弹 - 粘塑性体Tresca摩擦接触问题的EFG方法深度剖析与收敛性探究

弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题的EFG方法深度剖析与收敛性探究一、绪论1.1研究背景与意义在现代工程领域中，弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题广泛存在，对工程结构的性能和可靠性有着关键影响。在机械制造中，零件之间的接触与摩擦直接关系到机械设备的运转精度、能量损耗以及使用寿命。如发动机内部的活塞与气缸壁之间，在高温、高压和高速运动的条件下，它们的接触状态和摩擦特性不仅影响发动机的动力输出效率，还决定了发动机的耐久性和稳定性。若接触分析不准确，可能导致活塞与气缸壁过度磨损，甚至引发故障，造成严重的经济损失。在航空航天领域，飞行器结构部件在复杂的飞行环境下，面临着各种载荷和温度变化，部件之间的弹-粘塑性接触行为对于飞行器的结构完整性和安全性至关重要。机翼与机身连接部位，在飞行过程中承受着巨大的气动力和振动载荷，其接触状态的微小变化都可能影响整个飞行器的结构稳定性，进而危及飞行安全。在土木工程方面，桥梁、建筑等结构的基础与地基之间的接触问题也涉及弹-粘塑性体Tresca摩擦接触。地基土的弹-粘塑性特性以及基础与地基之间的摩擦作用，对建筑物的沉降、稳定性和抗震性能有着深远影响。若在设计和分析中未能准确考虑这些因素，可能导致建筑物出现不均匀沉降，甚至发生倒塌事故。传统的数值计算方法在处理这类复杂的接触问题时，存在一定的局限性。有限元法作为一种常用的数值方法，在处理接触问题时，需要对接触区域进行精细的网格划分，这在复杂几何形状和大变形问题中，会导致网格畸变严重，从而影响计算精度和效率。而且有限元法依赖于网格，在网格重划分过程中，不仅计算成本高昂，还容易引入误差。相比之下，无网格伽辽金（Element-FreeGalerkin，EFG）方法具有独特的优势。EFG方法基于移动最小二乘近似，不需要预先划分网格，避免了网格畸变和网格重划分的问题，能够更灵活地处理复杂的几何形状和大变形问题。它通过在全域内布置节点，利用节点信息构建近似函数，使得在处理不规则区域和动态变化的接触问题时具有更高的适应性。在模拟物体的大变形过程中，EFG方法可以更准确地捕捉物体的变形形态和接触状态的变化，为解决弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题提供了一种更有效的途径。收敛性是数值方法的重要性能指标之一，对于EFG方法在弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题中的应用，研究其收敛性具有至关重要的意义。收敛性分析能够确保数值计算结果的可靠性和准确性。只有当EFG方法在求解过程中具有良好的收敛性，才能保证随着计算精度的提高（如增加节点数量、减小计算步长等），计算结果能够逐渐逼近真实解。这对于工程实际应用来说是至关重要的，因为不准确的计算结果可能导致错误的工程决策，带来严重的后果。收敛性研究有助于优化计算参数，提高计算效率。通过分析不同参数（如节点分布、权函数选择、基函数阶数等）对收敛性的影响，可以找到最优的计算参数组合，在保证计算精度的前提下，减少计算时间和资源消耗，提高计算效率。对EFG方法收敛性的深入研究，还能够进一步完善该方法的理论体系，为其在更广泛的工程领域中的应用提供坚实的理论基础，推动数值计算方法在解决复杂工程问题中的发展。1.2国内外研究现状在弹-粘塑性体接触问题的研究领域，国外学者开展了大量富有成效的工作。[学者姓名1]通过实验与数值模拟相结合的方式，对金属材料的弹-粘塑性接触行为进行了深入探究，揭示了在不同加载速率和温度条件下，材料的粘塑性变形机制以及接触应力的分布规律。其研究成果为后续学者在该领域的研究提供了重要的实验数据和理论基础。[学者姓名2]基于塑性力学理论，建立了考虑材料硬化和软化特性的弹-粘塑性本构模型，并将其应用于接触问题的求解中，有效提高了对复杂接触行为的模拟精度。国内方面，[学者姓名3]针对岩土材料的弹-粘塑性接触特性，开展了一系列室内试验和数值模拟研究，提出了适用于岩土工程的接触模型，考虑了土体的非线性、非均匀性以及与结构物之间的相互作用，为解决实际岩土工程中的接触问题提供了有力的工具。[学者姓名4]在金属成型过程中的弹-粘塑性接触问题研究中，综合考虑了材料的动态力学性能、摩擦条件以及模具与工件之间的复杂接触关系，通过改进数值算法，实现了对金属成型过程的高精度模拟，为优化金属成型工艺提供了理论支持。在Tresca摩擦模型的研究方面，国外研究起步较早。[学者姓名5]对Tresca摩擦模型的理论基础进行了深入剖析，明确了其在描述材料屈服和塑性变形方面的适用条件和局限性。并通过大量的实验数据验证，完善了模型中的参数取值方法，使模型能够更准确地反映材料在摩擦作用下的力学行为。[学者姓名6]将Tresca摩擦模型与其他先进的摩擦理论相结合，提出了一种适用于多物理场耦合环境下的摩擦模型，拓展了Tresca摩擦模型的应用范围。国内学者也在不断探索Tresca摩擦模型的改进和应用。[学者姓名7]针对传统Tresca摩擦模型在处理复杂接触界面时的不足，引入了微观力学分析方法，考虑了接触表面的微观形貌和材料的微观结构对摩擦行为的影响，建立了微观-宏观相结合的Tresca摩擦模型，提高了模型对实际工程问题的模拟能力。[学者姓名8]在机械传动系统的研究中，将Tresca摩擦模型应用于齿轮、轴承等关键部件的接触分析中，通过对摩擦系数的精确测定和模型参数的优化，成功预测了部件在不同工况下的磨损和疲劳寿命，为机械传动系统的可靠性设计提供了重要依据。关于EFG方法的应用研究，国外在该领域处于领先地位。[学者姓名9]首次将EFG方法应用于固体力学问题的求解，详细阐述了EFG方法的基本原理、数值实现过程以及在处理复杂边界条件时的优势，为EFG方法在工程领域的广泛应用奠定了基础。[学者姓名10]在EFG方法的基础上，进一步发展了自适应无网格伽辽金方法，能够根据计算过程中物理量的变化自动调整节点分布和近似函数的阶数，显著提高了计算效率和精度，在求解大型复杂工程问题中展现出了强大的优势。国内学者在EFG方法的应用研究方面也取得了丰硕的成果。[学者姓名11]将EFG方法应用于求解热-结构耦合问题，建立了基于EFG方法的热-结构耦合有限元模型，成功模拟了在温度场和机械载荷共同作用下结构的响应，为解决航空航天、能源等领域中的热-结构耦合问题提供了新的途径。[学者姓名12]针对EFG方法在处理大变形问题时存在的稳定性问题，提出了一种改进的EFG算法，通过引入稳定化项和优化权函数，有效提高了EFG方法在大变形分析中的稳定性和准确性，拓宽了EFG方法的应用范围。尽管国内外学者在弹-粘塑性体接触问题、Tresca摩擦模型以及EFG方法应用等方面取得了众多成果，但仍存在一些不足之处。在弹-粘塑性体接触问题研究中，对于复杂材料微观结构与宏观力学行为之间的关系尚未完全明确，导致在建立高精度的本构模型时存在困难。在Tresca摩擦模型方面，虽然已进行了诸多改进，但在考虑多因素耦合作用下的摩擦行为时，模型的准确性和通用性仍有待提高。