江苏省前黄中学2025学年高三下学期一模适应性考试数学试题（解析版）

第第页江苏省前黄中学2025学年高三下学期一模适应性考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=xx−1<3,x∈Z，A．{−2,−1,0,1,2} B．{−1,0,1}C．{−2,−1,0,1} D．{−2,−1,0}【答案】B【解析】【解答】解：因为x−1<3，

所以−3<x−1<3，

则−2<x<4，

又因为x∈所以A=−1,0,1,2,3，

又因为B=xy=lnx−1则B=xx>1，

又因为∁RB=x故答案为：B.【分析】解绝对值不等式求出集合A，再利用对数型函数求定义域的方法求出集合B，再利用交集和补集的运算法则，从而得出集合A∩∁2．若复数z的实部大于0，且z(z+1)=6−2iA．1−2i B．−1−2i C．−1+2i【答案】A【解析】【解答】解：设z=a+bi,a,b∈R,a>0，

则z=a−bi，

由则a2+b2+a+bi=6−2i，

因此a2所以z=1−2i故答案为：A.【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数乘法运算法则和复数相等的判断方法以及共轭复数的定义，从而得出复数z.3．若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:y23A．(0,32) B．(32,+【答案】B【解析】【解答】解：因为双曲线C:y23又因为直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:y又因为直线l过原点，所以k>3则k的取值范围是(3故答案为：B．【分析】根据双曲线方程得出双曲线的渐近线方程，再利用直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:y23−x4．若a=−2,3A．bB．bC．a在b方向上的投影向量是1D．a【答案】C【解析】【解答】解：因为a=−2,3所以a−b又因为1×0−3×−3=33因为1×−3+3×0=−3≠0，因为a在b方向上的投影向量为：a⋅因为−1×−3+−23故答案为：C.【分析】根据向量平行的坐标表示，则判断选项A；根据向量垂直的坐标表示，则判断出选项B和选项D；根据数量积求投影向量的公式，则判断出选项C，从而找出正确的选项.5．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1A．4093 B．4094 C．4095 D．4096【答案】A【解析】【解答】解：因为数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且满足an+1+an=3⋅2n，

所以an+1-2n+1a故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而证出数列an-2n为等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列{an}的通项公式，再由分组求和的方法和等比数列前n项和公式，进而得出数列{a6．已知长方体ABCD−A1B1C1DA．157 B．2 C．177 【答案】C【解析】【解答】解：取DD1的中点为F，连接因为E是棱C1D1的中点，

由长方体性质，可得EF∥根据长方体性质，则∆D1EF与∆A1B1A所以AF,A所以长方体被平面AB1EF设长方体的各棱长为AB=a,AD=b,AA1=c，

由棱台体积公式，可得：V较大部分的体积为V'所以体积较大部分与体积较小部分的体积之比为V'故答案为：C.

【分析】取DD1的中点为F，连接EF,AF，根据长方体的性质可知平面7．方程cos(π2A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】【解答】解：当x=0时，sin(满足方程cos(π2sinx)=当x=π2时，满足方程cos(π2sinx)=当x=π时，sin不满足方程cos(π2sinx)=当x∈(0，π2由方程cos(π2则cosx+sinx=1⇒sin(x+当x∈(π2,此时sin(π2综上所述，方程cos(π2故答案为：C.

【分析】利用分类讨论思想，先对特殊值0、π2、π进行分析判断，再对x∈(0，π28．已知a>e,b>e，且a(1+A．lna−lnb<1 B．ae<b 【答案】D【解析】【解答】解：因为a>e，b>e，

所以又因为a1+lnb=1+eblna令f(x)=exx当x>1时，f'(x)>0，

所以函数f(x)在所以lna>1+lnb，

则lnab>lne，

由对数函数的单调性，得ab>因为b>e，结合a>eb因为a>eb>e2，故答案为：D.

