误差理论与数据处理试题及答案

误差理论与数据处理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.以下关于误差的描述中，正确的是（）。A.系统误差具有随机性，无法通过多次测量减小B.随机误差的分布满足正态分布时，绝对值小的误差出现概率更高C.粗大误差是由测量仪器精度不足引起的D.绝对误差等于测量值与真值的差值的绝对值2.对某物理量进行等精度测量，得到10次测量值，计算其算术平均值的标准偏差时，应使用（）。A.贝塞尔公式：s=2B.平均值的标准偏差公式：sx¯C.最大残差法：s≈max|viD.极差法：s≈xmaxx3.用分度值为0.02mm的游标卡尺测量长度，仪器误差限通常取（）。A.0.01mmB.0.02mmC.0.04mmD.0.05mm4.间接测量中，若测量量N=x+2y3z，各直接测量量的不确定度分别为u(x)、u(y)、u(z)，则A.2u(xB.2u(xC.u(x)+2u(y)+3u(z)D.|u(x)2u(y)+3u(z)|5.有效数字运算中，12.345+0.00121.23的结果应为（）。A.11.1162B.11.12C.11.116D.11.16.以下哪种方法不能用于检验测量数据中的粗大误差？（）A.拉依达准则（3σ准则）B.格拉布斯准则C.贝塞尔公式D.狄克逊准则7.对某电阻进行8次等精度测量，得到平均值为100.5Ω，标准偏差为0.3Ω，则测量结果的A类不确定度为（）。A.0.3ΩB.0.3/√8Ω≈0.106ΩC.0.3×√8Ω≈0.848ΩD.0.3×8Ω=2.4Ω8.最小二乘法拟合直线y=a+bx时，参数b的计算公式为（）。A.b=n∑B.b=∑C.b=∑(D.仅A和C正确9.以下关于不确定度的描述，错误的是（）。A.不确定度反映测量结果的分散性B.B类不确定度需通过统计方法评定C.合成不确定度是各分量的方和根D.扩展不确定度通常取包含因子k=2或k=310.用千分尺（量程0-25mm，分度值0.01mm）测量小钢珠直径，5次测量值（单位：mm）为：8.123、8.125、8.124、8.126、8.122。则测量结果的正确表示应为（）。A.(8.124±0.001)mm（P=68.3%）B.(8.124±0.002)mm（P=95%）C.(8.124±0.01)mm（P=68.3%）D.(8.12±0.01)mm（P=95%）二、填空题（每空2分，共20分）1.误差按性质可分为________、________和粗大误差三类。2.算术平均值是真值的________估计，其标准偏差随测量次数增加而________。3.有效数字的末位是________位，记录测量数据时应保留________位可疑数字。4.不确定度的A类评定是通过________方法得到的，B类评定是基于________或经验信息评定的。5.用拉依达准则检验粗大误差时，若某测量值的残差绝对值大于________，则视为粗大误差，应剔除。6.间接测量中，若函数关系为N=x·y，则相对不确定度ur三、判断题（每题2分，共10分。正确打“√”，错误打“×”）1.多次测量取平均可以消除系统误差。（）2.有效数字的位数越多，测量精度越高。（）3.标准偏差反映单次测量值的离散程度，平均值的标准偏差反映平均值的离散程度。（）4.不确定度评定中，仪器误差限通常作为B类不确定度的主要来源，其置信概率取100%。（）5.最小二乘法拟合直线时，要求残差的平方和最小，因此能有效减小随机误差的影响。（）四、计算题（共40分）1.直接测量误差计算（10分）对某圆柱体直径进行6次等精度测量，得到数据（单位：mm）：25.12、25.15、25.13、25.14、25.16、25.11。假设测量无系统误差，仪器误差限为0.02mm（置信因子k=1）。（1）计算算术平均值d¯；（2）计算单次测量的标准偏差s(d)（用贝塞尔公式）；（3）计算平均值的标准偏差sd¯（4）评定测量结果的合成不确定度u(d¯)（A类与B类分量均取1个置信因子）；（5）写出测量结果的最终表达式（置信概率约68.3%）。2.间接测量误差传递（12分）通过测量圆柱体的直径d和高度h计算体积V=πd=(20.00±0.02)mm（P=68.3%），相对不确定度urh=(50.0±0.1)mm（P=68.3%），相对不确定度ur（1）计算体积V的平均值；（2）推导体积的相对不确定度公式ur（3）计算体积的合成不确定度u(V)；（4）写出体积的测量结果表达式。3.