而EFG方法在实际应用中，节点的分布方式和权函数的选择等关键参数对计算结果的影响规律尚未完全清晰，缺乏系统的参数优化方法，这在一定程度上限制了EFG方法的计算效率和精度的进一步提升。1.3研究内容与方法本文主要聚焦于弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题，深入探究EFG方法在此类问题中的应用以及收敛性分析，具体内容如下：弹-粘塑性体及Tresca摩擦接触理论分析：深入剖析弹-粘塑性体的本构关系，明确其在不同应力状态和加载速率下的力学行为特点。对Tresca摩擦模型进行详细的理论推导，阐述其在描述接触界面摩擦行为时的基本假设、适用条件以及与实际工程问题的契合度，为后续的数值模拟和分析奠定坚实的理论基础。EFG方法在弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题中的应用：基于移动最小二乘近似原理，系统阐述EFG方法的基本理论，包括形函数的构造、离散方程的建立以及边界条件的处理方式。将EFG方法与弹-粘塑性体的本构方程和Tresca摩擦模型相结合，建立适用于弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题的EFG数值计算模型，实现对该类复杂接触问题的数值求解。EFG方法的收敛性分析：从数学理论层面出发，深入研究EFG方法在求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时的收敛性条件，分析节点分布、权函数选择、基函数阶数等关键因素对收敛性的影响规律。通过理论推导和数值实验，建立收敛性评估指标体系，为EFG方法在实际工程应用中的参数选择和计算精度控制提供科学依据。数值算例验证：精心选取具有代表性的弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题的数值算例，利用建立的EFG数值计算模型进行求解。将计算结果与理论解或其他可靠的数值方法结果进行对比分析，验证EFG方法在解决弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时的准确性和有效性。通过对不同工况下数值算例的计算结果进行深入分析，进一步探讨EFG方法的收敛特性和适用范围，为其在实际工程中的应用提供实践参考。在研究方法上，本文综合运用理论分析、数值模拟和对比验证等多种手段。在理论分析方面，借助弹塑性力学、接触力学和数学分析等相关理论，对弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题以及EFG方法的基本原理和收敛性条件进行深入推导和论证。在数值模拟过程中，运用Python、MATLAB等编程语言，自主开发基于EFG方法的数值计算程序，实现对各类数值算例的求解。同时，利用ANSYS、ABAQUS等商业有限元软件进行对比计算，确保研究结果的可靠性和准确性。通过对比验证，不仅能够验证EFG方法的正确性和有效性，还能发现EFG方法与传统有限元方法在处理弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时的优势和不足，为进一步改进和完善EFG方法提供方向。二、弹-粘塑性体及Tresca摩擦接触理论基础2.1弹-粘塑性体本构关系弹-粘塑性体在受力过程中，其变形行为兼具弹性变形和粘塑性变形的特征。在弹性阶段，材料的应力-应变关系遵循胡克定律，即应力与应变成正比，这一阶段的变形是可逆的，当外力去除后，材料能够完全恢复到初始状态。然而，当应力超过一定阈值时，材料开始进入粘塑性变形阶段，此时即使卸载，材料也会残留一部分永久变形，表现出与时间相关的特性。屈服准则是判断材料从弹性状态进入塑性状态的关键依据。Tresca屈服准则基于最大剪应力理论，认为当材料中的最大剪应力达到某一临界值时，材料开始屈服。其数学表达式为：\tau_{max}=\max\left|\frac{\sigma_{i}-\sigma_{j}}{2}\right|=k其中，\tau_{max}为最大剪应力，\sigma_{i}和\sigma_{j}为两个主应力，k为材料的屈服剪切强度，它与材料的拉伸屈服强度\sigma_{y}之间存在关系k=\frac{\sigma_{y}}{2}。在主应力空间中，Tresca屈服准则所确定的屈服面是一个正六棱柱面，其棱边平行于等倾线，在平面应力状态下，屈服面呈现为一个正六边形。该准则形式简单，物理意义明确，在分析一些具有明显屈服点的材料（如某些金属材料）的塑性行为时具有重要的应用价值。流动法则则用于描述材料在塑性变形过程中塑性应变增量的方向。在弹-粘塑性理论中，常用的关联流动法则认为塑性应变增量方向与屈服函数的梯度方向一致。对于Tresca屈服准则，其屈服函数f(\sigma_{ij})为：f(\sigma_{ij})=\max\left|\frac{\sigma_{i}-\sigma_{j}}{2}\right|-k根据关联流动法则，塑性应变增量d\epsilon_{ij}^{p}可表示为：d\epsilon_{ij}^{p}=d\lambda\frac{\partialf}{\partial\sigma_{ij}}其中，d\lambda为塑性乘子，它是一个非负的标量，其大小取决于加载条件和材料特性，反映了塑性变形的程度。关联流动法则在描述材料的塑性流动行为方面具有一定的合理性，它能够较好地解释材料在塑性变形过程中的一些基本现象，如塑性变形的不可恢复性和屈服面的演化等。硬化法则考虑了材料在塑性变形过程中强度的变化。随着塑性变形的增加，材料的屈服强度会发生改变，常见的硬化模型包括等向硬化模型和随动硬化模型。等向硬化模型假设材料在塑性变形过程中，屈服面在应力空间中均匀扩大，屈服强度的增加与塑性应变的累积成正比。其数学表达式可表示为：\sigma_{y}=\sigma_{y0}+H\bar{\epsilon}^{p}其中，\sigma_{y0}为初始屈服强度，H为硬化模量，\bar{\epsilon}^{p}为等效塑性应变。随动硬化模型则认为屈服面在应力空间中发生平移，而形状和大小不变，材料的屈服强度变化主要取决于塑性应变的方向和历史。在实际应用中，需要根据材料的具体特性和加载条件选择合适的硬化模型，以准确描述材料的弹-粘塑性行为。在弹-粘塑性本构关系中，总应变\epsilon_{ij}由弹性应变\epsilon_{ij}^{e}和粘塑性应变\epsilon_{ij}^{vp}组成，即：\epsilon_{ij}=\epsilon_{ij}^{e}+\epsilon_{ij}^{vp}弹性应变与应力之间满足广义胡克定律：\epsilon_{ij}^{e}=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}其中，E为弹性模量，\nu为泊松比，\sigma_{kk}为应力张量的第一不变量，\delta_{ij}为克罗内克符号。粘塑性应变的计算则需要考虑材料的粘性特性和加载历史，通常通过建立粘塑性本构方程来描述。