2026 年高职中学教育（中学数学教学）试题及答案

2025年高职中学教育（中学数学教学）试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内）1.函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}+\ln(3-x)$的定义域是（）A.$(2,3)$B.$[2,3)$C.$(2,3]$D.$[2,3]$2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，且$(\vec{a}+k\vec{b})\perp\vec{a}$，则实数$k$的值为（）A.$\frac{5}{3}$B.$-\frac{5}{3}$C.$\frac{3}{5}$D.$-\frac{3}{5}$3.下列函数中，既是奇函数又在区间$(0,+\infty)$上单调递增的是（）A.$y=x^3$B.$y=\lnx$C.$y=2^x$D.$y=\sinx$4.若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{4}x$，则双曲线的离心率为（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$5.已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=2a_n+1$，$a_1=1$，则$a_5$的值为（）A.31B.30C.15D.636.设函数$f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}$，则$f(f(\frac{1}{4}))$的值为（）A.-4B.4C.$\frac{1}{4}$D.$-\frac{1}{4}$7.已知圆$C$：$(x-1)^2+(y-2)^2=4$，则过点$P(3,1)$的圆$C$的切线方程为（）A.$x=3$B.$y=1$C.$x=3$或$3x-4y-5=0$D.$y=1$或$3x-4y-5=0$8.在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a=2$，$b=3$，$c=4$，则$\cosC$的值为（）A.$\frac{1}{4}$B.$-\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$9.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_3+a_7=10$，则$S_9$的值为（）A.$=\frac{1}{4}$B.$-\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$10.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象可由函数$y=\sin2x$的图象（）A.向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度得到B.向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度得到C.向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到D.向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到二、多项选择题（总共5题，每题4分，每题有多个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内，少选得2分，多选、错选不得分）1.下列命题中，正确的是（）A.若$a\gtb$，$c\gtd$，则$ac\gtbd$B.若$a\gtb$，则$a^2\gtb^2$C.若$a\gtb$，$c\gtd$，则$a-c\gtb-d$D.若$a\gtb$，$c\gt0$，则$ac\gtbc$2.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\-2x,x\gt0\end{cases}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$是偶函数B.$f(x)$在$R$上单调递减C.$f(x)$的值域为$(-\infty,1]$D.$f(x)$在$x=0$处连续3.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,3)$，$\vec{c}=(3,4)$，且$\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$，则$x$，$y$的值分别为（）A.$x=-1$B.$x=1$C.$y=2$D.$y=-2$4.已知圆$C$：$x^2+y^2-2x-4y+1=0$，直线$l$：$x+ay-1=0$，则下列说法正确的是（）A.直线$l$恒过定点$(1,0)$B.当$a=1$时，直线$l$与圆$C$相切C.当$a=-1$时，直线$l$与圆$C$相交D.直线$l$与圆$C$恒有公共点5.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=2n^2-3n$，则下列说法正确的是（）A.$a_1=-1$B.数列$\{a_n\}$是等差数列C.$a_n=4n-5$D.$S_n$的最小值为$-\frac{9}{8}$三、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在横线上）1.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限为______。2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,3)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$______。3.双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的渐近线方程为______。4.已知函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，则$f(x)$图象的对称轴方程为______。5.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}-a_n=2$，则$a_n=______。四、解答题（总共3题，每题10分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函数$f(x)$的极值。2.已知圆$C$：$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，直线$l$：$3x+4y+5=0$，求圆心$C$到直线$l$的距离，并判断直线$l$与圆$C$的位置关系。3.在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a=3$，$b=4$，$\cosC=\frac{1}{3}$，求$c$的值及$\sinA$的值。五、综合题（总共2题，每题15分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=2a_n-1$，求数列$\{a_n\}$的通项公式，并求数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。2.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+2x+1,x\leq0\\-x^2+2x-1,x\gt0\end{cases}$，（1）画出函数$f(x)$的图象；（2）求函数$f(x)$的最大值和最小值；（3）若$f(x)\geq-2$，求$x$的取值范围。答案一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.A7.C8.B9.D10.C二、多项选择题1.D2.BC3.AC4.ABD5.ABD三、填空题1.22.83.$y=\pm\frac{4}{3}x$4.$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\inZ)$5.$2n-1$四、解答题1.解：$f^\prime(x)=3x^2-6x+2$，令$f^\prime(x)=0$，解得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。当$x\lt1-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$单调递增；当$1-\frac{\sqrt{3}}{3}\ltx\lt1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$单调递减；当$x\gt1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f^\prime(x)\gt\0$，$f(x)$单调递增。所以极大值为$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{13-6\sqrt{3}}{9}$，极小值为$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{13+6\sqrt{3}}{9}$。2.解：圆$C$的方程可化为$(x-2)^2+(y-3)^2=4$，圆心$C(2,3)$，半径$r=2$。圆心$C$到直线$l$的距离$d=\frac{|3\times2+4\times3+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5$。因为$d\gtr$，所以直线$l$与圆$C$相离。3.解：由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，可得$c^2=\frac{49}{3}$，则$c=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。因为$\sin^2C+\cos^2C=1$，所以$\sinC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}$，可得$\sinA=\frac{2\sqrt{6}}{7}$。五、综合题1.解：当$n=1$时，$a_1=S_1=2a_1-1$，解得$a_1=1$。当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-1-(2a_{n-1}-1)$，整理得$a_n=2a_{n-1}$。所以数列$\{a_n\}$是以$1$为首项，$2$为公比的等比数列，通项公式为$a_n=2^{n-1}$。前$n$项和$S_n=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$。2.解：（1）图象略。（2）当$x\leq0$时，$f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2$，最小值为$f(-1)=0$；当$x\gt0$时，$f(x)=-x^2+2x-1=-(x-