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A． B． C． D．8．已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（

）A．两两垂直 B．两两异面 C．两两相交 D．两两平行二、多选题9．在正三棱台中，，，点是线段上的动点，则下列选项中正确的是（

）A．B．直线与直线所成角的取值范围为C．存在点使得平面D．存在点使得平面10．已知点是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上的一点，且，，则（

）A．B．的面积为C．双曲线的离心率为D．直线是双曲线的一条渐近线11．已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的有（

）A． B．F为中点C． D．三、填空题12．已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点若，则双曲线的离心率的取值范围是13．若圆被直线平分，则圆C的半径为．14．曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为.四、解答题15．已知椭圆过点，且焦距为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，求直线的斜率的取值范围．16．已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为．（1）求动点的轨迹方程；（2）若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程．17．已知点为抛物线的焦点，过点的动直线与抛物线C交于,两点，如图．当直线与轴垂直时，．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点,设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为．请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．18．如图，在棱长是2的正方体中，为的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离.19．已知椭圆的左顶点为，下顶点为，且过点（1）求点的坐标；（2）若直线上存在一点，上存在一点，使是以为直角顶点的等腰直角三角形，求实数的取值范围.

参考答案1．【答案】A【详解】因为，所以，所以，故选A2．【答案】B【详解】设在基底下的坐标为，则，在下的坐标为，，由得，，即在下的坐标为．故选B．3．【答案】C【详解】双曲线的渐近线方程为，即．故选C.4．【答案】B【详解】因直线与直线互相平行，、是两直线上的点，故当且仅当为两直线的公垂线段时，取得最小值，即的最小值为两直线之间的距离，为.故选B.5．【答案】A【详解】因为，所以可设，若曲线为椭圆则，则；若曲线为双曲线则，，∴，故选.6．【答案】B【详解】平面截球得到球面大圆，如图，是球大圆的外切三角形，其中切圆于点，则有，，，，，，，，，，，，，为椭圆的一个焦点，，，.故选B.7．【答案】A【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：共3组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故选A.8．【答案】D【详解】如图1，可得，，可能两两垂直，故A正确；如图2，可得，，可能两两相交，故C正确；如图3，可得，，可能两两异面，故B正确；

对D，设，且与均不重合，假设：，由可得：，，又，可知，，又，可得：，因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面，若与或重合，同理可得与相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行，故D错误.故选D.9．【答案】BCD【详解】将正三棱台补成如图所示的正三棱锥，因为，则，所以为的中点，过作于，由正三棱台的性质得，又，则，过作平面于，则是的中心，连接并延长交于，易知为的中点，由，易得，，，所以，设平面于，连接并延长交于，易知为的中点，易得，，，过作交于，则，过点作直线平面，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，对于A选项，，则，所以不垂直，故A错误；对于B选项，设，因为，设直线与直线所成的角为，则，又，令，令，则，当时，，当时，，又，则，故，则，又，所以，故B正确；对于C选项，当与重合时，此时即，易知，又平面，平面所以平面，故C正确，对于D选项，由选项B知，又则，得到，解得，故当与重合时，平面，故D正确，故选BCD.10．【答案】ACD【详解】

由双曲线的定义可得，，，故A正确；因为，故的面积为，故B错误；由勾股定理得，即，所以，故C正确；因为，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为，故D正确，故选ACD.11．【答案】BCD【详解】如图所示：作准线l于点C，轴于M，准线l于点E．直线的斜率为，

所以∴，故，代入抛物线，得（舍去）；，所以，故F为中点；又，故；，，故．故选BCD．12．【答案】【详解】已知，是双曲线的左、右焦点，所以.以为圆心，为半径的圆的方程为，双曲线的一条渐近线为，联立渐近线与圆的方程得，化简得，设，根据韦达定理得.所以.而，所以有，化简得，所以解得，又，所以.13．【答案】【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心，圆的圆心为，即，解得：，则圆，则圆的半径为．14．【答案】【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为.15．【答案】（1）；（2）【详解】（1）将代入椭圆方程可得，又，即，且，解得，，所以椭圆方程为；（2）当不存在时，显然不满足题意，故存在，不妨设直线的方程为，联立，得，则，解得，即的取值范围是16．【答案】（1）（2）【详解】（1）设，直线，相交于，且它们的斜率之积为，，化简得，则动点的轨迹方程为；（2）由（1）得的轨迹方程为，设点，，则有，，得：，整理得：，为的中点，，，直线的斜率，直线的方程为，即.17．【答案】（1）（2）是定值0【详解】（1）依题意得，∵与轴垂直，且，∴，又∵点在抛物线上，∴，∴，故求抛物线C的方程为；（2）设直线与抛物线交于不同两点，，①当直线斜率不存在时，知直线与关于轴对称，故；②当直线斜率存在时，直线的方程设为，，联立，得则，．又∵，，且，，∴，综上，可得为定值．18．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为正方体棱长为2，故以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则有，，，，，，，，.因为，，所以，因为异面直线与所成角是锐角，所以异面直线与所成角的余弦值是.（2）设平面的法向量是，则，，即，