最小二乘法拟合（18分）某实验中测量温度t（℃）与电阻R（Ω）的关系，得到以下数据：|t（℃）|10.0|20.0|30.0|40.0|50.0||-------------|------|------|------|------|------||R（Ω）|102.5|105.2|107.8|110.5|113.1|假设R与t满足线性关系R=a+bt，其中a为截距（t=0时的电阻），b为温度系数（Ω/℃）。（1）列出计算a和b的最小二乘法公式；（2）计算a和b的具体数值；（3）计算b的标准偏差s(b)（已知∑(tit¯)2（4）写出R与t的拟合方程（保留3位有效数字）。五、综合分析题（10分）某同学用秒表（分度值0.1s，仪器误差限0.2s）测量单摆周期，共测量10次，数据如下（单位：s）：2.01、2.03、2.02、2.04、2.00、2.05、2.03、2.01、2.06、2.02。（1）检查是否存在粗大误差（使用拉依达准则，3s为限）；（2）计算周期的平均值T¯和标准偏差s(T)；（3）评定A类不确定度uA(T¯)和B类不确定度uB（4）合成不确定度u(T¯)，并写出最终结果表达式（置信概率约95%，取k=2）。答案解析一、单项选择题1.B解析：系统误差具有确定性，可通过修正减小（A错误）；随机误差正态分布时，小误差概率高（B正确）；粗大误差由操作失误引起（C错误）；绝对误差是测量值与真值的差值（非绝对值，D错误）。2.B解析：算术平均值的标准偏差是单次标准偏差除以√n（B正确），A是单次标准偏差，C、D是近似计算方法。3.B解析：游标卡尺的仪器误差限通常取分度值（0.02mm，B正确）。4.A解析：间接测量不确定度传递公式中，系数平方后相加（A正确）。5.B解析：加减运算保留小数位数最少的位数（12.345有3位小数，0.0012有4位，1.23有2位，结果保留2位小数，B正确）。6.C解析：贝塞尔公式用于计算标准偏差（C错误），其余为粗大误差检验方法。7.B解析：A类不确定度为平均值的标准偏差，即s/28.D解析：A和C均为最小二乘法斜率的正确公式（D正确）。9.B解析：B类不确定度不通过统计方法（B错误）。10.A解析：5次测量的平均值为8.124mm，单次标准偏差约0.0017mm，平均值标准偏差≈0.0008mm，仪器误差限0.004mm（千分尺误差限通常为0.004mm，但题目未明确，按分度值0.01mm的1/2估计为0.005mm，此处可能简化为0.001mm），合成后约0.001mm（A正确）。二、填空题1.系统误差；随机误差2.最佳；减小（或降低）3.可疑；一4.统计（或多次测量）；非统计（或仪器说明书、经验）5.3倍标准偏差（3s）6.2u三、判断题1.×（多次测量可减小随机误差，不能消除系统误差）2.√（有效数字位数反映精度）3.√（标准偏差描述单次离散，平均值标准偏差描述平均值离散）4.×（仪器误差限的置信概率通常取68.3%或对应均匀分布的k=25.√（最小二乘法通过残差平方和最小优化参数，减小随机误差影响）四、计算题1.直接测量误差计算（1）算术平均值：d¯=25.12+25.15+25.13+25.14+25.16+25.11（2）单次测量的标准偏差（贝塞尔公式）：残差vis(d)=2（3）平均值的标准偏差：sd¯（4）合成不确定度：A类不确定度uAB类不确定度（仪器误差限0.02mm，k=1）uB合成不确定度u(d¯)=2（5）测量结果表达式：d=(25.14±0.02)mm（P=68.3%）。2.间接测量误差传递（1）体积平均值：V=π4d（2）相对不确定度公式：由V=π4dur（3）合成不确定度：已知ur(d)=0.1%，uru(V)=V×ur(V)=15708×0.28%≈44（4）测量结果表达式：V=(1.57×104±4×1013.最小二乘法拟合（1）最小二乘法公式：b=n∑a=R¯bt¯（其中t¯=∑ti（2）计算a和b：n=5，∑ti=10+20+30+40+50=150∑Ri=102.5+105.2+107.8+110.5+113.1=539.1∑t∑t代入公式得：b=5×16438150×539.1a=107.820.265×30=107.827.95=99.87Ω。（3）b的标准偏差：已知∑(tit¯单次测量的标准偏差s(R)=2∑(Rs(b)=s(R)2∑(（4）拟合方程：R=(99.9±0.1)+(0.265±0.10)t（保留3位有效数字为R=99.9+0.265t）。五、综合分析题（1）粗大误差检验（拉依达准则）：平均值T¯=2.01+2.03+2.02+2.04+2.00+2.05+2.03+2.01+2.06+2.02残差vi单次标准偏差s(T)=23s(T)