广东省广州市大同中学2024-2025学年高三三模数学试题（解析版）

第第页广东省广州市大同中学2024-2025学年高三三模数学试题一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R,A=−2,−1,0,1,2A．1,2 B．−1,0,1 C．−2,−1,0 D．−2,−1,0,1【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知，∁U所以A∩∁故选：D.【分析】根据已知条件先求得∁UB，进而求得2．已知i是虚数单位．复数z=21+iA．(1,−1) B．(−1,1) C．(−1,−1) D．(1,1)【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知，z=2(1−所以z在复平面内对应点的坐标是(1,−1).故选：A.【分析】先利用复数的除法运算法则求出z，进而即可求得其对应点的坐标.3．对于非零向量a，b，“a+b=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】若a+b=0，则若a//b，则即“a+b=故答案为：A．

【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而判断出“a+b=4．已知点M(1,2)为抛物线E:y2=2px上一点．则点MA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知，2p=4，解得p=2，所以点M到抛物线E的焦点的距离为1+p故选：B.【分析】将点M坐标代入方程中即可求得p的值，进而抛物线的定义求解即可.5．在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是−5,0，5,0，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，则点MA．x225−C．y225−【答案】A【解析】【解答】解：依题意，设点M(x,y)，

由kAM可得4x2−9y2=100,(x≠±5)，故答案为：A.【分析】设点M(x,y)，由题意结合两点求斜率公式列出方程，从而化简整理得出点M的轨迹方程.6．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【解析】【解答】解：记五名志愿者为a,b,c,d,e，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A4同理：b,c,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5×12=60种.故选：B.【分析】假设其中1人两天都参加公益活动，求出剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动的不同安排方式，再利用分类加法原理即可得解.7．已知正四棱台ABCD−A1B1CA．32 B．3 C．23【答案】C【解析】【解答】解：∵A1B1=1，AB=2，

设正四棱台ABCD−A1B则正四棱台ABCD−A1B1C连接AC,A1C1，分别取AC,A∵OO1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴过A1作A1E∥OO1交AC于E，

则A∴∠A1AE为A∵AE=AO−A1O∴tan∠即AA1与底面ABCD所成角的正切值为故答案为：C.