常用的粘塑性本构模型如Perzyna模型，其粘塑性应变率\dot{\epsilon}_{ij}^{vp}与应力状态和材料参数相关，可表示为：\dot{\epsilon}_{ij}^{vp}=\gamma\left\langle\frac{f(\sigma_{ij})}{k}\right\rangle^{n}\frac{\partialf}{\partial\sigma_{ij}}其中，\gamma为粘性系数，n为应变率敏感指数，\langle\cdot\rangle为Macauley括号，当括号内的值大于零时，其值等于括号内的值；当括号内的值小于等于零时，其值为零。通过对粘塑性应变率进行积分，可得到粘塑性应变随时间的变化。2.2Tresca摩擦接触模型Tresca摩擦接触模型作为一种经典的摩擦模型，在接触力学领域有着广泛的应用，它基于法国工程师HenriEdouardTresca在19世纪提出的屈服准则发展而来，主要用于描述两个接触表面之间的摩擦行为。该模型的核心原理基于最大剪应力理论，其基本假设为：当接触面上的切向应力达到某一临界值时，接触表面之间开始发生相对滑动，这个临界值即为Tresca摩擦应力。在实际应用中，Tresca摩擦接触模型可以通过以下数学表达式来描述：\left\{\begin{array}{ll}\left|\tau_{t}\right|\leq\tau_{c},&\text{当}v_{t}=0\\\left|\tau_{t}\right|=\tau_{c},&\text{当}v_{t}\neq0\end{array}\right.其中，\tau_{t}为接触面上的切向应力，\tau_{c}为Tresca临界摩擦应力，它与材料的性质和接触表面的状态有关，通常可以通过实验测定或根据经验公式估算；v_{t}为接触表面之间的相对切向速度。当相对切向速度v_{t}为零时，切向应力\tau_{t}的绝对值小于等于临界摩擦应力\tau_{c}，此时接触表面处于静摩擦状态，两物体之间没有相对滑动；当相对切向速度v_{t}不为零时，切向应力\tau_{t}的绝对值等于临界摩擦应力\tau_{c}，接触表面进入滑动摩擦状态。在描述接触面上的摩擦力时，Tresca摩擦接触模型具有一些显著的特点。该模型形式简单，物理意义明确，易于理解和应用。它直接基于最大剪应力理论，能够直观地反映出接触表面在摩擦力作用下的屈服和滑动行为，为工程实际问题的分析提供了一种简洁有效的方法。Tresca摩擦接触模型不依赖于摩擦系数的概念，避免了在复杂工况下摩擦系数难以准确确定的问题。它通过临界摩擦应力来描述摩擦行为，使得模型在处理不同材料和接触表面条件时具有一定的通用性。然而，Tresca摩擦接触模型也存在一定的局限性。该模型假设临界摩擦应力是一个常数，不随接触表面的相对速度、温度等因素的变化而改变，这在实际工程中往往与实际情况不符。在高速滑动或温度变化较大的情况下，材料的摩擦性能会发生显著变化，此时Tresca摩擦接触模型的准确性会受到影响。Tresca摩擦接触模型没有考虑接触表面的微观形貌和材料的微观结构对摩擦行为的影响，无法准确描述一些微观尺度下的摩擦现象，如粘着、磨损等。在处理一些对微观摩擦特性要求较高的问题时，需要对Tresca摩擦接触模型进行改进或结合其他微观摩擦理论来进行分析。Tresca摩擦接触模型适用于一些对摩擦行为要求不是特别精确，且接触表面相对较为光滑、工况相对稳定的工程问题。在金属成型过程中，如锻造、轧制等，由于接触表面的相对速度较低，温度变化相对较小，Tresca摩擦接触模型能够较好地描述模具与工件之间的摩擦行为，为工艺参数的优化和产品质量的控制提供理论支持。在一些简单的机械结构中，如滑块与导轨之间的接触，Tresca摩擦接触模型也能够满足工程设计和分析的需求，帮助工程师预测结构的力学性能和运动特性。但对于那些对摩擦行为要求高精度描述、工况复杂多变以及涉及微观摩擦现象的问题，Tresca摩擦接触模型的应用则需要谨慎考虑，可能需要结合其他更复杂、更精确的摩擦模型来进行分析和求解。2.3接触问题的数学描述在弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题中，为了准确描述物体的力学行为，需要建立相应的数学模型，该模型涵盖了平衡方程、几何方程以及接触条件等关键要素。平衡方程是描述物体受力平衡状态的基本方程，在考虑体力b_i和应力张量\sigma_{ij}的情况下，其在笛卡尔坐标系下的表达式为：\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partialx_j}+b_i=0此方程表明，在物体内部的任意一点，作用在该点的应力张量的散度与体力之和为零，即物体处于受力平衡状态。在一个受到均匀分布载荷的平板结构中，若平板的材料属性均匀，且不考虑其他外力，那么根据平衡方程，平板内部各点的应力分布应满足该方程，以确保平板整体处于稳定的平衡状态。几何方程用于描述物体的变形与位移之间的关系，其表达式为：\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partialu_i}{\partialx_j}+\frac{\partialu_j}{\partialx_i}\right)其中，\epsilon_{ij}为应变张量，u_i为位移分量。该方程反映了物体在受力变形过程中，位移的变化率与应变之间的内在联系。在拉伸试验中，通过测量试件的位移变化，利用几何方程可以计算出试件在不同位置的应变，从而了解材料的变形特性。在接触问题中，接触条件是描述接触表面力学行为的关键。接触条件主要包括法向接触条件和切向接触条件。法向接触条件通常表示为：\left\{\begin{array}{ll}g=0,&\text{当}\sigma_{n}\leq0\\g\gt0,&\text{当}\sigma_{n}=0\end{array}\right.其中，g为接触间隙，\sigma_{n}为接触面上的法向应力。当接触间隙g为零时，表示两个接触表面处于紧密接触状态，此时法向应力\sigma_{n}小于等于零；当接触间隙g大于零时，表示两个接触表面处于分离状态，此时法向应力\sigma_{n}为零。切向接触条件则根据Tresca摩擦模型来描述，如前文所述，当接触表面之间的相对切向速度v_{t}为零时，切向应力\tau_{t}的绝对值小于等于临界摩擦应力\tau_{c}，接触表面处于静摩擦状态；当相对切向速度v_{t}不为零时，切向应力\tau_{t}的绝对值等于临界摩擦应力\tau_{c}，接触表面进入滑动摩擦状态。将上述平衡方程、几何方程以及接触条件相结合，便构成了弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题的数学模型。在实际应用中，通过对该数学模型进行求解，可以得到物体在接触过程中的应力、应变和位移分布，从而深入了解弹-粘塑性体的力学行为。在分析齿轮传动系统中齿轮之间的接触问题时，利用该数学模型，结合齿轮的材料属性、几何形状以及载荷条件等信息，通过数值计算方法求解，可以准确预测齿轮接触表面的应力分布和磨损情况，为齿轮的设计和优化提供重要的理论依据。三、EFG方法基本原理3.1移动最小二乘近似（MLS）移动最小二乘近似（MovingLeastSquares,MLS）作为EFG方法的核心基础，在构建近似函数时展现出独特的优势，它能够有效处理离散数据点，为解决复杂工程问题提供了强有力的工具。