数字信号处理考试题A卷含答案

数字信号处理考试题A卷含答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.以下离散时间信号中，属于周期信号的是（）A.x(n)=cos(0.3πn)B.x(n)=eC.x(n)=nmod5D.x(n)=sin(0.7n)2.已知线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)=0.5nu(n)A.0.5nB.0.5n-2C.0.5nD.0.5n-23.离散时间信号x(n)={1,2,3,4}（n=0,1,2,3）的自相关函数rxxA.1×2+2×3+3×4=20B.1×3+2×4=11C.2×1+3×2+4×3=20D.2×3+3×4=184.序列x(n)=anu(n)（|a|<1A.11-az-1B.zz-a，|z|<|a|C.11-az，|z|>1/|a|D.zz-a，|z|>|a|5.若x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）为X(ejω)A.e-j2ωB.ej2ωC.X(eD.X(e6.关于有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器的描述，错误的是（）A.FIR滤波器可实现严格线性相位B.IIR滤波器一般需要反馈结构C.FIR滤波器的单位脉冲响应有限长D.IIR滤波器的设计必须基于模拟滤波器7.用矩形窗设计FIR滤波器时，若希望减小过渡带宽度，应（）A.减小窗函数长度B.增大窗函数长度C.改用旁瓣衰减更大的窗函数D.调整理想滤波器的截止频率8.对长度为N的有限长序列进行N点DFT，其频率分辨率为（）A.2πNB.πNC.1ND.2N9.数字频率ω与模拟频率f的关系为ω=2πfT，其中T是（）A.模拟信号周期B.采样间隔C.信号持续时间D.滤波器阶数10.若模拟信号最高频率为5kHz，根据奈奎斯特采样定理，最小采样频率应为（）A.5kHzB.10kHzC.15kHzD.20kHz二、填空题（每题2分，共20分）1.离散时间系统y(n)=2x(n)+3的线性性为______（填“线性”或“非线性”）。2.序列x(n)=δ(n-1)+δ(n+1)的DTFT为______。3.已知X(z)=z(z-0.5)(z-0.8)（|z|>0.8），则其逆Z变换4.长度为N的序列x(n)与长度为M的序列h(n)的线性卷积结果长度为______。5.若x(n)是实偶序列，则其DTFTX(e6.对序列x(n)进行N点DFT，相当于对其DTFT在区间[0,2π)上进行______采样。7.设计IIR滤波器时，双线性变换法可避免______现象（填“混叠”或“频率模糊”）。8.汉明窗的主瓣宽度约为______（用N表示窗长）。9.数字系统稳定的充要条件是其系统函数H(z)的所有极点位于______。10.若x(n)的Z变换收敛域包含单位圆，则其DTFT______（填“存在”或“不存在”）。三、判断题（每题1分，共10分。正确填“√”，错误填“×”）1.所有线性系统一定是时不变系统。（）2.离散时间周期信号的周期N必须满足ω0N=2πk（3.若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，则系统稳定。（）4.FIR滤波器的单位脉冲响应长度为N，则其阶数为N-1。（）5.窗函数的主瓣宽度越窄，滤波器的过渡带越宽。（）6.DFT的频率分辨率仅与采样点数N有关，与采样频率无关。（）7.双线性变换法通过预畸变可消除模拟频率与数字频率的非线性映射误差。（）8.因果系统的单位脉冲响应h(n)满足h(n)=0（n<0）。（）9.若模拟信号最高频率为fm，则采样频率fs需满足10.系统y(n)=x(n四、计算题（共40分）1.（10分）已知离散时间系统的输入输出关系为y(n)=x(n)+0.5x(n-1)0.3y(n-1)。（1）判断该系统是否为线性时不变系统；（2）求系统函数H(z)，并画出其零极点图；（3）判断系统的因果性和稳定性（假设收敛域包含单位圆外区域）。2.（10分）已知序列x(n)={1,2,3}（n=0,1,2），h(n)={2,1}（n=0,1）。（1）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)；（2）计算5点循环卷积yc（3）说明线性卷积与循环卷积的关系。3.（10分）已知序列x(n)=anu(n)（1）求其DTFTX(e（2）若对x(n)进行N点DFT，得到X(k)=DFT[x(n)]，推导X(k)的表达式；（3）分析当N增大时，X(k)对X(e4.