宁夏石嘴山市一中2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

宁夏石嘴山市一中2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（）A. B.C. D.2．已知函数在处有极小值，则c的值为（）A.2 B.4C.6 D.2或63．“”是“方程为双曲线方程”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.5．下列抛物线中，以点为焦点的是（）A. B.C. D.6．已知正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为()A. B.C. D.7．已知集合，集合或，是实数集，则（）A. B.C. D.8．直线的斜率是（）A. B.C. D.9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺10．已知，为正实数，且，则的最小值为（）A. B.C. D.111．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（）A.4862 B.4962C.4852 D.495212．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，、分别是的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足：，，则______14．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________；若，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为__________.15．以正方体的对角线的交点为坐标原点O建立右手系的空间直角坐标系，其中，，，则点的坐标为______16．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的图象在点处的切线与直线平行（是自然对数的底数）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO矩形，（1）点B到平面APQ的距离：（2）设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值19．（12分）已知椭圆上的点到椭圆焦点的最大距离为3，最小距离为1（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于，的任意一点，直线，分别交轴于点，，求的值20．（12分）数列{}的首项为，且（1）证明数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；（2）若，求数列{}的前n项和21．（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.22．（10分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：故选：C2、A【解析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.【详解】由题意，，则，所以或.若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意；若c=6，则，函数R上单调递增，不合题意.综上：c=2.故选：A.3、C【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，然后根据“小推大”原则进行判断即可.【详解】因为方程为双曲线方程，所以，所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选：C.4、A【解析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.【详解】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.设，,，由抛物线定义得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以抛物线的方程为.故选：A5、A【解析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.【详解】∵抛物线为，∴可设抛物线方程为，∴即，∴抛物线方程为，故选：A.6、D【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,B,D1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,，,,直线与所成角的余弦值为：.故选D【点睛】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题7、A【解析】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可【详解】，或，故故选：A8、D【解析】把直线方程化为斜截式即得【详解】直线方程的斜截式为，斜率为故选：D9、B【解析】设影长依次成等差数列，公差为，根据题意结合等差数列的通项公式及前项和公式求出首项和公差，即可得出答案.【详解】解：设影长依次成等差数列，公差为，则，前9项之和，即，解得，所以立春的日影长为.故选：B.10、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【详解】可化为，由基本不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：D.11、D【解析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值【详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故选：D12、A【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据的周长为得出，最后根据求出的值，即可求出的离心率.【详解】因为椭圆的面积为，所以长半轴长与短半轴长的乘积，因为的周长为，所以根据椭圆的定义易知，，，，则的离心率，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】令n=n-1代回原式，相减可得，利用累乘法，即可得答案.【详解】因为，所以，两式相减可得，整理得，所以，整理得，又，解得.故答案为：14、①.②.3【解析】由渐近线方程知，结合双曲线参数关系及离心率的定义求双曲线的离心率，由已知可得右焦点为，应用点线距离公式求距离.【详解】由题设，，则，当时，，则双曲线为，故右焦点为，所以右焦点到渐近线的距离为.故答案为：，3.15、【解析】根据已知点的坐标，确定出坐标系即可得【详解】如图，由已知得坐标系如图所示，轴过正方形的对角线交点，轴过中点，轴过中点，因此可知坐标为故答案为：16、【解析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出【详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）求出函数的导函数，根据题意结合导数的几何意义列出方程，解之即可得解；（2）在上恒成立，即在上恒成立，从而，令，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的取值范围【小问1详解】解：，因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，解得；【小问2详解】解：在上恒成立，即在上恒成立，，，令，则，当时，；当时，，函数在上单调递减，有上单调递增，，，即实数的取值范围是18、（1）（2）或【解析】（1）以三棱锥等体积法求点到面距离，思路简单快捷.（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，可以列关于的方程，解之即可.【小问1详解】点О是正四棱锥底面中心，点О是BD的中点，四边形PQDO矩形，，两点到平面APQ的距离相等.正四棱锥中，平面，平面，，，设点B到平面APQ的距离为d，则，即解之得，即点B到平面APQ的距离为【小问2详解】取PC中点N，连接BN、ON、DN，则.平面平面正四棱锥中，，直线平面平面，平面平面，平面平面平面中，点E到直线ON的距离即为点E到平面的距离.中，，点P到直线ON的距离为△中，，设点E到平面的距离为d，则有，则则有，整理得，解之得或19、（1）；（2）-1.【解析】（1）根据椭圆的性质进行求解即可；（2）根据直线的方程，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【小问1详解】由题意得，，，所以，椭圆.【小问2详解】由题意可知，，设，则，直线，直线分别令得，，，.【点睛】关键点睛：运用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解是解题的关键.20、（1）证明见解析，；（2）.【解析】(1)利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义直接判断并求出通项得解.(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法计算作答.【小问1详解】数列{}中，，则，由得：，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则有，即，所以数列{}的通项公式是.【小问2详解】由(1)知，，，则，所以数列{}的前n项和.21、（1）（2）.【解析】（1）根据条件，结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程.（2）当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线，变形后由中点坐标公式可求得斜率，即可求得直线方程.【详解】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，双曲线的标准方程为C：.（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，设，则，化简可得，因为有两个交点，所以化简可得恒成立，所以，因为恰好为线段的中点，则，化简可得，所以直线方程为，即.【点睛】本题考查根据双曲线定义