2026年高考数学复习讲义专题07 平面向量的综合应用（最值、范围问题等）（解析版）

专题07平面向量的综合应用(最值、范围问题等)

目录

01析·考情精解

02构·知能框架

03破·题型攻坚

考点平面向量的数量积及其应用

真题动向

知识点1平面向量的数量积的定义

知识点2平面向量数量积的运算

必备知识

知识点3平面向量数量积的坐标

知识点4投影向量

题型1平面向量的数量积

题型2向量垂直与平行的坐标表示

题型3向量的模

题型4向量的夹角

命题预测

题型5向量数量积的范围问题

题型6与模有关的最值范围问题

题型7线性运算中参数范围问题

题型8平面向量在几何中的应用

平面向量的数量积及其应用是核心考点之一，近年来的考查呈现出高频、综合、创新的特点。直

接或间接涉及该知识点的题目年均1-2题，占分约4-9分。

命题轨

填空题：侧重基础运算，如数量积计算、投影向量、夹角余弦值等。

迹透视选择题：常考查向量共线、垂直条件或几何意义。

解答题：综合题居多，需结合几何图形或实际情境。

考点2025年2024年2023年

考点频

平面向量数量积上海卷T2，4分

次总结上海卷T12，4分上海卷T5，4分

及其应用

预计在2026年高考中，高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与

平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档

2026命

题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为4分。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，

题预测在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与

方程、数形结合、转化与化归思想。

考点平面向量数量积及其应用

1,x0

1．（2025·上海·高考真题）已知f(x)0,x0，a、b、c是平面内三个不同的单位向量．若

1,x0

rr

rrrr

f(ab)f(bc)f(ca)0，则|abc|的取值范围是．

【答案】(1,5)

【分析】利用分段函数值分类讨论，可得fab,fbc,fca1,0,1，再根据数量积关系设出a,b,c

坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.

【详解】若fabfbcfca0，则abbcca0，

又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,b,c两两垂直，显然不成立；

故fab,fbc,fca1,0,1.

fab1

不妨设fbc0，则ab0,bc0,ca0，

fca1

不妨设b(1,0),c(0,1)，acos,sin,0,2π，

abcos03

则，则π,2π，

casin02

则abc(1cos,1sin)(1cos)2(1sin)232cos2sin

π

322sin()，

4

3π79

由π,2π，π,π，

2444

π22π

则sin(),，22sin()2,2

4224

故abc(1,5).

故答案为：(1,5).

2．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知kR,a2,5,b6,k，且a//b，则k的值

为．

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】a//b，2k56，解得k15．

故答案为：15．

3．（2023·上海·高考真题）已知a2,3,b1,2，求ab

【答案】4

【分析】

由平面向量数量积的坐标运算求解.

【详解】由题意得ab21324.

故答案为：4

知识点1平面向量的数量积的定义

1.向量的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a

与b的夹角.����

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.

3.平面向量数量积的几何意义

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点

������

A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向

���1�1

量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cosθe.

11

知识点2平�面�向量数量积的运算

1.向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

2.平面向量数量积运算的常用公式

①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

③a2＋b2＝0a＝b＝0.

知识点3平⇒面向量数量积的坐标

1.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

几何表示坐标表示

数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2

模|a|＝|a|＝＋

22

�·�11

�＋�

夹角cosθ＝cosθ＝

＋121＋2

�·�����

2222

|�||�|�1�1�2�2

a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

与的关系≤

|a·b||a||b||a·b||a||b||x1x2＋y1y2|≤＋＋

2222

(�1�1)(�2�2)

2.有关向量夹角的两个结论

①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.

②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.

知识点4投影向量

a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为.

�·��|�·�|

|�||�||�|

题型1平面向量的数量积

1．已知等腰直角VABC的斜边AB长为2，设BCa，CAb，ABc，那么abbcca（）

A．6B．6C．4D．4

【答案】D

【分析】由向量的加法运算和数量积的运算法则可得结果.

2222

【详解】abcabc2ab2bc2ca0，

224

故abbcca4.

2

故选：D.

2．若VABC是边长为5的等边三角形，点D满足BC5CD，则ADAC（）

119

A．B．5C．D．4

22

【答案】A

【分析】由数量积的运算性质即可求解.

11

【详解】因为BC5CD，所以CDBCACAB，

55

161

所以ADACCDACACABACAB，

555

6162161111

所以ADACACABACACABAC55.

55555522

故选：A.