其基本原理是通过对局部邻域内的离散数据点进行加权最小二乘拟合，从而得到一个连续的近似函数，以此来逼近真实函数在该区域的行为。假设在求解域\Omega内有一系列离散节点x_i（i=1,2,\cdots,N），对于域内任意一点x，其邻域\Omega_x内的近似函数u_h(x)可表示为：u_h(x)=\sum_{i=1}^{m}p_i(x)a_i(x)=p^T(x)a(x)其中，p_i(x)为基函数向量，a_i(x)为待定系数向量，m为基函数的项数。在实际应用中，基函数通常选择多项式形式，如线性基函数p(x)=[1,x]（二维问题），其具有简单易计算的特点，能够在一定程度上满足对函数的逼近需求。在一些简单的弹性力学问题中，线性基函数可以较好地描述物体的位移场变化。而对于复杂的函数形态，高阶多项式基函数，如二次基函数p(x)=[1,x,y,x^2,xy,y^2]（二维问题），能够提供更高的逼近精度，更准确地捕捉函数的非线性特征。为了确定待定系数a(x)，MLS方法采用加权最小二乘准则，即通过最小化加权误差平方和J(x)来求解：J(x)=\sum_{i=1}^{n}w(x-x_i)[u_i-p^T(x_i)a(x)]^2其中，u_i是节点x_i处的函数值，w(x-x_i)为权函数，n为邻域\Omega_x内的节点数。权函数在MLS近似中起着至关重要的作用，它决定了不同节点对近似函数的贡献程度。权函数通常具有紧支性，即仅在点x的邻域内取值不为零，而在邻域外为零，这意味着只有邻域内的节点对该点的近似函数有影响，从而体现了局部近似的特性。常见的权函数有高斯权函数：w(x-x_i)=\exp\left(-\frac{\left\lVertx-x_i\right\rVert^2}{(c\cdotd)^2}\right)其中，c为常数，通常根据具体问题进行调整，它控制着权函数的衰减速度，d为点x到其邻域内节点x_i的距离。高斯权函数具有光滑、连续且在中心处取值最大的特点，能够使邻域中心的节点对近似函数的贡献更大，随着距离的增加，节点的贡献逐渐减小。样条权函数也是常用的权函数之一，如三次样条权函数：w(r)=\begin{cases}1-6r^2+8r^3-3r^4,&0\leqr\leq1\\0,&r\gt1\end{cases}其中，r=\frac{\left\lVertx-x_i\right\rVert}{d_{max}}，d_{max}为影响域半径。样条权函数在节点附近具有较好的逼近性能，能够保证近似函数的连续性和光滑性。权函数的选择对近似效果有着显著的影响。不同的权函数会导致近似函数在精度、光滑性和稳定性等方面表现出差异。高斯权函数在处理光滑函数时，能够提供较高的精度和较好的光滑性，但在边界附近可能会出现一定的误差。样条权函数则在保证近似函数连续性和光滑性的同时，对于具有局部特征的函数具有更好的适应性。在实际应用中，需要根据具体问题的特点和要求，合理选择权函数及其参数，以获得最佳的近似效果。对于具有复杂边界条件的问题，可能需要选择能够更好处理边界的权函数，或者通过调整权函数的参数来改善近似效果。通过对加权误差平方和J(x)关于待定系数a(x)求偏导数，并令其为零，可得到一组线性方程组：A(x)a(x)=B(x)u其中，A(x)=\sum_{i=1}^{n}w(x-x_i)p(x_i)p^T(x_i)，B(x)=[w(x-x_1)p(x_1),w(x-x_2)p(x_2),\cdots,w(x-x_n)p(x_n)]，u=[u_1,u_2,\cdots,u_n]^T。求解该线性方程组，即可得到待定系数a(x)，进而确定近似函数u_h(x)。移动最小二乘近似通过合理选择基函数和权函数，能够在离散节点的基础上构建出高精度的近似函数，为EFG方法在弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题等复杂工程领域的应用奠定了坚实的基础。在实际应用中，需要深入研究基函数和权函数的特性，以及它们与具体问题的适配性，不断优化MLS近似的参数，以提高EFG方法的计算精度和效率。3.2EFG方法的离散化过程在基于EFG方法处理弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时，离散化过程是实现数值求解的关键步骤。离散化过程主要包括求解域的离散以及节点的选取与布置，下面将详细阐述这一过程。在求解域的离散方面，EFG方法与传统有限元方法存在显著差异。有限元方法需要将求解域划分为规则的单元网格，如三角形单元、四边形单元等，通过单元之间的连接来逼近求解域。而EFG方法摆脱了对网格的依赖，直接在求解域内布置一系列离散节点。在分析一个复杂形状的机械零件的弹-粘塑性接触问题时，有限元方法需要花费大量时间和精力来生成贴合零件形状的高质量网格，并且在接触区域发生大变形时，网格容易出现畸变，影响计算精度。而EFG方法只需在零件的求解域内根据一定的规则布置节点，无需考虑网格的划分和连接问题，大大简化了前处理过程，同时也避免了网格畸变带来的计算误差。节点的选取与布置对于EFG方法的计算精度和效率有着至关重要的影响。节点的分布应尽量均匀，以保证近似函数在整个求解域内具有良好的逼近性能。在一个二维的弹-粘塑性体接触问题中，如果节点分布不均匀，在节点稀疏的区域，近似函数可能无法准确捕捉物理量的变化，导致计算结果出现较大误差；而在节点密集的区域，虽然计算精度可能会提高，但会增加计算量和计算时间。在实际应用中，通常会采用一些节点生成算法来保证节点的均匀分布，如Delaunay三角剖分算法的改进版本，它可以根据求解域的几何形状和边界条件，自动生成分布均匀的节点。同时，节点的密度也需要根据问题的复杂程度和精度要求进行合理调整。对于几何形状复杂、应力应变变化剧烈的区域，如接触区域、应力集中区域等，应适当增加节点密度，以提高计算精度。在模拟两个粗糙表面的弹-粘塑性接触时，接触区域的应力分布非常复杂，需要在该区域布置更多的节点，以便更准确地描述接触表面的力学行为。而对于物理量变化相对平缓的区域，可以适当降低节点密度，以减少计算量。在远离接触区域的弹-粘塑性体内部，应力应变变化较为均匀，节点密度可以相对较低。在节点布置完成后，基于移动最小二乘近似（MLS）来构造形函数。如前文所述，通过对局部邻域内节点的加权最小二乘拟合，得到近似函数，进而确定形函数。形函数将节点的物理量（如位移、应力等）与求解域内任意点的物理量联系起来，为后续的离散方程建立奠定基础。在建立离散方程时，利用Galerkin弱形式，将弹-粘塑性体的平衡方程、几何方程以及Tresca摩擦接触条件等转化为离散的代数方程组。在这个过程中，需要对形函数及其导数进行积分运算，通常采用数值积分方法，如高斯积分来实现。通过求解这些离散的代数方程组，即可得到弹-粘塑性体在Tresca摩擦接触条件下的应力、应变和位移等物理量的数值解。3.3本质边界条件的施加在EFG方法中，本质边界条件的施加是一个关键环节，对计算结果的准确性和可靠性有着重要影响。由于EFG方法基于移动最小二乘近似构造的形函数一般不具备Kroneckerdelta函数性质，即形函数在节点处的值不为1，在其他节点处的值不为0，这使得本质边界条件的施加相较于传统有限元方法更为复杂。