2023-2024学年广东深圳高级中学九年级(上)10月考数学试题及答案

2023-2024学年广东省深圳高级中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（每题3分，共30分）13分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠023分）一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有个红球.33分）顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足()A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AC＝BD，AC⊥BDD．AB⊥BC43分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC．若S△BDE：S△ADE＝1：2．则S△DOE：B.53分）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为x米，则可列方程为()A33﹣2x）x＝65B32﹣2x）x＝65C31﹣2x）x＝65D32﹣2xx+16563分）已知，如图∠DAB=∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是73分）如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0A(﹣2，2对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°,则第74次旋转后点P的落点坐标为()B2，0）D.83分）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，93分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°,P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为()A.B.D.103分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2=PH•CD；④.其中正确的有个二．填空题（每题3分，共15分）113分）若实数a，b是方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则a+b的值是.123分）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走米报幕（结果精确到0.1米）.133分）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°,对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝度.143分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD=PC，则的值是153分）如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为.三．解答题（共ss分）166分）先化简，再求值：代入求值.,请从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数176分）解方程：187分）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题.（1）这次调查的总人数是人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是°;C类扇形所占的百分比是.（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.198分）2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元.（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？208分）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF.（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形.2110分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边.【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边.①△BCG是三角形.②若AD＝4，则BD=;【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值.2210分）问题背景如图（1已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE＝90°,∠ABC=∠ADE＝30°,AC与DE相交于点F，点D在BC边上求的值；直接写出AD的长.2023-2024学年广东省深圳高级中学九年级（上）月考数学试卷（10一．选择题（每题3分，共30分）13分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0【分析】由关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，知Δ=22﹣4×k×(﹣1）＞0且k≠0，解之可得答案.【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ=22﹣4×k×(﹣10且k≠0，＞﹣故选：B.【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根.23分）一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有个红球.【分析】先求出摸到红球的频率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量.【解答】解：由题意可得，红球的概率为＝70%，则这个口袋中红球的个数：10×70%＝7（个）.故选：A.【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数约等于样本平均数.33分）顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足()A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AC＝BD，AC⊥BDD．AB⊥BC【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.【解答】解：已知：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形.证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，故选：B.【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答.43分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC．若S△BDE：S△ADE＝1：2．则S△DOE：B.【分析】证明BE：EC＝1：2，得出BE：BC＝1：3，证明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，得到∴==,由相似三角形的性质即可解决问题.【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：2，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴==,∴S△DOE：S△AOC2=,故选：B.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC=1：3是解决问题的关键.53分）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为x米，则可列方程为()A33﹣2x）x＝65B32﹣2x）x＝65C31﹣2x）x＝65D32﹣2xx+165【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为（32﹣2x+1而仓库的面积为65平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题.