3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB4，AD2，CD1，DAB60，则ACAB（）

A．4B．6C．8D．12

【答案】C

【分析】将AC用AB,AD来表示，再求数量积即可.

11

【详解】由题可知DCAB，所以ACADDCADAB，

44

因ADAB24cos604，

1121

则AC·ABADAB·ABADAB|AB|4168

444

故选：C.

4.如图，N为等边三角形ABC的中线AD上任一点，MB3，MC2，则MNMBMC（）

139

A．B．

22

75

C．D．

22

【答案】D

【分析】利用向量加减法运算法则，将要求的式子拆分成已知向量求解；或者直接建立平面直角坐标系，

用向量的坐标表示，根据已知条件列方程求解

【详解】因为VABC为等边三角形，D是边BC的中点.所以ADBC.故DNCB0.

所以MNMBMCMDDNCBMDCBDNCBMDCB.

1

因为D是△MBC边BC上的中点，所以有MDMBMC.

2

11225

因此MDCBMBMCMBMCMBMC.

222

故选：D

题型2向量垂直与平行的坐标表示

5．已知向量a1,0,b2,3,c1,1，若abc，则（）

A．5B．1C．1D．5

【答案】C

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为a1,0,b2,3,c1,1，

所以ab,02,32,3，

由abcabc0121301，

故选：C

rr

rr

6．已知向量a1,1,b2,，若abab，则（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】B

【分析】根据平面向量的坐标运算先求ab,ab，最后利用数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由题意有ab3,1,ab1,1，又因为abab，

所以abab31112101，

故选：B.

7．已知向量a1,2,b1,1，若ab与ab共线，则（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解.

【详解】ab0,1，ab1,2，

由ab与ab共线，可得02110，

解得1，

故选：A

8．已知a2,1，b1,2，若(a+λb)//(3a-b)，则（）

1122

A．B．C．D．

3333

【答案】B

【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出ab和3ab，再由向量共线的坐标表示列方程求解.

【详解】由a2,1，b1,2，得ab2,12，3ab5,5，

1

若(a+λb)//(3a-b)，则52512，解得.

3

故选：B.

题型3向量的模

9．已知向量a与b的夹角为30，a2,ab3，则ab（）

A．1B．3C．2D．13

【答案】A

22

【分析】先根据已知求得b，再利用aba2abb运算.

3

【详解】ababcos303，故2b3，解得b3，

2

2

22

则ababa2abb42331.

故选：A

10．已知a2，b1，且ab1，则a2b（）

A．3B．4C．23D．12

【答案】C

2

【分析】将a2b两边平方，求得a2b的值，再开平方即可求解.

2

22

【详解】由题可得：a2ba4a·b4b44412，所以a2b23，

故选：C

11．已知a2,b3,ab7，则ab等于（）

A．17B．19C．21D．23

【答案】B

【分析】将题干条件平方处理，得出ab，然后对待求表达式也平方处理即可得解.

2

222

【详解】由ab7，则abab2ab7492ab，

2

22

解得ab3，于是abab2ab49619，

故ab19.

故选：B

12．已知平面向量a与b的夹角为60，a2,0，|b|1，则|a2b|（）

A．3B．23C．4D．12

【答案】B

【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.

22222

【详解】|a2b|a2ba4ab4ba4abcos604b

1

44214123.

2

故选：B

rr

13．已知向量a，b满足a5，b3,4，且a，b的夹角为，则ab（）

3

A．52B．53C．5D．10

【答案】C

【分析】运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可.

【详解】由题意得b32425,

2

22

ab(ab)a2abb

2

2π212

a2abcosb525555.

32

故选：C.

题型4向量的夹角

14．已知向量m,n满足m2n2，且mn6,1，则m,n的夹角为（）

A．45B．60oC．90D．120

【答案】B

2

【分析】通过(mn)，求得mn1，进而可求解.

2

22

【详解】由mn6,1得，(mn)66117，即mn2mn7，

所以412mn7，则mn1，

mn1

o

所以cosm,n，则m,n的夹角为60，

mn2

故选：B．

15．已知向量a1,3，b2,1，则cosa,a2b（）

46523565435

A．B．C．D．

65356535

【答案】A

【分析】根据向量线性运算的坐标表示方法，求出a2b的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求出结

果.

aa2b1531465

【详解】由题意可得a2b5,1，故cosa,a2b.

aa2b102665

故选：A.