【分析】根据正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积求出正四棱台的高h，分别取AC,A1C1的中点O,O1，过A18．设函数fx=xlnx−a+bA．1 B．2 C．5 D．2【答案】D【解析】【解答】解：因为fx若a+b≤0，则对任意的x>0，x−a−b>0，则当0<x<1时，fx若0<a+b<1时，当a+b<x<1时，x−a−b>0，lnx<0，此时，f若a+b>1，则当1<x<a+b时，x−a−b<0，lnx>0，此时，f所以，a+b=1，此时，fx=x−1当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，此时，f当x>1时，x−1>0，lnx>0，此时，f所以，对任意的x>0，fx由基本不等式可得5a当且仅当a=ba+b=1时，即当a=b=故5a+5故选：D.【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，判断得到a+b=1，得到fx=x−1lnx，得到对任意的x>0二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．为了解某类植物生长1年之后的高度．随机抽取了n株此类植物．测得它们生长1年之后的高度（单位：cm）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长1年之后高度低于60cm的有20A．n=100B．此次检测植物生长高度在[70,90)之间的有50株C．估计该类植物生长1年后．高度的众数为80D．估计该类植物生长1年后．高度的第85百分位数为90【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、植物生长1年之后高度低于60cm的频率为(0.005+0.005+0.010)×10=0.20，所以n×0.20=20，解得n=100B、此次检测植物生长高度在70,90之间的频率为(0.020+0.030)×10=0.50，所以此次检测植物生长高度在70,90之间的有0.50×100=50株.故选项B正确；C、由图可知这组数据的众数为80+902D、由频率分布直方图可得该类植物生长1年后．高度不低于90cm的植株的频率为0.015×10=0.15，所以高度低于90cm的植株的频率为所以估计该类植物生长1年后．高度的第85百分位数为90cm故选：ABD.【分析】先求高度低于60cm的频率，再由频率，频数，样本容量的关系求得样本容量n可判断选项A；先求出高度在70,9010．已知函数fxA．fx的最小正周期为B．y=fx的图象关于直线x=C．不等式fx>1D．若A,B,C为△ABC的内角，且fA=fB，则【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由题意可得f(x)=2(3A、f(x)的周期T=2B、当x=7π12时，2x−π6C、因为f(x)>1，所以2sin(2x−π所以π6+2kπ所以不等式f(x)>1的解集为kπD、因为fA=fB，所以sin(2A−π6)=sin(2B−π6所以A=B或A+B=2π3，即A=B故选：ACD．【分析】辅助角公式化简可得f(x)=2sin(2x−π6)，利用三角函数的周期公式判断选项A；运用正弦函数图象的对称性即可判断选项B；将不等式f(x)>1化简为sin(2x−π6)>12，结合正弦函数的性质求出x的取值范围，即可判断出选项C；当f11．已知椭圆E的方程为x2A．椭圆E关于x轴对称 B．直线y=x+1被椭圆E截得弦长为2C．椭圆E的长轴长为22 D．椭圆E的离心率为【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、在椭圆E上任取一点Px,y，则x则点P关于x轴的对称点为Qx,−y，因为x故椭圆E不关于x轴对称，故选项A错误；B、设直线y=x+1交椭圆E于点Ax1,联立y=x+1x2+y2+xy=1，消y整理得所以1+12⋅x1−xC、在椭圆E上任取一点Px,y，则x设点P关于直线y=x的对称点My,x，因为y2+x2同理可知，椭圆E关于直线y=−x对称，联立y=xx2+y2所以直线y=x截椭圆y2+x联立y=−xx2+y2所以，直线y=−x截椭圆y2+x因为22>263D、由选项C可知2a=222b=263所以，椭圆E的离心率为e=1−故选：BCD.【分析】若椭圆关于x轴对称，则点(x，y)的对称点(x，-y)也在椭圆上，代入方程计算即可判断选项A；联立直线方程与椭圆方程，求得交点坐标，进而结合弦长公式1+k2x1-三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知等差数列an的前n项和为Sn．且S13=6【答案】6【解析】【解答】解：由题意可知，S13=13a1+78d=13(a故答案为：613【分析】根据题意结合等差数列的前n项和公式列式即可求得a1+6d=613．已知sin(α+β)=23,【答案】13【解析】【解答】解：sin(α+β)=sinsin(α−β)=sin①②相除得sinαcosβ+sinβcosαsinα故答案为：137【分析】根据两角和与差的正弦公式可得sin(α+β)=sinsin(α−β)=sinαcosβ−sinβ14．已知实数x,y满足x2+y2=4【答案】17【解析】【解答】解：因为x2所以2=x所以2x−1相当于圆x2+y2=4上的任一点P如图所示，因为PA+PB所以2x−12+故答案为：17.【分析】根据题意，先将2(x−1)2+y2转化为(x−4)2+四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15．记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin（1）求A；（2）若a=2，2bsinC=c【答案】（1）解：由3sinA−cosA=2，得由于A∈0,π⇒A−（2）解：由题中条件和正弦定理得出2b又因为B，C∈0,π，则sinBsinC≠0，

则C=πsinC=由正弦定理得asin解得b=263故△ABC的周长为2+2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式计算得出sinA−（2）利用已知条件结合正弦定理化简计算得出角B的值，再利用两角和的正弦公式计算出角C的正弦值，再根据正弦定理计算出三角形的边长，从而得出三角形△ABC的周长.（1）由3sinA−cosA=2得，由于A∈0,π⇒A−（2）由题设条件和正弦定理2b又B，C∈0,π，则sinBsinC≠0于是C=πsinC=由正弦定理得asin解得b=263故△ABC的周长为2+216．如图所示，在等腰直角△ABC中，AB=BC，点E､F分别为AB,AC的中点，将△AEF沿EF翻折到△DEF位置.（1）证明：BC⊥平面BDE（2）若AB=BC=4，DB=EB，求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值.【答案】（1）证明：在等腰直角△ABC中，AB=BC，得∠ABC=90°，即BC⊥AB，因为点E、F分别为AB、AC的中点，所以EF∥BC，所以将△AEF沿EF翻折到△DEF位置后，EF⊥ED,EF⊥EB，所以BC⊥DE又因为AB，DE⊂平面BDE,DE∩EB=E，所以BC⊥平面BDE．（2）解：因为BC⊥面BDE，BC⊂平面ABC．所以平面ABC⊥平面BDE，因为E为AB中点，所以AE=BE=DE，

