福建省福州第十五中学2025~2026学年高二上册12月月考数学试卷【附答案】

/福建省福州第十五中学2025−2026学年高二上学期12月月考数学试卷一、单选题1．已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（

）A．11 B．22 C．24 D．442．已知等差数列的公差为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（

）A． B． C． D．4．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B． C． D．5．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．数列中，，（n为正整数），则的值为（

）A． B． C． D．7．已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．8．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.①三棱锥中，点到平面的距离为定值；②过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为；③直线与平面所成角的正弦值的范围为；以上命题为真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．下列四个选项中，正确的是（

）A．数列与数列是同一数列B．数列是递减数列C．数列的一个通项公式是D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项10．在正四棱柱中，，是的中点，则（

）A．与所成角的余弦值为 B．与平面所成的角为C．对角线与平面所成的角为 D．四面体的体积是11．已知双曲线的上、下焦点分别为，实轴长为4，点为上一点，且，则（

）A．的焦距为 B．C．的面积为 D．的纵坐标为三、填空题12．已知数列为等差数列，若，则的值为.13．已知，是抛物线：上不同两点.若直线过点，则的最小值为.14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为.四、解答题15．（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项．（2）已知数列的前n项和，求的通项公式．16．已知直线：与轴交于点，原点为.（1）若直线过点，且与平行，求的一般方程；（2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程.17．双曲线的左焦点为．（1）点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）；（2）过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求．18．如图，在四棱锥中，底面，，.（1）证明：平面平面；（2）设，且点P，B，C，D均在球O的球面上.（i）证明：点O在平面内；（提示：可设坐标，因为均在球的球面上，所以，再结合代数法计算）（ii）求O到平面的距离.19．已知椭圆：经过点，且与椭圆：的离心率平方之和为.（1）求的方程；（2）已知，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线与交于点，.（ⅰ）若，分别在第一、四象限，求四边形面积的取值范围；（ⅱ）若直线，的倾斜角分别为，，且，求直线与直线的交点到直线的距离.

答案1．【正确答案】B【详解】解得，故A错误；解得，故B正确；解得，故C错误；解得，故D错误．故选:B．2．【正确答案】B【详解】由题可知；故选B.3．【正确答案】B【详解】由题知的斜率为，所以的方程为，令，得.故选B.4．【正确答案】D【详解】抛物线中，该抛物线焦点到准线的距离为.故选D.5．【正确答案】B【详解】由题在方向上的投影向量为.故选B6．【正确答案】A【详解】因为，所以，则有，得，故.故选A7．【正确答案】D【详解】因为在双曲线中，因为，所以，则，在中，，，所以，即，所以，所以，则，所以双曲线的渐近线方程为.故选D8．【正确答案】C【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，,设，则，即，，设平面的法向量为，则，取，得，对于①，到平面的距离，①正确；对于②，连接，在中，，面，面，则面，同理面，而平面，因此平面平面，即过点且平行于面的平面被正方体截得的多边形为正，其边长为，面积为，②正确；对于③，设直线与平面所成角为，则，由，得，，所以直线与面所成角的正弦值的范围为，③错误.故选C9．【正确答案】BD【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误，对于B，由，即数列为递减数列，B正确，对于C，由观察法可知，C错误，对于D，由，解得，D正确，故选BD10．【正确答案】ABD【详解】以为原点，分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，.对于A，，所以与所成角的余弦值为，故A正确；对于B，因为为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，，所以平面，即为平面的一个法向量，，所以与平面所成的角为，故B正确；对于C，设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以对角线与平面所成的角不为，故C错误；对于D，因为，平面，平面，所以平面，所以四面体的体积.故D正确.故选ABD11．【正确答案】BCD【详解】A，依题意，知双曲线的焦点在轴上，，所以，由，得，所以焦距为，故A错误；B，因为，所以点为双曲线上支的一点，故由双曲线的定义，可得，则，故B正确；C，在中，，所以，故的面积为，故C正确；D，由的面积为，即，解得，结合点为双曲线上支的一点，代入双曲线的方程，可得点的纵坐标为，故D正确．故选BCD12．【正确答案】10【详解】因为数列为等差数列，所以，所以.13．【正确答案】【详解】设直线的方程为，与联立得，由根与系数的关系得，∴，∴，当且仅当时取等号.14．【正确答案】【详解】曲线，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，作出曲线如图：到直线的距离，则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性，只需考虑，时的情况；当，时，曲线C的方程为，曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，而到直线的距离为，由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，故的最小值为.15．【正确答案】（1）91为数列中的第43项；（2）【详解】（1）因为，所以，解得，因为，所以，又因为，解得，代入通项公式为：，令，即，解得（为正整数），即91为数列中的第43项．（2）∵，∴当时，，当时，，将代入，得，与一致，∴的通项公式是．16．【正确答案】（1）；（2）或.【详解】（1）把代入，得，所以直线的斜率，直线.因为，所以的斜率，所以的方程为，即.（2）法一：设圆的标准方程为（），由题意可得，解得或，所以圆的方程为或.

法二：因为圆过原点，所以点在线段的垂直平分线上，设圆的方程为（），由圆过点，得，由圆与相切，得，即，整理得，解得或，当时，，当时，，所以圆的方程为或.17．【正确答案】（1）1（2）3【详解】（1）由题可知，，设，则，即或，，又或，所以时，取得最小值1；（2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以，则直线的方程为，联立直线方程与双曲线方程，得，设，则，则．18．【正确答案】（1）见详解；（2）（i）见详解；（ii）.【详解】（1）因为底面，且平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）（i）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，则，设，因为均在球的球面上，所以，则，解得，即，所以点在上，即点在平面内.（ii）由，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设到平面的距离为，则，所以到平面的距离为.19．【正确答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）6【详解】（1）由椭圆经过点，得，解得，所以椭圆的离心率为；椭圆的离心率为，由椭圆与椭圆的离心率平方之和为得，