16．已知向量a，b满足ab4,6，ab4,2，则cosa,b（）

552525

A．B．C．D．

5555

【答案】B

【分析】由向量线性运算的坐标表示，根据数量积与模长的坐标表示，可得答案.

ab5

【详解】由ab(4,6)，ab(4,2)，得a(4,2)，b(0,4)，所以cosa,b.

|a||b|5

故选：B.

17．已知向量a2，b0,1且ab1，则向量a与b夹角的大小为（）

ππππ

A．B．C．D．

2346

【答案】B

【分析】根据已知，利用平面向量夹角公式求解.

【详解】b0,1，

b1，

ab1，

abcosa,b1，

1

∴cosa,b，则a,b.

23

故选：B

2π

18．已知非零向量a与b不共线，且满足b2a，2ab与b的夹角为，则向量a与向量b的夹角为（）

3

π2ππ5π

A．B．C．D．

3366

【答案】A

【分析】设向量a与向量b的夹角为，设b2a2，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可求

得答案.

【详解】设向量a与向量b的夹角为，0,π,

设b2a2，则ababcos2cos，

2222

则2ab2ab4a4abb8a4ab88cos，

2abb

2π2π

2ab与b的夹角为，所以cos，

332abb

2

2abb14cos4

1

则，即，

22abb2288cos

1

可得2cos23cos10,解得cos1（舍）或cos，

2

π

则．

3

故选：A．

题型5向量数量积的范围问题

19．设a,b均为单位向量，且a4b13,ma2b,n2ab，则mn的最大值是（）

1133

A．B．C．D．

2222

【答案】C

【分析】由向量数量积的运算律和模长的计算求解即可.

2221

【详解】a4b13,|a4b|13，即a8ab16b13，则ab，

2

223

所以mn2a3ab2b3ab.

2

故选：C.

π

20．在菱形ABCD中，AB1，ABC，E为边CD上的动点（包括端点），F为BC的中点，则AEAF

3

的取值范围为（）

1133

A．,1B．0,C．,1D．0,

2244

【答案】D

1

【分析】设DEDC,0,1，由AFABAD，AEABAD，结合数量积的运算律即可求解.

2

【详解】设DEDC,0,1，

则AEADDEADDCABAD，

11111

由F为BC的中点，得AFABACABABADABAD，

22222

π

在菱形ABCD中，AB1，ABC，

3

2π1

所以BAD,|AB||AD|1，ABAD，

32

1221233

所以AEAFABADABADABABADAD0,，

22244

故选：D

π

21．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB2，CD1，DAB，P为腰AD所在线段上任意一点，

4

则PCPB的最小值是（）

3

A．3B．1C．D．2

2

【答案】C

【分析】作DD垂直于AB于点D¢，作CC垂直于AB于点C，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，

利用坐标计算出PCPB的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案.

【详解】

如图，作DD垂直于AB于点D¢，作CC垂直于AB于点C，

π

又AB2，CD1，DAB，

4

1131

则AD，DD，AC，CC，

2222

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

3111

则A0,0，B2,0，C,，D,，又P为腰AD所在直线上任意一点，

2222

1111

则设APAD,，0,1，则点P的坐标为,，

2222

31111112

所以PCPB,2,23，0,1，

2222222

1

又关于的二次函数y223的对称轴为2，

2

1

则y223在0,1上单调递减，

2

3

所以当1，即点P和点D重合时，PCPB取得最小值．

2

3

故PCPB的最小值是．

2

故选：C．

题型6与模有关的最值范围问题

1

22．设单位向量a,b,c，已知ab，则2bac的最小值为（）

2

A．0B．1C．31D．31

【答案】C

【分析】设d2ba，求出d3，再利用不等式dcdc即可求解.

【详解】设d2ba，

1

因a,b为单位向量，ab，

2

2221

则d2ba4b4aba4413，

2

则2bacdcdc31，等号成立时c,d方向相反，

故2bac的最小值为31.

故选：C

r

23．平面向量a，b满足a1，b3，ab0，若acbc，则c最小值为（）

1

A．1B．

2

33

C．D．

32

【答案】B

r

【分析】由题意计算出ba，由acbc整理得bac1，由向量的数量积公式得到c，即可得到

最小值.

【详解】因为a1，b3，ab0，

222

bababa2ab2，

222222

acbc得acbc，即a2accb2bcc，

即12ac32bc，

所以bcac1，即bac1.

1

设ba与c的夹角为，则bacbaccos1，c，

2cos

r

1

∴当cos1时，c最小值为.