【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，依题意得（33﹣2x）x＝65，故选：A.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系.63分）已知，如图∠DAB=∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是()D.【分析】由∠DAB=∠CAE，可得出∠DAE=∠BAC，结合各选项中的条件，找出无法证出△DAE∽△BAC的选项即可.【解答】解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC.∴△DAE∽△BAC，选项A不符合题意；B.∵∠E=∠C，∠DAE=∠BAC，∴△DAE∽△BAC，选项B不符合题意；C.∵=,∠DAE=∠BAC，无法证出△DAE∽△BAC，∴选项C符合题意；∴△DAE∽△BAC，选项D不符合题意.故选：C.【点评】本题考查了相似三角形的判定，牢记相似三角形的各判定定理是解题的关键.73分）如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0A(﹣2，2对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°,则第74次旋转后点P的落点坐标为()B2，0）【分析】由矩形的性质可得OP＝AP，由中点坐标公式可求点P坐标，由旋转的规律确定第74次旋转后点P的位置，即可求解.【解答】解：∵四边形ABOC是矩形，∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°,∴每4次回到起始位置，∵74÷4＝18•••2，∴第74次旋转后点P的落点在第四象限，且与点P关于原点成中心对称，故选：D.【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化，找出旋转的规律是解题的关键.83分）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，【分析】由等腰三角形的性质可知“a＝b，或a、b中有一个数为4”，当a＝b时，由根的判别式b2﹣4ac=0即可得出关于k的一元一次方程，解方程可求出此时n的值；a、b中有一个数为4时，将x＝4代入到原方程可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出此时的n值，结合三角形的三边关系即可得出结论.【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，当a＝b时，有b2﹣4ac=(﹣6）2﹣4（n+10，解得：n＝8；当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，解得：n＝7，此时三角形的边长为2，4，4；故选：C.【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及三角形三边关系，解题的关键是分两种情况考虑k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出关于未知数k的方程是关键.93分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°,P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为()A.B.D.【分析】由等腰三角形的性质可得PD＝AP•cos30°,即当AP⊥BC时，AP最短，由直角三角形的性质可求解.【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥PP'于D，当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP•cos30°,∵P为BC边上一动点，∴当AP⊥BC时，AP最短，∴当AP⊥BC时，AP＝AC×sin30°=4×=2，此时，PP'＝2PD＝2×AP×cos30°=2×2×=2，故选：B.【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.103分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2=PH•CD；④.其中正确的有个【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可得PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°=30°,求出∠PDC，进而可得∠FDP＝15°,然后利用三角形内角和定理求出∠BHC，进而可得∠DHF=∠BHC=75。，则可得上DHF＝5上FDP，①错误；根据上FDP＝上PBD＝15。，上DFP＝上PCB＝上BPC＝60。即可证明△DFP一△BPH，②正确；根据上DHP＝上CDP＝75。，上DPH＝上CPD证明△DPH一△CPD，根据相似三角形的性质以及PC＝CD即可得到PD2＝PH.CD，③正确；过P作PM丄CD，PN丄BC，设正方形ABCD的边长是4，则正方形ABCD的面积为16，解直角三角形求出PN和PM，然后根据S△BPD＝S△PBC+S△PDC-S△BCD计算出△BPD的面积，进而可判断④错误.【解答】解：“在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，“PC＝BC＝CD，上PCD＝90。-60。＝30。，:，“上DBC＝45。，:上DHF＝上BHC＝75。，:上DHF＝5上FDP，故①错误；“上PBC＝60。，上DBC＝45。，:上PBD＝60。-45。＝15。，:上FDP＝上PBD，“ADⅡBC，:△DFP一△BPH，故②正确；“上PDC＝75。，上DHP＝75。，:上DHP＝上CDP，又“上DPH＝上CPD，:△DPH一△CPD，::PD2＝PH.PC，“PC＝CD，:PD2＝PH•CD，故③正确；如图，过P作PM丄CD，PN丄BC，设正方形ABCD的边长是4，则正方形ABCD的面积为16，∵△BPC为正三角形，=∵S△BPD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD===故选：B.【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形.二．填空题（每题3分，共15分）113分）若实数a，b是方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则a+b的值是4.【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝4即可求解.【解答】解：∵实数a，b是方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，故答案为：4.【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣,x1•x2=.123分）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走3.8米报幕（结果精确到0.1米）.【分析】根据黄金分割的定义，先求出PB＝AB，再根据AP＝AB-PB计算即可得解.【解答】解：“点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，:PB＝AB=×10＝5-5（米）＝故答案为：3.8.【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．也考查了近似数和有效数字.133分）如图，四边形ABCD是菱形，上DAB＝50。，对角线AC，BD相交于点O，DH丄AB于H，连接OH，则上DHO＝25度.【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角求出上OHB＝上OBH，根据两直线平行，内错角相等求出上OBH＝上ODC，然后根据等角的余角相等解答即可.