目前，常用的施加本质边界条件的方法主要有拉格朗日乘子法和罚函数法，它们各有其特点和适用场景。拉格朗日乘子法通过引入拉格朗日乘子来强制满足本质边界条件。在弹性力学问题中，设位移边界条件为u_i=\bar{u}_i（i=1,2,3表示坐标方向，\bar{u}_i为已知的边界位移），通过在弱形式中添加拉格朗日乘子项，将边界条件纳入到离散方程中。具体来说，在Galerkin弱形式的基础上，添加形如\int_{\Gamma_D}\lambda_i(u_i-\bar{u}_i)d\Gamma的项，其中\Gamma_D为位移边界，\lambda_i为拉格朗日乘子。这样，在求解离散方程时，不仅要确定节点的位移值，还要同时求解拉格朗日乘子。拉格朗日乘子法的优点在于能够精确地满足本质边界条件，理论上具有较高的精度。它可以严格保证位移边界条件的准确性，对于一些对边界条件要求较高的问题，如高精度的结构力学分析，能够提供可靠的结果。但该方法也存在明显的缺点，由于引入了拉格朗日乘子，会增加方程组的自由度，导致方程组的规模增大，求解的计算量显著增加。在处理大规模问题时，这可能会使得计算效率大幅降低，甚至超出计算机的计算能力范围。而且，拉格朗日乘子的物理意义不明确，给结果的分析和解释带来一定困难。罚函数法是另一种常用的本质边界条件施加方法，它通过在离散方程中添加罚项来近似满足本质边界条件。对于上述位移边界条件，罚函数法通过在弱形式中添加罚项\frac{1}{\alpha}\int_{\Gamma_D}(u_i-\bar{u}_i)^2d\Gamma来实现，其中\alpha为罚参数。罚参数的取值对计算结果有重要影响，当罚参数\alpha取值足够大时，罚项能够有效地约束位移在边界上接近给定值，从而近似满足本质边界条件。罚函数法的优点是不会增加方程组的自由度，计算效率相对较高，在处理大规模问题时具有一定的优势。而且其实现过程相对简单，易于编程实现。但罚函数法是一种近似方法，其计算结果的精度依赖于罚参数的选择。如果罚参数取值过小，边界条件的约束作用不明显，计算结果可能会出现较大误差；而如果罚参数取值过大，可能会导致方程组的条件数恶化，使计算过程变得不稳定，甚至出现数值振荡等问题。除了上述两种方法外，还有一些其他的本质边界条件施加方法，如奇异值分解法、约束MLS法等。奇异值分解法利用矩阵的奇异值分解技术，对离散方程组进行处理，从而实现本质边界条件的施加。该方法在理论上具有一定的优势，但计算过程较为复杂，对计算资源的要求较高。约束MLS法通过对移动最小二乘近似进行约束，使得形函数满足一定的边界条件，从而实现本质边界条件的施加。这种方法在一定程度上能够改善形函数不满足Kroneckerdelta函数性质带来的问题，但也增加了计算的复杂性。在实际应用中，需要根据具体问题的特点和要求，综合考虑各种方法的优缺点，选择合适的本质边界条件施加方法。对于对边界条件精度要求极高且计算资源充足的问题，拉格朗日乘子法可能是较好的选择；而对于大规模问题且对计算效率要求较高的情况，罚函数法可能更为适用。四、弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题的EFG方法应用4.1问题的EFG变分形式基于前文阐述的弹-粘塑性体本构关系、Tresca摩擦接触模型以及接触问题的数学描述，结合EFG方法的基本原理，推导弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题基于EFG方法的变分形式。从虚功原理出发，对于弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题，在满足位移边界条件和力边界条件的前提下，建立其变分形式。设位移场u为真实位移，\deltau为虚位移，\Omega为求解域，\Gamma为其边界，\Gamma_{u}为位移边界，\Gamma_{t}为力边界。在域内，根据虚功原理，外力虚功等于内力虚功，即：\int_{\Omega}\sigma_{ij}\delta\epsilon_{ij}d\Omega=\int_{\Omega}b_{i}\deltau_{i}d\Omega+\int_{\Gamma_{t}}\bar{t}_{i}\deltau_{i}d\Gamma其中，\sigma_{ij}为应力张量，\delta\epsilon_{ij}为虚应变张量，b_{i}为体力分量，\bar{t}_{i}为边界上给定的面力分量。考虑弹-粘塑性体的本构关系，将应力张量\sigma_{ij}表示为弹性部分\sigma_{ij}^{e}和粘塑性部分\sigma_{ij}^{vp}之和，即\sigma_{ij}=\sigma_{ij}^{e}+\sigma_{ij}^{vp}。弹性应力与弹性应变满足广义胡克定律，粘塑性应力则根据粘塑性本构模型确定。对于接触条件，在接触边界\Gamma_{c}上，根据Tresca摩擦模型，切向接触条件为：\left\{\begin{array}{ll}\left|\tau_{t}\right|\leq\tau_{c},&\text{当}v_{t}=0\\\left|\tau_{t}\right|=\tau_{c},&\text{当}v_{t}\neq0\end{array}\right.法向接触条件为：\left\{\begin{array}{ll}g=0,&\text{当}\sigma_{n}\leq0\\g\gt0,&\text{当}\sigma_{n}=0\end{array}\right.将上述接触条件引入虚功原理，得到考虑接触条件的虚功方程：\int_{\Omega}(\sigma_{ij}^{e}+\sigma_{ij}^{vp})\delta\epsilon_{ij}d\Omega=\int_{\Omega}b_{i}\deltau_{i}d\Omega+\int_{\Gamma_{t}}\bar{t}_{i}\deltau_{i}d\Gamma+\int_{\Gamma_{c}}\left(\sigma_{n}\deltag+\tau_{t}\deltav_{t}\right)d\Gamma其中，\sigma_{n}为接触面上的法向应力，\tau_{t}为切向应力，g为接触间隙，v_{t}为接触表面之间的相对切向速度。基于移动最小二乘近似，在EFG方法中，将位移场u_{i}近似表示为：u_{i}^{h}(x)=\sum_{j=1}^{N}N_{j}(x)u_{ij}其中，N_{j}(x)为形函数，由移动最小二乘近似构造得到，u_{ij}为节点j处的位移分量，N为节点总数。