2

故选：B.

24．在VABC中，A90，AC3，AB4，P为VABC所在平面内的动点，且PC2.则PAPB的最

大值为（）

A．12B．（2131）

C．2132D．71

【答案】C

【分析】根据题意，得到点P的轨迹为半径为2的圆，取AB的中点D，得到PAPB2PD，求得

PAPB2PD，即可求解.

maxmax

【详解】由P为VABC所在平面内的动点，且PC2，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆，

又由A90，AC3，AB4，

取AB的中点D，则PAPB2PD，

所以PAPB2PD2CD22322222132.

maxmax

故选：C.

rrrrrrr

25．已知平面向量a,b,c满足|a|1,ab1,ac2,bc0，则|bc|的最小值为（）

A．1B．2

C．2D．3

【答案】D

【分析】在平面直角坐标系中设出a,b,c，再根据所给条件列出方程，再运用重要不等式，即可得解.

rrr

【详解】在平面直角坐标系中，设，

xOya(1,0),b(x1,y1),c(x2,y2)

rrrr

Q，

abx11,acx22

rr

，得

bcx1x2y1y2y1y220y1y22.

rr

由，

bc(x1x2,y1y2)(1,y1y2)

rr

得222，

|bc|1(y1y2)1y1y22y1y212y1y22y1y2183

当且仅当y1y22时，等号成立.

因此，|bc|的最小值为3.

故选：D.

26．已知平面向量ma,2,n1,b1,pa,b，若mn，则p的最小值为（）

323525

A．B．C．D．

3355

【答案】D

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算结合模长公式计算即可.

【详解】因为mn，所以mn0，即a2b20，即a22b，

2

22224425

则pab(22b)b5b.

555

故选:D．

27．已知平面直角坐标系xOy中，Acos,sin，Bsin,cos，设C3,4，则CACB的最大值是（）

2

A．102B．5C．8D．12

2

【答案】A

【分析】由向量模的坐标表示计算模后，结合三角函数的辅助角公式求得最大值.

【详解】由已知，CA(cos3,sin4),CB(sin3,cos4)，

CACB(cossin6,sincos8)，

所以CACB(cossin6)2(sincos8)210228cos4sin，

28cos4sin202sin，其中tan7，为锐角，

所以28cos4sin的最大值为202，

所以CACB的最大值为102202102，

故选：A.

uuruuur

28．在平面直角坐标系xOy中，OAOB2，OAOB.已知点C3,4，则CACB的取值范围是（）

A．6,12B．6,14C．8,12D．8,14

【答案】C

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

【分析】结合图形先利用向量数量积的运算律求得|OAOB|2，|CO|5，化简得CACBOAOB2CO，

再借助于向量的三角不等式即可求出CACB的取值范围.

【详解】

如图，因OAOB2，OAOB，

uuuruuur

uuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuuruuur2

则|OAOB|2(OAOB)2OA2OAOBOB4，即|OAOB|2，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

因CACOOA,CBCOOB，又C3,4，则|CO|5，

则CACBOAOB2CO，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

因||OAOB|2|CO|||OAOB2CO||OAOB|2|CO|，

uuuruuuruuuruuuruuruuuur

当且仅当OAOB与CO同方向时，|OAOB2CO||OAOB|2|CO|；

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

当且仅当OAOB与CO反方向时，|OAOB2CO|||OAOB|2|CO||，

即8CACB12.

故选：C.

题型7线性运算中参数范围问题

12

29．已知向量m＝(1,a),n＝(2b－1,3)(a0,b0)，若mn1，则的最小值为（）

ab

7

A．7B．23C．743D．43

2

【答案】B

3

【分析】利用数量积的坐标运算得到ab1，再利用基本不等式中“1”的妙用可得答案.

2

【详解】因为向量m＝(1,a),n＝(2b－1,3)(a0,b0)，

3

若mn1，可得2b13a1，即ab1，

2

123123b3a7b3a7

则ab2223，

ab2ab2ab2ab2

b3a

当且仅当时，即b3a423时，等号成立，

ab

127

所以的最小值为23.

ab2

故选：B

30．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设AMABAF，则的

取值范围是（）

A．1,5B．2,4C．1,3D．1,4

【答案】D

【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到,取值范围，进而的取值范

围，得到答案.

【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知，

当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是1,3；

当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是3,4.

综上，可知的取值范围是1,4.

故选：D.

31．如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点