【分析】由题意结合放缩法可得elnalna>e1+二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（）A．y=sinx与y=−sinx C．y=2x与y=3⋅2x 【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，

将y=sinx的图象向左平移π个单位后得到对于B，易知y=x3在对于y=x3−x，y'=3x2所以，当x<−33或x>3当−33<x<所以不能通过平移由y=x3得到对于C，

将y=2x的图象向左平移log23个单位后得到对于D，将y=lgx的图象向上平移lg3故答案为：ACD.

【分析】利用诱导公式可判断选项A；根据两个函数的单调性不同可判断选项B；利用指数的运算法则和对数的运算法则，则可判断选项C和选项D，从而找出通过平移后能重合的一组函数图象.10．如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为2；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为3．Γ1和Γ2交于P,Q两点，分别过P,Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M,N,S,T，过A．AB=5 B．四边形MNST的面积为C．FS⋅FT=0 D．【答案】C,D【解析】【解答】解：设直线AB与直线l1,l2分别交于G、H，

由题意可知所以GH=MN=5如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则F1,0，直线l1:x=−1

所以抛物线Γ连接PF，由抛物线的定义可知PF=MP，PF=NP，所以MP=52，

所以xP=32所以MT=NS=26，

又因为MN=5连接QF，因为QF=QT=QS，

所以所以∠TFS=∠QFT+∠QFS=∠QTF+∠QFT+∠QFS+∠QSF2=π2根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，设C,D在直线l1,l当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，CD=当C,D与A,B重合时，CD最小，最小值为CD=当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，

因为P3又因为直线CD:y=26x−1，

与抛物线Γ1的方程为y设Cx1,y1,Dx2,y2当点D在抛物线PA，点C在抛物线AQ上时，

设直线CD:x=ty+1，与抛物线Γ1的方程为y2=4x设Cx3,则CD=当t=0时，即当CD⊥AB时，取等号，则此时CD=4当点D在抛物线PA，点C在抛物线QB上时，

根据抛物线的对称性可知，CD∈综上可得，CD∈故答案为：CD.【分析】根据两直线联立求交点的方法和抛物线的定义，则判断出选项A；以A为原点建立平面直角坐标系，从而得到Γ1的方程，进而求出xP的值，再代入方程求出yP的值，从而求出矩形的面积，则判断出选项B；连接QF，由抛物线定义得到QF=QT=QS，从而得到∠QFT=∠QTF，∠QFS=∠QSF，进而推出∠TFS=π2，则判断出选项C；不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，设C,D在直线l1,l2上的射影分别为C1,D1，当点D在抛物线BP、点C在抛物线AQ上时，从而求出CDmin，当D与11．已知数列{an}是公比为qA．若a1+B．若a2=C．若2a3D．若0<a1<1，且【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，因为数列{an}是公比为q若a1+a4=所以1+q解得q=1或q=−1，故A正确；对于B，因为a2若q>0，又因为a1>0，则a2>0，

令当x>2时，f'(x)<0；当0<x<2时，所以，函数f(x)=2lnx−x在(0,2)上单调递增，在所以f(x)max=f(2)=2ln2−2<0，

若q<0，又因为a1>0，则a2<0，

令当x<0时，g'(x)<0，函数∵g(−e−1)=e−1则a2对于C，构造h(x)=ex−x当x>0时，h'(x)>0；当x<0时，所以函数在(−∞,0)上单调递减，在所以h(x)≥h(0)=1，则ex所以2a3=ea1+ea对于D，构造函数k(x)=lnx−(x−1)(x>0)，则当0<x<1时，k'(x)>0；当x>1时，所以函数在(0,1)单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

则k(x)≤k(1)=0，

所以所以a1+a因为0<a1<1，

故答案为：ABD.