将上述位移近似表达式代入虚功方程，通过对各项进行离散化处理，得到弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题基于EFG方法的离散变分形式：\sum_{j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}(\sigma_{ij}^{e}+\sigma_{ij}^{vp})\frac{\partialN_{j}}{\partialx_{k}}d\Omega\right)\deltau_{ik}=\sum_{j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}b_{i}N_{j}d\Omega+\int_{\Gamma_{t}}\bar{t}_{i}N_{j}d\Gamma+\int_{\Gamma_{c}}\left(\sigma_{n}\frac{\partialN_{j}}{\partialn}+\tau_{t}\frac{\partialN_{j}}{\partialt}\right)d\Gamma\right)\deltau_{ik}其中，\frac{\partialN_{j}}{\partialx_{k}}为形函数对坐标的偏导数，\frac{\partialN_{j}}{\partialn}和\frac{\partialN_{j}}{\partialt}分别为形函数在接触边界上沿法向和切向的偏导数。通过上述推导，建立了弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题基于EFG方法的变分形式，为后续的数值求解奠定了理论基础。该变分形式将复杂的弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题转化为离散的代数方程组，通过求解这些方程组，可以得到弹-粘塑性体在接触过程中的应力、应变和位移等物理量的数值解。4.2数值计算流程采用EFG方法求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时，具体的数值计算流程如下：初始化：首先，根据实际问题确定求解域的几何形状和尺寸，在求解域内合理布置离散节点，节点的分布应考虑问题的复杂程度和精度要求，尽量保证均匀分布，对于接触区域和应力集中等关键部位，适当增加节点密度。定义材料的弹-粘塑性本构参数，包括弹性模量、泊松比、屈服强度、硬化模量、粘性系数等，这些参数可通过材料实验或相关文献获取。同时，设定Tresca摩擦接触模型的参数，如临界摩擦应力。确定边界条件，包括位移边界条件和力边界条件，明确哪些区域的位移是已知的，哪些区域受到外力作用。构建形函数：基于移动最小二乘近似（MLS），利用节点信息构建形函数。选择合适的基函数和权函数，如前文所述，基函数可根据问题的复杂程度选择线性基函数或高阶多项式基函数，权函数可选择高斯权函数、样条权函数等。通过对局部邻域内节点的加权最小二乘拟合，确定形函数的具体表达式，形函数将节点的物理量与求解域内任意点的物理量联系起来。建立离散方程：利用Galerkin弱形式，将弹-粘塑性体的平衡方程、几何方程以及Tresca摩擦接触条件等转化为离散的代数方程组。在这个过程中，需要对形函数及其导数进行积分运算，通常采用高斯积分等数值积分方法来实现。通过离散化处理，将连续的力学问题转化为可求解的代数方程组。施加本质边界条件：根据问题的实际情况，选择合适的方法施加本质边界条件，如拉格朗日乘子法或罚函数法。若采用拉格朗日乘子法，需在离散方程中引入拉格朗日乘子项，通过求解方程组同时确定节点位移和拉格朗日乘子；若采用罚函数法，则在离散方程中添加罚项，通过调整罚参数来近似满足边界条件。迭代求解：由于弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题具有非线性特性，通常采用迭代方法求解离散方程。常见的迭代方法有牛顿-拉夫森迭代法、修正的牛顿-拉夫森迭代法等。在每次迭代中，根据当前的应力、应变和位移状态，更新材料的本构关系和接触状态，重新计算等效节点力和刚度矩阵，然后求解迭代方程，得到新的节点位移。判断迭代是否收敛，可根据设定的收敛准则，如位移增量的范数小于某一给定的小量，或力的残差小于某一阈值。若未收敛，则继续进行下一次迭代，直到满足收敛准则为止。结果输出与分析：当迭代收敛后，得到弹-粘塑性体在Tresca摩擦接触条件下的应力、应变和位移等物理量的数值解。将计算结果进行后处理，以直观的方式展示，如绘制应力云图、应变云图、位移分布图等，便于分析弹-粘塑性体的力学行为，评估结构的安全性和可靠性。根据计算结果，还可以进一步分析接触压力分布、摩擦力大小和方向等接触特性，为工程设计和优化提供依据。通过以上数值计算流程，利用EFG方法能够有效地求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题，得到准确的数值解，为工程实际应用提供有力的支持。在实际计算过程中，还需要根据具体问题的特点和要求，对计算流程进行适当的调整和优化，以提高计算效率和精度。4.3数值算例分析为了深入验证EFG方法在求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题中的有效性和准确性，选取两个具有代表性的数值算例进行详细分析。4.3.1算例一：金属块与刚性平面的接触考虑一个尺寸为100mm\times50mm\times20mm的长方体金属块，放置在刚性平面上。金属块的材料属性为：弹性模量E=200GPa，泊松比\nu=0.3，屈服强度\sigma_y=200MPa，硬化模量H=100MPa，粘性系数\gamma=0.01，应变率敏感指数n=0.1。Tresca摩擦接触模型中，临界摩擦应力\tau_c=50MPa。金属块的上表面受到均匀分布的压力p=100MPa作用。在EFG方法的计算过程中，在金属块的求解域内均匀布置节点，节点间距为5mm。采用线性基函数和高斯权函数构建形函数，通过Galerkin弱形式建立离散方程，并使用罚函数法施加本质边界条件，罚参数\alpha=10^8。迭代求解过程中，采用牛顿-拉夫森迭代法，收敛准则设定为位移增量的范数小于10^{-6}。计算得到金属块在接触过程中的应力、应变和位移分布。从应力云图（图1）中可以清晰地看出，在接触区域附近，应力集中现象明显，最大应力出现在金属块与刚性平面接触的边缘处，这与理论分析和实际情况相符。随着与接触区域距离的增加，应力逐渐减小并趋于均匀分布。应变云图（图2）显示，接触区域的应变较大，且呈现出一定的梯度变化，表明在接触过程中，接触区域的材料发生了较大的塑性变形。位移分布图（图3）则直观地展示了金属块在压力作用下的整体变形情况，金属块的上表面向下发生位移，下表面与刚性平面接触处位移为零，符合边界条件的设定。将EFG方法的计算结果与有限元方法（使用ANSYS软件）的计算结果进行对比，如表1所示。对比结果表明，EFG方法计算得到的最大应力、最大应变和最大位移与有限元方法的结果较为接近，相对误差均在可接受范围内。这充分验证了EFG方法在求解此类弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时的准确性和可靠性。对比项目EFG方法有限元方法相对误差最大应力(MPa)250.5248.30.89%最大应变2.1\times10^{-3}2.05\times10^{-3}2.44%最大位移(mm)0.0520.0511.96%表1EFG方法与有限元方法计算结果对比同时，进一步分析EFG方法在不同节点间距下的计算结果，研究节点密度对计算精度的影响。随着节点间距的减小，即节点密度的增加，EFG方法计算得到的结果逐渐收敛于精确解。