又因为DB=EB．所以△BDE为等边三角形，设EB的中点为O，连接DO，所以DO⊥EB，

又平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE=EB，DO⊂平面BDE，

所以DO⊥平面ABC．过O作OM⊥AB交AC于M．如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，所以D0,0,所以ED=设平面DEF的一个法向量为m=则m⋅ED=y1+3z1设平面DEC的一个法向量为n=x2令z1=-3，则所以cosm所以平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为419【解析】【分析】（1）根据已知条件可知BC⊥AB，而由三角形的中位线性质可得EF∥BC，进而可得EF⊥AB，根据折叠图形的性质可得BC⊥DE，利用线面垂直的判定定理即可证得BC⊥平面（2）建立空间直角坐标系，求出平面DEF与平面DEC的法向量，进而根据空间向量的夹角公式，即可求得平面DEF与平面DEC夹角的余弦值.（1）等腰直角△ABC中，AB=BC，得∠ABC=90°．所以CB⊥AB．点E、F分别为AB、AC的中点，EF∥BC，所以将△AEF沿EF翻折到△DEF位置后，EF⊥ED,EF⊥EB．又ED⊂平面BDE,EB⊂平面BDE,DE∩EB=E．所以EF⊥平面BDE．又EF∥BC，得BC⊥平面（2）由（1）知BC⊥面BDE．又BC⊂平面ABC．所以平面ABC⊥平面BDE，由E为AB中点．故AE=BE=DE．又因为DB=EB．所以△BDE为等边三角形，设EB的中点为O．连接DO．则DO⊥EB．又平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE=EB，DO⊂平面BDE．所以DO⊥平面ABC．过O作OM⊥AB交AC于M．以O为坐标原点．建立如图所示的空间直角坐标系：因为AB=BC=4．得D0,0,所以ED=设平面DEF的一个法向量为m=则m⋅ED=设平面DEC的一个法向量为n=x2取n=所以cosm故平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为41917．已知函数fx（1）当a=4时，求曲线fx在0,f（2）讨论函数fx（3）若fx存在极大值，且极大值不大于−3−ln2【答案】（1）解：当a=4时，fx=lnx+1−4x−16，

而f0=ln1−16=−16，

所以曲线fx在0,f​​​​​​（2）解：解：因为x+1>0，解得x>-1，

所以fx=lnx+1−ax−a2所以当a≤0时，f'x=1x+1当a>0时，令f'x>0，即1x+1−a>0，可得−1<x<−1+1a所以fx在(−1,−1+1a综上所述，当a≤0时，fx在(−1,+∞)上单调递增；

当a>0时，fx在（3）解：由（2）可知当a≤0时，函数无极值，

当a>0时，函数fx在x=−1+极大值为f(−1+1a)=ln(1a令g(a)=a2−a+因为2a2−a+1=2(a−14)因为g(2)=22−2+ln2−2−所以实数a的取值范围是[2,+∞【解析】【分析】（1）根据a的值先求得函数f(x)的解析式，进而对函数进行求导，求得f'0，f0，利用点斜式方程即可求得曲线（2）先求得函数的定义域，进而求导，分a≤0和a>0进行讨论，根据导函数的正负，即可求出函数的单调区间.（3）根据(2)中对函数单调性的讨论情况，即可求得极大值，进而根据已知条件列出不等式a2−a+lna−2−ln2≥0，构造函数，令（1）当a=4时，fx=ln则f0=ln1−16=−16，f'（2）由fx=lnx+1−ax−a2当a≤0时，f'x=1x+1当a>0时，令f'x>0，即1x+1−a>0所以−1<x<−1+1a，由f'所以fx在(−1,−1+1a综上所述：当a≤0时，fx在(−1,+∞)上单调递增；当a>0时，fx在（3）由（2）可知当a≤0时函数无极值点，当a>0时函数在x=−1+1可得f(−1+1a)≤−3−ln2令g(a)=a2−a+因为2a2−a+1=2(a−14)因为g(2)=22−2+ln2−2−所以实数a的取值范围是[2,+∞18．第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为p1,p（1）若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．p1（2）已知1>p方案一：依次派出甲乙丙：方案二：依次派出丙乙甲设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量X,Y．求E(X),E(Y)．并比较它们的大小；（3）初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为a．第三道题答对的概率为b．若该学生获得一等奖的概率为18，设该学生获得二等奖的概率为p．求p【答案】（1）解：设事件A表示该小组获胜．则PA所以该小组初赛胜利的概率为2324（2）解：X的所有可能取值为1，2，3．所以PX=1所以EY的所有可能取值为1，2，3．所以PY=1所以EY所以E=因为1>p1>p2（3）解：由题意可得18=a所以p=a令p=fa所以f'a=2a−14所以当0<a<12时，f'a<0；当12<a<1时．f'a所以fa所以p的最小值为38【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）分别两种方案派出人员数目的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，进而用作差法比较其大小即可；（3）由独立事件的乘法公式结合题意可得b=18a2，进而可得p=a2+14a（1）设事件A表示该小组获胜．则PA所以该小组初赛胜利的概率为2324（2）X的可能取值为1，2，3．则PX=1此时EY的可能取值为1，2，3．则PY