安徽怀宁县高河中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

高河中学2025-2026学年度第一学期12月月考高一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求集合，，再求它们的交集.【详解】因为集合，，所以．故选：C2.在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数单调性以及零点存在定理即可求解.【详解】由题意函数单调递增，且，由零点存在定理可知方程的实数解所在的区间只能为.故选：C.3.若，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，所以“”不能得出“”；若，则，所以“”不能得出“”.综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.4.若正数满足，则的最大值为（）A.6 B.9 C. D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，当且仅当时取等号．故选：C．5.下列命题的否定是真命题的是（）A.每个正方形都是平行四边形B.是无理数，是无理数C.，D.，关于x的方程有实数根【答案】B【解析】【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解.【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故A错误；对于B，当时，满足是无理数，但是有理数，故该命题是假命题，所以该命题的否定是真命题，故B正确；对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故C错误；对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故D错误；故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可.【详解】由得，所以，解得，故选：A.7.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，且生物体内碳14原有初始质量为Q所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为即故选:D.8.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到在上是减函数，再根据判断.【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上单调递增，在上减函数.而，，，即.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数，则下列选项正确的是（）A.是偶函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是奇函数【答案】BC【解析】【分析】利用奇函数和偶函数的定义，判断各选项中的结论.【详解】函数，函数定义域都是R，，，设，，即，不是偶函数，A选项错误；设，，是奇函数，B选项正确；设，，是偶函数，C选项正确；设，，是偶函数，D选项错误.故选：BC10.已知实数满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用幂指对函数的性质比较大小即可.【详解】∵.∴即，故项正确，选项不正确；∵∴，故选项正确故选：AC11.已知的解集是，则下列说法正确的是（）A.不等式的解集是B.的最小值是C.若有解，则的取值范围是或D.当时，的值域是，则的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.【详解】因的解集是（，则是关于的方程的二根，且，于是得，即，对于A，不等式化为：，解得，故A正确；对于B，，当且仅当，即时取“”，故B正确；对于C，，令，则在上单调递增，即有，因有解，则，解得或，故C不正确；对于D，当时，，则，依题意，，由得，或，因在上的最小值为，从而得或，因此，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12._____.【答案】【解析】【分析】利用对数恒等式和对数的运算法则求解.【详解】，，，，，，故答案为：13.已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】数形结合求解，函数的图象与直线有3个交点即可求得k的取值范围.【详解】当时，其图象是抛物线的一部分，最小值为；当时，，其图象是指数型函数的一部分，的图象如图所示：由图知函数图象与直线有3个交点时，，即实数k的取值范围是.故答案为：.14.若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：令，则，当时，是增函数，由在区间上为减函数，则在上为减函数，故，即，解得；当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，即，解得，综上，的取值范围是..故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分；16，17题15分；18，19题17分）15已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）

【解析】【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；（2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.【小问1详解】若，由，解得，则，又，即等价于，解得，则，.【小问2详解】由等价于，当时，集合，符合；当时，由，解得，即，又，，解得，综上，实数的取值范围是.16.已知函数．（1）若，证明：存在，使成立；（2）若成立；求实数m的取值范围．【答案】（1）证明过程见答案；（2）当时，；当时，．【解析】【分析】（1）当时，在上单调递增，由零点存在性定理证明即可；（2）分与两种情况讨论，利用函数单调性将等价转化为解或的不等式即可．【小问1详解】当时，在上单调递增，．．由零点存在性定理知：存在，使成立．得证．【小问2详解】当时，单调递增，等价于，解得．当时，单调递减，等价于，解得．综上：当时，；当时，．17.在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为：x23691215y3.23.53.844.14.2根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③．（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个．【答案】（1）,理由见解析；（2）81【解析】【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，故只有符合.（2）可选取数据，带入即可计算出，则当时即可求出答案.【小问1详解】最符合实际的函数模型为①，根据图像知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足，又随着单位体积内细菌数量增加，繁殖速度又会减慢，所以③不符合，只有①满足，故最符合.【小问2详解】可选取表格中的两组数据为：，代入得，则，当时，，所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个.18.已知函数.（1）若为奇函数，证明：；（2）讨论的单调性.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可；（2）根据单调性的定义证明的单调性.【小问1详解】证明：的定义域为，对，都有，又为奇函数，则必有，即，整理可得，因为，所以，命题得证．【小问2详解】设，，且，，易知，，又在上为增函数，，可得，当时，，为增函数；当时，，为常函数无单调性；当时，，为减函数．19.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）