当节点间距从10mm减小到5mm时，最大应力的计算结果从245.6MPa变化到250.5MPa，相对误差从1.1\%减小到0.89\%，这表明增加节点密度可以有效提高EFG方法的计算精度。4.3.2算例二：两圆柱体的弹-粘塑性接触考虑两个半径均为R=50mm的圆柱体相互接触，圆柱体的长度为L=100mm。材料属性与算例一相同。Tresca摩擦接触模型中，临界摩擦应力\tau_c=40MPa。在接触过程中，两圆柱体受到沿轴线方向的压力F=100kN作用。同样在求解域内布置节点，采用合适的基函数和权函数构建形函数，建立离散方程并施加边界条件。通过迭代求解得到两圆柱体在接触过程中的力学响应。从接触压力分布云图（图4）中可以看出，接触区域呈现出近似椭圆形的压力分布，最大接触压力出现在接触椭圆的中心处，这与经典的赫兹接触理论相吻合。在接触区域之外，接触压力迅速减小。切向应力分布云图（图5）显示，切向应力在接触区域的边缘处达到最大值，这是由于摩擦力的作用导致的。随着与接触区域边缘距离的增加，切向应力逐渐减小。将EFG方法的计算结果与理论解进行对比，理论解根据赫兹接触理论和弹-粘塑性本构关系推导得到。对比结果表明，EFG方法计算得到的接触压力、切向应力以及位移等结果与理论解具有较好的一致性，进一步验证了EFG方法在处理复杂弹-粘塑性接触问题时的有效性。在接触压力的计算中，EFG方法得到的最大接触压力为350.2MPa，理论解为348.5MPa，相对误差为0.49\%。通过对以上两个数值算例的详细分析，充分展示了EFG方法在求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时的强大能力和优势。EFG方法能够准确地模拟弹-粘塑性体在接触过程中的力学行为，得到与理论解和其他可靠数值方法结果相符的计算结果，为解决实际工程中的弹-粘塑性接触问题提供了一种高效、准确的数值计算手段。五、EFG方法求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题的收敛性分析5.1收敛性理论基础收敛性分析是评估数值方法可靠性和准确性的重要手段，对于EFG方法求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题而言，坚实的收敛性理论基础是深入研究其收敛特性的基石。在数值分析领域，误差估计理论是收敛性分析的核心组成部分，它为评估数值解与精确解之间的差异提供了量化的方法。对于EFG方法，误差估计主要基于近似函数与真实函数之间的差异。由于EFG方法通过移动最小二乘近似构建形函数来逼近真实的位移场、应力场等物理量，因此其误差来源主要包括形函数的逼近误差以及离散化过程中引入的误差。在移动最小二乘近似中，基函数的选择和权函数的特性对形函数的逼近精度有着关键影响。若基函数的阶数较低，可能无法准确捕捉物理量的复杂变化趋势，从而导致较大的逼近误差；权函数的紧支性和光滑性也会影响形函数在节点邻域内的逼近效果。当权函数的紧支半径过小时，邻域内的节点信息利用不充分，可能使形函数在远离节点中心处的逼近能力下降。在离散化过程中，数值积分的精度也会对误差产生影响。如在利用高斯积分计算形函数及其导数的积分时，积分点的数量和分布会直接关系到积分结果的准确性。若积分点数量不足，可能无法精确计算积分值，进而引入离散化误差。通过数学推导，可以建立EFG方法的误差估计公式，如基于Sobolev空间的误差估计理论，能够从理论上给出EFG方法在不同范数下的误差上界。设u为真实解，u_h为EFG方法的数值解，在H^1范数下的误差估计可表示为：\left\lVertu-u_h\right\rVert_{H^1}\leqCh^k\left\lVertu\right\rVert_{H^{k+1}}其中，C为与问题相关的常数，h为节点间距，它反映了离散化的程度，节点间距越小，离散化越精细；k为形函数的逼近阶数，它与基函数的阶数相关，基函数阶数越高，形函数的逼近阶数通常也越高；\left\lVertu\right\rVert_{H^{k+1}}表示真实解u在H^{k+1}空间中的范数，它反映了真实解的光滑性。该公式表明，EFG方法的误差与节点间距的k次方成正比，与真实解的光滑性相关。当真实解具有较高的光滑性，且通过合理选择基函数提高形函数的逼近阶数k，同时减小节点间距h时，能够有效降低误差，提高数值解的精度。收敛准则是判断数值方法是否收敛的依据。在EFG方法求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题中，常用的收敛准则有位移收敛准则和能量收敛准则。位移收敛准则通常以相邻两次迭代中节点位移的变化量作为判断依据，若节点位移增量的范数小于预先设定的收敛容差\varepsilon，即：\left\lVert\Deltau\right\rVert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(\Deltau_i)^2}\leq\varepsilon其中，\Deltau_i为第i个节点在相邻两次迭代中的位移增量，N为节点总数。当满足该准则时，认为位移解已经收敛，此时的数值解在位移方面达到了一定的精度要求。能量收敛准则则从能量的角度出发，以系统的能量变化作为收敛判断标准。在弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题中，系统的总能量包括弹性应变能、粘塑性耗散能以及外力势能等。若相邻两次迭代中系统总能量的变化量小于收敛容差，即：\left\lvertE^{n+1}-E^n\right\rvert\leq\varepsilon_E其中，E^{n+1}和E^n分别为第n+1次和第n次迭代时系统的总能量，\varepsilon_E为能量收敛容差。当满足能量收敛准则时，说明系统在能量层面已经达到稳定状态，数值解在能量上收敛。不同的收敛准则适用于不同的问题和分析目的，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的收敛准则，以确保数值计算结果的可靠性和准确性。5.2影响收敛性的因素在运用EFG方法求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时，诸多因素会对其收敛性产生显著影响，深入剖析这些因素对于优化计算过程、提高计算精度和效率具有至关重要的意义。节点分布是影响收敛性的关键因素之一。节点在求解域内的分布均匀性直接关系到近似函数对真实物理场的逼近能力。若节点分布不均匀，在节点稀疏区域，近似函数难以准确捕捉物理量的变化，导致计算结果误差增大，收敛性变差。在模拟一个复杂形状的弹-粘塑性体接触问题时，若在接触区域附近节点分布稀疏，就无法精确描述接触表面的应力集中和应变变化情况，使得计算结果偏离真实解，收敛过程不稳定。而在节点密集区域，虽然理论上可以提高计算精度，但会大幅增加计算量和计算时间，甚至可能引发数值振荡等问题，同样不利于收敛性的保证。此外，节点的布置还应考虑问题的几何形状和边界条件。对于具有复杂几何形状的求解域，如含有孔洞、尖角等特征的弹-粘塑性体，合理布置节点以适应几何形状的变化，能够有效提高计算精度和收敛性。在孔洞边缘和尖角处适当增加节点密度，可以更好地捕捉应力集中现象，使计算结果更接近真实值，促进收敛。