（10分）用窗函数法设计一个FIR低通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.2π，阻带截止频率（1）选择合适的窗函数；（2）计算滤波器的最小阶数N；（3）写出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd（4）写出实际滤波器单位脉冲响应h(n)的表达式。五、综合题（10分）某语音信号的最高频率为4kHz，现需设计一个数字系统对其进行滤波，要求保留0~3kHz的成分，抑制5kHz以上的成分。已知采样频率fs（1）确定模拟信号到数字信号的采样间隔T，并验证是否满足奈奎斯特采样定理；（2）将滤波要求转换为数字频率指标（通带截止频率ωp和阻带截止频率ω（3）若选择巴特沃斯IIR滤波器，通带最大衰减αp=1dB，阻带最小衰减αs=40dB，求滤波器的最小阶数N（已知Ωp（4）说明该数字滤波器的因果稳定性条件。答案及解析一、单项选择题1.A解析：离散周期信号需满足ω0=2πk/N（k,N为整数）。选项A中ω0=0.3π=2π×3/20，故周期N=20；选项B中ω0=0.6（非2π整数倍），非周期；选项C为非正弦周期序列，周期为5，但严格来说2.B解析：线性时不变系统对δ(n-n0)的响应为h(n-3.A解析：自相关函数rxx(m)=∑nx(n)x(n+m)。m=1时，n=0,1,24.D解析：x(n)=anu(n)的Z变换为∑5.A解析：时移性质DTFT[x(n-n0)]=e-jω6.D解析：IIR滤波器设计可基于模拟滤波器（如巴特沃斯、切比雪夫），也可直接数字设计（如零极点配置），故D错误。7.B解析：窗函数长度N越大，主瓣宽度≈4π/N（矩形窗）越小，过渡带越窄。8.A解析：DFT频率分辨率为Δω=2π/N。9.B解析：ω=2πfT=2π(f/fs)10.B解析：奈奎斯特采样频率fs二、填空题1.非线性（因含常数项3，不满足齐次性）2.2cosω（DTFT[δ(n-1)+δ(n+1)]=e3.x(n)=10.3(0.8n0.5n4.N+M-1（线性卷积长度为两序列长度之和减1）5.实偶（实偶序列的DTFT为实偶函数）6.等间隔（DFT是DTFT在ωk7.混叠（双线性变换通过预畸变将模拟频率压缩到有限区间，避免混叠）8.8π/N（汉明窗主瓣宽度约为8π/N）9.单位圆内（稳定条件为所有极点在单位圆内）10.存在（收敛域包含单位圆时，DTFT绝对可和，存在）三、判断题1.×（线性系统不一定时不变，如y(n)=nx(n)是线性但时变）2.√（离散周期信号需满足x(n+N)=x(n)，即ω03.√（收敛域包含单位圆时，系统频率响应存在，稳定）4.√（FIR滤波器阶数为N-1，其中N为脉冲响应长度）5.×（主瓣宽度越窄，过渡带越窄）6.×（频率分辨率Δf=fs/N，与f7.√（预畸变调整模拟截止频率，补偿双线性变换的非线性）8.√（因果系统要求n<0时h(n)=0）9.√（奈奎斯特采样定理要求fs10.×（n2可能大于n，如n=-1时x((-1四、计算题1.（1）线性时不变。输入输出关系为线性差分方程，系数与n无关。（2）对差分方程取Z变换：Y(z)=X(z)+0.5z-1X(z)0.3z-1Y(z)，整理得（3）因果性：极点在有限z平面，收敛域为|z|>0.3，包含|z|→∞，故因果。稳定性：极点|-0.3|=0.3<1，收敛域包含单位圆，故稳定。2.（1）线性卷积：n=0:1×2=2n=1:1×1+2×2=1+4=5n=2:2×1+3×2=2+6=8n=3:3×1=3结果y(n)={2,5,8,3}（n=0,1,2,3）。（2）5点循环卷积：将x(n)补零为{1,2,3,0,0}，h(n)补零为{2,1,0,0,0}，循环移位相乘求和：n=0:1×2+2×0+3×0+0×0+0×1=2n=1:1×1+2×2+3×0+0×0+0×0=1+4=5n=2:1×0+2×1+3×2+0×0+0×0=2+6=8n=3:1×0+2×0+3×1+0×2+0×0=3n=4:1×0+2×0+3×0+0×1+0×2=0结果yc（3）当循环卷积长度L≥N+M-1时，循环卷积等于线性卷积；本题L=5，N+M-1=4，故循环卷积前4点与线性卷积相同，第5点为0。3.（1）DTFT：X(ejω)=（2）DFT：X(k)=∑（3）当N增大时，DFT采样点ωk=2πk/N更密集，X(k)对X(ejω)的逼近更精确；但由于x(n)4.（1）阻带衰减要求≥50dB，汉明窗阻带衰减约53dB，满足要求，故选择汉明窗。（2）过渡带宽Δω=ωsωp=0.1π。汉明窗主瓣宽度≈8π/N，令8π/N≈Δω=0.1π，得N≈80（3）理想低通滤波器截止频率ωc=(ωp+ωs（4）实际滤波器h(n)=hd(n