天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年高一上学期第二次限时训练12月数学检测试卷 附答案

/天津市南开中学滨海生态城学校2025−2026学年高一上学期第二次限时训练（12月）数学试卷一、单选题1．下列角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．4．角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．05．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．6．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（

）A． B．C． D．8．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．9．已知，则（

）A． B． C．4 D．610．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（

）天.（参考数据：，，A．9 B．15 C．25 D．3511．函数，若，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．12．若函数的图象上存在两点，关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”.若恰好有两个“基点对”，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题13．设集合，，，则．14．若函数（为常数）在定义域上为奇函数，则.15．已知函数的单调递增区间为．16．已知角的终边经过点，则．17．已知，则.18．已知，则的最大值是．19．已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是．20．已知函数，给出下面四个结论：①当时，只有一个零点；②对任意，既没有最大值，也没有最小值；③存在实数，在上单调递增；④若存在最小值，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是．21．22．23．24．（1）已知，在第二象限，求，的值；（2）已知，且，求的值；（3）若角的终边落在直线上，求的值.25．已知函数（为常数）（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围：（2）当时，①若试用表示;②是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.26．设函数（且），且，，函数．（1）求和的解析式；（2）若关于x的方程在区间上有实数解，求实数m的取值范围；（3）设，，，若对任意的，均存在，满足．求实数λ的取值范围．

参考答案1．【答案】C【详解】根据终边相同的角的知识确定正确选项.【详解】与角终边相同的角是，令，得.故选C2．【答案】A【详解】当时，必有，故“”是“”的充分条件，当时，或，推不出；故“”是“”的充分不必要条件，故选A．3．【答案】B【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为，对于A，，函数关于y轴对称，故A错误；对于C，因为的定义域为，故C错误；对于D，当，时，，不符合图象，故D错误；对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确.故选B.4．【答案】D【详解】因为角的终边经过点，则,.所以故选D5．【答案】A【详解】由题意，，，故.又，所以.故选A6．【答案】A【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则，则.故选A.7．【答案】C【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以的图象关于原点对称，由此画出函数在上的图象，在同一坐标系内画出的图象，因为，，所以，又，，所以的图象与的图象交于和两点，如图，所以结合图象可知，的解集为.故选C.8．【答案】B【详解】函数在区间上单调递增，，，得，所以函数的零点在区间内．故选B9．【答案】D【详解】根据诱导公式可得，即，所以，则，因为，则，而又因为，所以，将代入得：；故选D10．【答案】D【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，所以，故选D.11．【答案】D【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，当时，，，函数在上单调递增，而函数在处连续，因此在上单调递增，由，得，解得，所以实数的取值范围是.故选D12．【答案】D【详解】函数与的图象关于原点对称，由恰好有两个“基点对”，得函数与函数的图象恰有两个交点，即方程在上恰有两个不相等的实根，因此，整理得，解得，所以实数的取值范围是.故选D13．【答案】【详解】，，故.14．【答案】【详解】由题设，即恒成立，所以，经验证满足题设.15．【答案】【详解】函数有意义，，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递减，所以函数的单调递增区间是.16．【答案】【详解】由题意，，则.17．【答案】【详解】根据待求角与已知角的关系，利用诱导公式求解即可.【详解】因为，所以.18．【答案】4【详解】，，，则．当且仅当时，函数取得最大值．19．【答案】【详解】函数与直线的图象如下图所示：因为方程有四个不同根，所以函数的图象与直线有四个不同的交点，由图可知：，因为二次函数的对称轴为，所以，由及图象可得，因为，所以由，因为，所以，于是，由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减，所以有，所以的取值范围是.20．【答案】①②④【详解】对于①，当时，，当时，令，即，解得（舍）或；当时，令，即，方程无解，所以当时，只有一个零点，故①正确；对于②，当时，因为在单调递增，所以，无最大值；又因为在单调递增，所以，又，即，所以，无最小值，所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确；对于③，当时，在单调递减，在单调递增，所以在上不单调递增；当时，在单调递增，所以；在单调递增，所以，要使在上单调递增，则，即，当时，显然，，不满足，所以在上不单调递增；当时，单调递增，单调递增，且当时，，又因为的增长速度比的增长速度快，所以，不满足，所以在上不单调递增，综上，不存在实数，使在上单调递增，故③错误；对于④，当时，因为在单调递增，所以；因为在单调递增，所以，若存在最小值，则，解得，所以；当时，在单调递减，在单调递增，所以；因为在单调递增，所以，若存在最小值，则，所以，综上，，所以的最小值为，故④正确.计算下列各式：【答案】21．22．23．24．【答案】（1）；（2），（3）0【详解】（1）在第二象限，，.（2）将两边平方得，所以，又∵，，又，∴，所以，所以，则.（3），∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角，当是第二象限角时，，当是第四象限角时，，综上，的值为.25．【答案】（1）（2）①；②存在，【详解】（1）由题意函数的定义域为，则对于恒成立，当时，，不恒成立；当时，，无解；综上所述，实数的取值范围为.（2）当时，，①因为，，所以.②存在，理由如下：由，则，则不等式可化为，则，即在区间上有解，令，，则，因为，，所以，又因为为正整数，所以的最大值为.故存在.26．【答案】（1）；（2）（3）【详解】（1）已知，且，即，因为且，所以，则.又因为，即，所以.对于，因为，所以.（2）由，可得：，不妨设，则有：，又，则有：.故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，故故实数的取值范围为：（3），若对任意的，均存在，满足，则只需：恒成立.，不妨设，则设，，则.在