天津市南开日新学校2025~2026学年高二上册学习质量检测（三）数学学科试卷【附答案】

/天津市南开日新学校2025−2026学年高二上学期学习质量检测（三）数学学科试卷一、单选题1．抛物线的焦点到准线的距离为，则（

）A． B．或 C． D．或2．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（

）A． B．C． D．3．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（

）．A．55 B．70 C．85 D．1004．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，，是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为A． B． C． D．5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于不同的M，N两点，则=（

）A． B． C． D．7．设为数列的前项积，已知，则（

）A． B． C． D．8．已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（

）A．2 B． C．4 D．9．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A． B． C． D．10．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题11．若双曲线的离心率为3，则12．已知等差数列､的前项和分别为､，若，则.13．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为.14．已知，是抛物线：上不同两点.若直线过点，则的最小值为.15．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，若存在正整数，使，则.16．已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围是.三、解答题17．已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求．18．记为数列的前项和.（1）已知为等差数列，证明：数列是等差数列；（2）已知在公差为1的等差数列中，成等比数列，求的最小值.19．已知椭圆的短轴长为，是上一点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，是轴上不同的两点，直线，分别交椭圆于另一点，，若，证明：椭圆在点处的切线与的外接圆相切．20．已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．

（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形面积的最大值；（3）设直线，的斜率为，，若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．四、填空题21．已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则．22．已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与x轴垂直，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则E的离心率为.23．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．24．已知等差数列，若，，且，则公差．

答案1．【正确答案】D【详解】由题设，抛物线标准形式为，则，可得.故选D2．【正确答案】A【详解】设，则，因为，所以，所以.故选A.3．【正确答案】C【详解】根据已知可求出，再根据等差数列的性质及求和公式即可求出数列{abn}的前10项和．【详解】数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，又都是公差为1的等差数列，所以数列也成等差，则数列的前10项和等于，又，，∴，故选C．4．【正确答案】D【详解】试题分析：由题意可知，代入椭圆方程可知考点：椭圆性质5．【正确答案】B【详解】设，则，于是有，由椭圆的定义可知：，，在圆中，是直径，所以，由勾股定理可得：，，代入中，得，故选B6．【正确答案】B【详解】由题意知抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相等，因此，，抛物线的方程为.设直线的方程为，且，，,，由得，所以，，则，所以=·=.综上，.故选B.7．【正确答案】D【详解】由为数列的前项积，则，则由，可得当时，有，又当时，，则，即，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，则，故.故选D.8．【正确答案】D【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，故，而，，由对称性易得四边形是平行四边形，故其面积，可得，设，由的倾斜角为，得，，于是由，得，又，则，解得，故的虚轴长为．故选D．9．【正确答案】B【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．详解：由题可知在中，在中,故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．10．【正确答案】D【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆，因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角，则点在圆外，又因为动点在直线上，则直线与圆相离，所以，解得，则，即，因此，椭圆的离心率的取值范围是.故选D.11．【正确答案】【详解】若焦点在轴上，则，，得，则，得，满足题意；若焦点在轴上，则，，无解，则.12．【正确答案】【详解】由于等差数列的前项和是关于的二次函数（且常数项为0），形式为，因此可设，，(k为非零常数)；；。13．【正确答案】【详解】

如图，右焦点关于直线的对称点，设切点为，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线，所以，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为，所以点到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的倍，则，即.14．【正确答案】【详解】设直线的方程为，与联立得，由根与系数的关系得，∴，∴，当且仅当时取等号.15．【正确答案】/【详解】由于，则，当时，，当时，，根据，则，即此时的.16．【正确答案】或【详解】设，，是线段的中点，因为点是椭圆上关于直线对称的两个点，则，两式相减得.因为，，所以.因为，所以，故，联立，解得，所以.因为点M应在椭圆的内部，所以，即，解得或.所以实数m的取值范围是或.

17．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）因为的坐标为，又，，,又动点满足直线与的斜率之积为，，即，故曲线的方程为.（2）根据已知作图如下：直线过点且倾斜角为，直线的方程为，联立，消去，整理得，，设，则，，故.18．【正确答案】（1）证明详见详解.（2）.【详解】（1）设等差数列的公差为，则.又所以，所以，所以，所以，当时，也满足上式，所以.所以，为常数，所以数列是等差数列.（2）因为等差数列的公差为1，所以.又成等比数列，所以，即，解得.所以，根据二次函数的性质可知，当或12时，取得最小值，即的最小值为.19．【正确答案】（1）（2）见详解【详解】（1）由题意得，得，，所以椭圆的标准方程为．（2）设椭圆在点处的切线方程为，由，可得，所以，化简得，解得，所以的方程为，即．因为，所以直线，的倾斜角互补，所以直线，的斜率均存在且均不为零并互为相反数，设直线的方程为，由，可得，设，线段的中点为，则，，所以线段的垂直平分线的方程为．①由直线的斜率为，同理可得线段的垂直平分线的方程为．②由①+②得，由①-②得，所以的外接圆圆心的坐标为，则直线的斜率，又，所以，故，所以的外接圆与直线相切，所以椭圆在点处的切线与的外接圆相切．20．【正确答案】（1）（2）（3）见详解，【详解】（1）由题意得，，，则，即，所以，即所求椭圆方程为.（2）设，，设方程为，由，得，则，，所以，令，，则，因为函数在上单调递增，且时，，则，即的最大值为.（3）下面先说明：椭圆的弦的斜率（存在的情况下）为，为弦中点的坐标，设弦的端点为，，则，由，两式相减得，则，所以弦的斜率（存在的情况下）为.设，，，，根据，有，则，两式相减得，对比直线方程，即，知直线过．21．【正确答案】【详解】由题意可得，所以，设，两式作差得，则，，同理可得，所以，填．22．【正确答案】或【详解】设，与x轴垂直，，代入双曲线方程得，解得，，点在双曲线的右支上，则，，是直角三角形，外接圆半径，设内切圆的半径为，又，则，即，解得，的外接圆半径是其内切圆半径的倍，，即，整理得，两边同时除以，得，解得或.23．【正确答案】【详解】设双曲线的