2026 年中考数学重难点突破试卷（附答案可下载）

2026年中考数学重难点突破试卷（附答案可下载）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置；2.所有答案均需写在答题卡上，写在试卷上无效；3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。重难点说明：本试卷聚焦中考数学核心重难点，包括二次函数综合应用、动态几何最值问题、圆与三角形综合、相似三角形进阶应用、代数几何综合建模等，每题围绕重难点设计，解析中拆解解题思路与突破方法，助力攻克高分壁垒。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。聚焦基础重难点，侧重概念深化与逻辑推理）（重难点：二次函数图象与系数关系）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向下，对称轴为x=1，且过点(0,3)，则下列结论正确的是（）

A.a>0B.2a+b=0C.b²-4ac<0D.当x>1时，y随x的增大而增大

（重难点：圆的切线判定）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作CD⊥AB于点D，延长CD至点E，使CE=CB，连接BE。下列说法正确的是（）

A.BE是⊙O的切线B.CE是⊙O的切线C.∠E=30°D.AE=BE

（注：试卷印刷时配圆O，AB为直径，CD⊥AB，CE=CB，连接BE）

（重难点：相似三角形性质应用）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）

A.8B.12C.16D.20

（重难点：动态点的坐标特征）在平面直角坐标系中，点P(2,3)绕原点O逆时针旋转90°后得到点P'，则点P'的坐标为（）

A.(-3,2)B.(3,-2)C.(-2,3)D.(2,-3)

（重难点：一元二次方程根的判别式）关于x的一元二次方程kx²-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k<1B.k<1且k≠0C.k≤1D.k≤1且k≠0

（重难点：矩形与折叠综合）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形沿EF折叠，使点B落在AD上的点B'处，若B'D=2，则AE的长为（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

（注：试卷印刷时配矩形ABCD，折叠后B落在AD上B'处，B'D=2）

（重难点：反比例函数与几何综合）已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点A(2,3)，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

（重难点：三角函数的实际应用）如图，某山坡的坡度i=1:√3，坡长AB=10米，则山坡的垂直高度AC为（）

A.5米B.5√3米C.10米D.10√3米

（注：试卷印刷时配山坡示意图，AC垂直地面BC，坡度i=AC:BC）

（重难点：四边形综合判定）下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.对角线相等的平行四边形是正方形

C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

（重难点：二次函数最值问题）二次函数y=-x²+2x+3的最大值与最小值之和为（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。突破中档重难点，侧重计算与性质应用）（重难点：因式分解进阶）因式分解：a³-2a²b+ab²-4b³=______。（重难点：圆的弧长与扇形面积）如图，⊙O的半径为4，圆心角∠AOB=90°，则扇形AOB的面积为______（结果保留π），弦AB的长为______。

（注：试卷印刷时配圆O，∠AOB=90°，OA=OB=4）

（重难点：相似三角形比例计算）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AD=2，BD=8，则CD的长为______。

（注：试卷印刷时配Rt△ABC，CD为斜边AB上的高）

（重难点：二次函数与一元二次方程关系）已知二次函数y=x²-3x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______，若两交点间的距离为1，则m=______。（重难点：动态几何最值）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是△ABC内一点，且到三边的距离相等，则点P到顶点A的距离为______。（重难点：坐标与几何变换）在平面直角坐标系中，将直线y=2x-1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新直线解析式为______。三、解答题（本大题共9小题，共86分。冲刺高分重难点，侧重综合应用与思路拆解）（一）基础重难点题（本大题共2小题，每小题8分，共16分。突破代数运算与基础几何综合）计算：√12-|√3-2|+2sin60°-(π-2026)⁰+(-1/2)⁻²。先化简，再求值：[(x²-4)/(x²-4x+4)-(x+2)/(x-2)]÷(4x)/(x-2)，其中x满足x²-2x-3=0。（二）圆的综合重难点题（本大题1小题，10分。突破圆与三角形、切线的综合应用）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠ACD=∠BCD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接OC。

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，AD=8，求CE的长及四边形ABCD的面积。

（注：试卷印刷时配圆O，AB为直径，CE⊥AD延长线，CD平分∠ACB）

（三）相似三角形重难点题（本大题1小题，10分。突破相似的判定与综合计算）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，对角线AC、BD交于点O，过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于点E、F。

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AE:ED=2:3，求EF:AB的值；

（3）若S△AOE=4，求S△ABC的值。

（注：试卷印刷时配四边形ABCD，AB∥CD，EF∥AB交AD、BC于E、F）

（四）二次函数综合重难点题（本大题1小题，12分。突破二次函数与几何、最值的综合）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，顶点为D。

（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）连接BD、CD，求△BCD的面积；

（3）点P是抛物线上的动点，且在直线BC上方，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标。

（五）动态几何重难点题（本大题1小题，12分。突破动态点、折叠与最值综合）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是AB的中点，点D是BC边上的动点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，得到△B'DE，连接AB'、B'C。

（1）求证：B'E=AE=BE；

（2）当BD=2时，求△AB'C的面积；

（3）在点D的运动过程中，线段AB'的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。

（六）代数几何综合重难点题（本大题1小题，12分。突破建模与综合应用）某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件时，每天可卖出(100-x)件，设每天的利润为y元。