【解答】解：“四边形ABCD是菱形，:OD＝OB，上COD＝90。，“DH丄AB，:OH＝BD＝OB，:上OHB＝上OBH，又“ABⅡCD，:上OBH＝上ODC，在Rt△COD中，上ODC+上DCO＝90。，在Rt△DHB中，上DHO+上OHB＝90。，:上DHO＝上DCO25。，故答案为：25.【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键.143分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD=PC，则的值是.【分析】过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB=PE，再证△PCE≌△PDB，可得BD＝CE，再利用平行线分线段成比例的，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论.【解答】解：如图，过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，∵AC∥PE，∴∠B=∠E，∴∠PDC=∠PCD，∴∠BPD=∠EPC，∴在△PCE和△PDB中，,∴△PCE≌△PDB（SAS∵AC∥PE，【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式.153分）如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为【分析】如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ．首先证明∠EDC＝90°,解直角三角形求出DE，AE，再利用相似三角形的性质解决问题即可.【解答】解：如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ.∵△ABC是等边三角形，∵EJ＝JC，∴△DCJ是等边三角形，∴DJ＝JE＝JC，∴DE＝CD=,∴AE===在△ABE和△CBD中，,∴△ABE≌△BCD（SAS∴∠BAE=∠CBD，∴∠APD=∠BAE+∠ABP=∠CBD+∠ABP＝60°,∴∠APD=∠ACE＝60°,∵∠PAD=∠CAE，===∴△ADE∽△APC，故答案为：√页．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共ss分）166分）先化简，再求值请从﹣21，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝÷[+]＝，∵a21，2时，原分式无意义，＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．176分）解方程：【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x＝x2﹣4﹣x+2，整理得：x2﹣2x﹣2＝0，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，当x＝1+或1﹣时x+2x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x1＝1+，x2＝1﹣.【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.187分）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题.（1）这次调查的总人数是40人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是108°;C类扇形所占的百分比是45%.（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.【分析】（1）用A类学生人数除以所占百分比可得这次调查的总人数；用B类学生人数除以总人数再乘以360°,即可得B类扇形的圆心角；先求出C类学生人数，进而可得C类扇形所占的百分比.（2）画树状图得出所有等可能的结果数和所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案.【解答】解1）这次调查的总人数为6÷15%＝40（人扇形统计图中，B类扇形的圆心角为＝108°,C类的学生人数为40﹣6﹣12﹣4＝18（人∴C类扇形所占的百分比为×100%＝45%.故答案为：40；108；45%.（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为=.【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.198分）2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元.（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程，解出x即可；（2）设售价应降y元，根据题意列出关于y的一元二次方程，解出y即可.【解答】解1）设月平均增长率为x，则：225+225（1+x）+225（1+x）2＝819，解得：x1＝0.2，x2=﹣3.2（舍去∴月平均增长率是20%.），解得：y1＝4，y2＝2（舍去）∴若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低4元.【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出关系式是解题的关键.208分）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF.（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形.【分析】（1）连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到上AEG＝上CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到上HEG＝上FGE，解答即可；（2）证明Rt△HAE纟Rt△GDH，得到上AHE＝上DGH，证明上GHE＝90。，根据正方形的判定定理证明.【解答】证明1）连接GE，“ABⅡCD，:上AEG＝上CGE，“GFⅡHE，:上HEG＝上FGE，:上HEA＝上CGF；（2）“四边形ABCD是正方形，“四边形EFGH是菱形，:HG＝HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，,:Rt△HAE纟Rt△GDH（HL:上AHE＝上DGH，又上DHG+上DGH＝90。，:上DHG+上AHE＝90。，:上GHE＝90。，:菱形EFGH为正方形；【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键.2110分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边.【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边.①△BCG是等腰三角形.②若AD＝4，则BD＝8；【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值.【分析】（1）①根据和谐四边形定义可得BG＝DG＝AD＝BC，进而可以解决问题；②根据和谐四边形定义可得BD＝2AD＝8，进而可以解决问题；（2）当AC＝2CD时，四边形ABCD是和谐四边形，此时AC＝2k，然后根据勾股定理求出k的值；当AC＝2AD时，四边形ABCD是和谐四边形，此时AC＝8，由勾股定理即可求出k的值；（3）由和谐四边形的定义得出AD＝DG，得出∠DAG=∠AGD，同理AC＝AF，得出∠ACF=∠AFC，证出∠ADG=∠CAF得出△ADB∽△ACE，由AB＝CE，得出△ADB≌△ACE，得出AC=AD，作DM⊥AC于M，设AM＝x，则AC＝AD＝4x，由勾股定理得：DM=√压x，CD＝2x，由CD=AB＝4得出方程，解方程即可.【解答】解1）①∵四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边，∴△ADG与△BCG是等腰三角形；故答案为：等腰；8；（2）存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边