10.1.2 事件的关系和运算（课件）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

10.1.2事件的关系和运算人教A版（2019）必修第二册素养目标1.了解随机事件的包含、互斥、对立的含义，会判断两个随机事件是否互斥、对立,提升逻辑推理素养（重点）2.了解随机事件的并事件、交事件的含义，能进行随机事件的并、交运算，提升逻辑推理素养（难点）新课导入探究思考：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：Ci=＂点数为

i"，i=1,2,3,4,5,6;D1=＂点数不大于3＂；D2=＂点数大于3＂;E1=＂点数为1或2＂；E2=＂点数为2或3＂;F=＂点数为偶数＂；G=＂点数为奇数＂；......你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件．借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？新课学习思考一下：用集合的形式表示事件C1=＂点数为1＂和事件

G=＂点数为奇数＂，这两个事件有什么关系吗？它们分别是C1={1}和

G={1,3,5}，如果事件C1发生，那么事件G一定发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1}⊆{1,3,5}，即

C1⊆G

．这时我们说事件

G

包含事件C1

．新课学习包含关系的概念一般地，若事件A

发生，则事件

B

一定发生，我们就称事件

B

包含事件

A（或事件

A包含于事件

B

），记作

B⊇A（或

A⊆B

）．可以用下图表示特殊的包含关系：两个事件相等特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.新课学习思考一下：用集合的形式表示事件D1=＂点数不大于3＂，事件

E1=＂点数为1或2＂

和事件

E2=＂点数为2或3＂，这两个事件有什么关系吗？它们用集合分别表示为

D1={1,2,3}，E1={1,2}和

E2={2,3}．事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1,2}∪{2,3}={1,2,3}，即E1∪E2=D1

.新课学习并事件的概念一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件

A

与事件B的并事件（或和事件），记作

A∪B（或

A+B

）．可以用下图表示新课学习思考一下：事件C2=＂点数为2＂可以用集合的形式表示为C2={2}，事件

C2

为事件E1

和E2

有什么关系？事件

E1=＂点数为1或2＂和事件E2=＂点数为2或3＂同时发生，相当于事件

C2

发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1,2}∩{2,3}={2}，即

E1∩E2=C2

．新课学习交事件的概念一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件

B

中，我们称这样的一个事件为事件

A

与事件

B的交事件（或积事件），记作

A∩B（或AB

）．可以用下图中表示．新课学习思考一下：用集合的形式表示事件C3=＂点数为3＂和事件C4=＂点数为4＂，这两个事件有什么关系？它们用集合表示为C3={3},C4={4}.事件C3

与事件C4不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是

{3}∩{4}=Ø

，即

C3∩C4=Ø.

新课学习互斥事件的概念一般地，如果事件

A

与事件

B

不能同时发生，也就是说

A∩B

是一个不可能事件，即

A∩B=Ø

，则称事件

A

与事件

B

互斥（或互不相容）．可以用下图表示这两个事件互斥．新课学习思考一下：用集合的形式表示事件

F=＂点数为偶数＂，事件

G=＂点数为奇数＂，这两个事件有什么关系？它们用集合表示为F={2,4,6},G={1,3,5}．在任何一次试验中，事件

F

与事件G

两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一．事件之间的这种关系，用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6}，即F∪G=Ω

，且{2,4,6}∩{1,3,5}=Ø

，即

F∩G=Ø

．新课学习对立事件的概念AΩ一般地，如果事件

A

和事件

B

在任何一次试验中有且仅有一个发生，即

A∪B=Ω，且

A∩B=Ø

，那么称事件

A与事件

B

互为对立．事件

A

的对立事件记为

，可以用下图表示．新课学习拓展：互斥事件与对立事件区别与联系(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.新课学习事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示：事件的关系或运算含义符合表示包含A发生导致B发生A⊆B或B⊇A并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Ø互为对立A与B有且只有一个发生A∩B=Ø，A∪B=Ω类似地,可以定义多个事件的和事件以及积事件.新课学习例1

如图，由甲，乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A=＂甲元件正常＂，B=＂乙元件正常＂.（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；分析：注意到试验由甲，乙两个元件的状态组成，所以可以用数组(x1,x2)表示样本点．这样，确定事件A,B

所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态．乙甲用

x1,x2

分别表示甲，乙两个元件的状态，则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.新课学习（2）用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；根据题意，可得新课学习A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},新课学习例2

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件

R1=＂第一次摸到红球＂，R2=＂第二次摸到红球＂，R=＂两次都摸到红球＂，G=＂两次都摸到绿球＂，M=＂两个球颜色相同＂，N=＂两个球颜色不同＂．（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；所有的试验结果如图所示．用数组(x1

,x2

）表示可能的结果，x1

是第一次摸到的球的标号，x2

是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.新课学习（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；事件

R1=＂第一次摸到红球＂，即x1=1或2，于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)};事件R2=＂第二次摸到红球＂，即x2=1或2，于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}.同理，有R={(1,2),(2,1)}M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)})新课学习因为

R⊆R1，所以事件R1包含事件R

；因为

R∩G=Ø，所以事件R与事件G互斥；因为

M∪N=Ω，M∩N=Ø

，所以事件M与事件

N

互为对立事件．（2）事件R与

R1，R与G，M与N之间各有什么关系？新课学习因为R∪G=M

，所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为R1∩R2=R

，所以