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若每天的利润不低于2000元，求售价x的取值范围；

（3）为了吸引顾客，商场决定每销售一件商品就捐赠a元（a>0）给慈善机构，此时每天的最大利润为1960元，求a的值。

（七）压轴重难点题（本大题1小题，14分。突破中考压轴题核心考点，侧重多知识点融合）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，点A(2,0)，点B在⊙O上，且∠AOB=60°，点C是x轴正半轴上一动点，过点C作CD⊥x轴，交直线OB于点D，连接AD、BC，设OC=t（t>0）。

（1）求点B的坐标及直线OB的解析式；

（2）当t=4时，求证：AD∥BC；

（3）是否存在t的值，使△BCD为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）当AD与⊙O相切时，求△ACD的面积。

参考答案与重难点突破解析一、选择题（每小题4分，共40分）1.B2.A3.C4.A5.B6.C7.A8.A9.C10.B二、填空题（每小题4分，共24分）11.(a-2b)(a²+b²)12.4π，4√213.414.m<9/4，215.√516.y=2x-5三、解答题（共86分）（一）基础重难点题（每小题8分，共16分）解：（重难点突破：牢记实数运算公式，注意绝对值与符号处理）

原式=2√3-(2-√3)+2×(√3/2)-1+4（4分）

=2√3-2+√3+√3-1+4

=4√3+1（8分）

解：（重难点突破：先化简再求值，规避直接代入方程的繁琐计算）

化简原式=[(x+2)(x-2)/(x-2)²-(x+2)/(x-2)]×(x-2)/(4x)（3分）

=[(x+2)/(x-2)-(x+2)/(x-2)]×(x-2)/(4x)=0×(x-2)/(4x)=0（6分）

注：无论x取何值（使分式有意义），结果均为0，故原式值为0（8分）

（二）圆的综合重难点题（10分）（1）证明：（重难点突破：切线判定需连半径，证明半径与直线垂直）

∵∠ACD=∠BCD，∴弧AD=弧BD，又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（2分）

∵CE⊥AE，∴∠E=90°，∠CAD+∠ACE=90°，又∠CAD=∠CBD=∠OCD，∴∠OCD+∠ACE=90°（4分）

∴OC⊥CE，CE是⊙O的切线（5分）

（2）解：（重难点突破：利用垂径定理与勾股定理求线段长度）

过O作OF⊥AD于F，AF=4，OF=√(5²-4²)=3，由面积法得CE=OF=3（7分）

AC=√(AD²+CE²)=√(64+9)=√73，BC=√(AB²-AC²)=√(100-73)=√27=3√3（9分）

四边形ABCD面积=1/2×AD×CE+1/2×BC×AD=1/2×8×3+1/2×3√3×8=12+12√3（10分）

（三）相似三角形重难点题（10分）（1）证明：（重难点突破：平行四边形判定，结合角相等与边平行）

∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，又∠ABC=∠ADC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴AD∥BC（2分）

∴四边形ABCD是平行四边形（3分）

（2）解：（重难点突破：相似三角形比例关系，结合平行线分线段成比例）

∵AE:ED=2:3，∴AE:AD=2:5，∵EF∥AB，∴△AEF∽△ADB，EF:AB=AE:AD=2:5（6分）

（3）解：（重难点突破：相似三角形面积比等于相似比的平方）

∵S△AOE=4，△AOE∽△AOB，相似比为2:5，∴S△AOB=25（8分）

∵O是AC中点，∴S△ABC=2×S△AOB=50（10分）

（四）二次函数综合重难点题（12分）（1）解：（重难点突破：用交点式设解析式，简化计算）

设y=a(x+1)(x-3)，代入C(0,3)得：a×(-1)×(-3)=3，a=1（2分）

解析式为y=(x+1)(x-3)=x²-2x-3，顶点D(1,-4)（4分）

（2）解：（重难点突破：利用坐标法求三角形面积，分割法更简便）

直线BC解析式为y=-x+3，BD长度=√[(3-1)²+(0+4)²]=2√5，点C到BD距离=|-1-3+3|/√2=√2/2（6分）

S△BCD=1/2×2√5×√2/2=√10/2（8分）

（3）解：（重难点突破：点到直线距离公式结合二次函数最值）

设P(m,m²-2m-3)，距离d=|-m+3-(m²-2m-3)|/√2=|-m²+m+6|/√2（10分）

当m=1/2时，d最大值=25/(4√2)=25√2/8，此时P(1/2,-15/4)（12分）

（五）动态几何重难点题（12分）（1）证明：（重难点突破：折叠性质与直角三角形斜边中线性质结合）

由折叠得B'E=BE，∵E是AB中点，AB=10，∴AE=BE=5，∴B'E=5（4分）

（2）解：（重难点突破：坐标法求解，规避几何图形的复杂构造）

建立坐标系，C(0,0)，A(0,6)，B(8,0)，E(4,3)，D(8,2)，折叠后B'(0,4)（6分）

S△AB'C=1/2×AC×B'C=1/2×6×4=12（8分）

（3）解：（重难点突破：确定B'运动轨迹，利用圆的性质求最值）

B'在以E为圆心、5为半径的圆上，AE=5，AB'最小值=AE-半径=0（舍去），修正：最小值=√(BE²-距离²)=√(25-16)=3（12分）

（六）代数几何综合重难点题（12分）（1）解：（重难点突破：利润公式建模，注意自变量取值范围）

y=(x-20)(100-x)=-x²+120x-2000，x取值范围20<x<100（4分）

（2）解：（重难点突破：解一元二次不等式，结合实际意义）

-x²+120x-2000≥2000，解得40≤x≤80（8分）

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