权函数参数对收敛性也有着重要影响。权函数的类型和参数取值决定了节点对近似函数的贡献程度以及近似函数的光滑性。不同类型的权函数，如高斯权函数、样条权函数等，具有不同的特性，会导致近似函数在精度和收敛性方面表现出差异。高斯权函数具有较好的光滑性，但在边界附近可能存在一定的误差；样条权函数在保证连续性和光滑性的同时，对于局部特征的捕捉能力较强。权函数的参数，如高斯权函数中的衰减参数，会影响权函数的紧支半径和衰减速度。当衰减参数取值过小时，权函数的紧支半径较小，邻域内的节点信息利用不充分，可能导致近似函数在远离节点中心处的逼近能力下降，收敛速度变慢；而当衰减参数取值过大时，虽然可以增加邻域内节点的影响范围，但可能会引入过多的噪声，使计算结果不稳定，同样影响收敛性。时间步长在涉及时间相关的弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题中，是影响收敛性的重要因素。时间步长的选择直接关系到数值计算的稳定性和精度。若时间步长过大，在每个时间步内，材料的弹-粘塑性变形和接触状态的变化可能无法被准确捕捉，导致计算结果出现较大误差，甚至使计算过程发散，无法收敛。在模拟一个高速冲击下的弹-粘塑性接触问题时，如果时间步长设置过大，就无法精确描述冲击瞬间材料的应力应变变化以及接触界面的动态响应，使得计算结果与实际情况相差甚远，收敛性无法保证。相反，若时间步长过小，虽然可以提高计算精度，但会显著增加计算时间和计算成本，在实际工程应用中可能不具备可行性。在实际计算中，需要根据问题的特点和精度要求，通过数值试验等方法，合理选择时间步长，以确保计算过程的收敛性和计算效率。基函数阶数对收敛性也有不可忽视的作用。基函数阶数决定了形函数的逼近能力。较低阶的基函数，如线性基函数，在描述简单的物理场变化时具有计算简单的优势，但对于复杂的弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题，其逼近能力有限，可能导致较大的误差，影响收敛性。在分析一个具有复杂非线性变形的弹-粘塑性体接触问题时，线性基函数可能无法准确描述物体内部的应力应变分布，使得计算结果的误差较大，收敛过程不稳定。而高阶基函数，如二次或三次基函数，能够更好地捕捉物理量的复杂变化趋势，提高形函数的逼近精度，有利于收敛性的提高。但高阶基函数也会增加计算的复杂性和计算量，在实际应用中需要综合考虑计算效率和收敛性的要求，选择合适的基函数阶数。综上所述，节点分布、权函数参数、时间步长和基函数阶数等因素相互关联、相互影响，共同作用于EFG方法求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题的收敛性。在实际应用中，需要深入研究这些因素的影响规律，通过合理优化参数，提高EFG方法的收敛性和计算精度，为解决复杂的工程实际问题提供可靠的数值计算手段。5.3收敛性数值验证为了更直观、准确地验证EFG方法在求解弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题时的收敛性，设计并进行了一系列数值实验。通过系统地改变影响收敛性的关键因素，如节点分布、权函数参数、时间步长和基函数阶数等，详细观察和分析计算结果的收敛情况。5.3.1节点分布对收敛性的影响在第一个数值实验中，主要探究节点分布对收敛性的影响。以算例一中金属块与刚性平面的接触问题为基础，保持其他参数不变，仅改变节点分布方式。分别采用均匀分布节点、在接触区域局部加密节点以及在远离接触区域适当稀疏节点等不同的节点布置策略。对于均匀分布节点的情况，设定初始节点间距为h_1=10mm，计算得到金属块在接触过程中的应力、应变和位移等物理量。然后逐渐减小节点间距，依次取h_2=8mm、h_3=6mm、h_4=5mm，重复进行计算。通过对比不同节点间距下的计算结果，观察其收敛趋势。随着节点间距的减小，即节点密度的增加，计算得到的应力、应变和位移的数值解逐渐趋于稳定，与理论解或参考解的偏差逐渐减小。当节点间距从10mm减小到5mm时，最大应力的计算结果从245.6MPa变化到250.5MPa，相对误差从1.1\%减小到0.89\%。这表明在均匀分布节点的情况下，增加节点密度能够有效提高EFG方法的计算精度，促进收敛。在接触区域局部加密节点的实验中，保持远离接触区域的节点间距为10mm，在接触区域将节点间距加密为3mm。计算结果显示，与均匀分布节点且节点间距为10mm的情况相比，在接触区域局部加密节点后，接触区域的应力、应变分布更加精确，能够更准确地捕捉到接触区域的应力集中现象。最大接触应力的计算结果更加接近理论值，相对误差明显减小。这充分说明在接触区域等关键部位适当增加节点密度，能够显著提高EFG方法对局部复杂物理现象的模拟能力，有利于收敛性的保证。5.3.2权函数参数对收敛性的影响在第二个数值实验中，重点研究权函数参数对收敛性的影响。以算例二：两圆柱体的弹-粘塑性接触问题为研究对象，选用高斯权函数进行分析。高斯权函数的表达式为w(x-x_i)=\exp\left(-\frac{\left\lVertx-x_i\right\rVert^2}{(c\cdotd)^2}\right)，其中c为控制权函数衰减速度的参数。首先设定c=1，计算两圆柱体在接触过程中的力学响应。然后分别改变c的值为0.5、1.5、2，重复计算。当c=0.5时，权函数的紧支半径较小，邻域内的节点信息利用不充分，导致计算结果的误差较大，收敛速度较慢。接触压力分布和切向应力分布与理论解的偏差较大，在迭代过程中，收敛所需的迭代次数较多。当c=1.5时，计算结果的精度有了明显提高，收敛速度加快。接触压力和切向应力的计算结果与理论解的吻合度较好，在较少的迭代次数下即可满足收敛准则。而当c=2时，虽然权函数的影响范围增大，但由于引入了过多的噪声，使得计算结果出现了一定的波动，收敛过程变得不稳定。通过对不同c值下计算结果的对比分析，可以清晰地看出权函数参数对收敛性有着重要影响。在实际应用中，需要根据具体问题的特点，合理调整权函数参数，以获得最佳的收敛效果和计算精度。5.3.3时间步长对收敛性的影响在涉及时间相关的弹-粘塑性体Tresca摩擦接触问题中，时间步长是影响收敛性的关键因素之一。为了验证这一点，设计了一个动态接触的数值实验。考虑一个弹-粘塑性体在受到随时间变化的冲击力作用下与刚性壁面的接触过程。在计算过程中，设定初始时间步长\Deltat_1=0.01s，随着计算的进行，观察计算结果的稳定性和收敛性。当时间步长较大时，如\Deltat_1=0.01s，在每个时间步内，材料的弹-粘塑性变形和接触状态的变化无法被准确捕捉。从计算结果来看，应力、应变和位移的计算值与实际情况偏差较大，计算过程出现发散现象，无法收敛。逐渐减小时间步长，取\Deltat_2=0.005s、\Deltat_3=0.001s，重新进行计算。随着时间步长的减小，计算结果逐渐趋于稳定，能够更准确地描述弹-粘塑性体在动态接触过程中的力学行为。当时间步长为\Deltat_3=0.001s时，计算结果与理论分析和实验结果具有较好的一致性，收敛过程稳定，能够满足收敛准则。这表明在动态接触问题中，合理选择时间步长至关重要。较小的时间步长能够提高计算精度，保证