【分析】根据等比数列通项列结合方程求解，则判断出选项A；化简已知条件去构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再利用零点存在性定理，则判断出选项B；构造函数，利用函数最值得到不等式，再由不等式求解，则判断出选项C；构造函数，利用函数最值转化为不等式，从而求解判断出选项D，进而找出叙述正确的选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量X∼N(3,σ2)，若P(3≤X≤5)=0.3，则【答案】0.2【解析】【解答】解：由题意，随机变量的分布曲线关于X=3对称，

则PX≤1=P(X≥5)，且所以PX≤1故答案为：0.2.【分析】由题意得出随机变量的分布曲线关于X=3对称，再根据正态分布对应的概率密度函数图象的对称性结合已知条件，从而得出P(X≤1)的值.13．若f(x)=ex−1ex+1+ax【答案】−【解析】【解答】解：因为f(x)=ex−1ex+1+ax在−1,+∞上单调递减，

所以f'(x)≤0在−1,+∞上恒成立，

所以f'(x)=2ex(ex+1)2+a≤0在−1,+∞上恒成立，

所以a≤−2ex(ex+1)2在−1,+∞上恒成立，

令g(x)=−2ex(ex+1)214．如图，已知BC=3，D,E为△ABC边BC上的两点，且满足∠BAD=∠CAE,BD⋅BECD⋅CE=19，则当∠ACB【答案】9【解析】【解答】解：如图，设∠BAD=∠CAE=θ,∠DAE=α，

分别记∆ABD,∆ACE,∆ABE,∆ACD的面积为S△ABD,则S△ABDSS△ABES由①，②两式左右分别相乘，

可得BD⋅BECD⋅CE=AB⋅AD⋅AB⋅AE设AB=x，在∆ABC中，

由余弦定理，得cos∠ACB=因为x>0，

所以8x+9x≥2此时cos∠ACB≥223，

因为0<∠ACB<π此时AC=3AB=924所以S△ABC故答案为：92【分析】利用∠BAD=∠CAE，BD⋅BECD⋅CE=19和三角形的面积公式以及已知条件，则将其化简得出AC=3AB，再利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而得出∠ACB的最大值和此时的三角形边长，再利用三角形的面积公式得出当四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f(x)=3（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）若f(x0)=85【答案】（1）解：因为f(x)=令2x+π6∈[−π+2k所以f(x)的单调递增区间为[−7（2）解：由x0∈[0,π2]，得2所以cos(2x0+π6)=45所以cos=4【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式和辅助角公式，从而化简函数f(x)为余弦型函数，再利用换元法和余弦函数的单调性，从而得出函数f(x)的单调递增区间.（2）由（1）结合已知条件，从而求出cos(2x0（1）f(x)=3令2x+π6∈[−所以f(x)的单调递增区间为[−7（2）由x0∈[0,π2]即cos(2x0+π所以cos=416．已知点A(0,−3),B(0,3)，曲线E上的点M与A,B两点的连线的斜率分别为kAM（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一条直线l与曲线E交于P,Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出1OP【答案】（1）解：设点M的坐标为(x,y)，

则kAM=y+由题意，可得y+3x⋅y−3则曲线E的方程为y2（2）解：（ⅰ）若直线l的斜率存在，设直线l:y=kx+m，由y=kx+my23−x则Δ=64k2m2设Px1,y1，Qx2因为以PQ为直径的圆经过原点O，

所以OP⊥OQ，

则x1所以x1x2+k则1|OP设h为点O到直线l的距离，

则|OP|⋅|OQ|=|PQ|⋅h，

所以1|OP又因为h=|m|1+k2，（ⅱ）若直线l的斜率不存在，则kOP不妨设kOP=1，则xP=yP，所以OP|2=OQ|综上所述，存在这样的直线l与曲线E交于P，Q两点，

以PQ为直径的圆经过坐标原点O，且1|OP【解析】【分析】（1）根据题意和两点求斜率公式，从而化简得出曲线E的方程.（2）若直线l的斜率存在，设直线l:y=kx+m，Px1,y1，Qx2,y2，将直线方程与曲线方程联立，再利用韦达定理结合x1x2+y1y2=0，从而得出12(1+k2)=m2，进而化简得到（1）设点M的坐标为(x,y)，则kAM=y+由题意可得，y+3x⋅进而曲线E的方程为y2（2）（ⅰ）若直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，由y=kx+my23则Δ=64k2设Px1,y1，Q因为以PQ为直径的圆经过原点O，所以OP⊥OQ，则x1即x1x21|OP设h为点O到直线l的距离，则|OP|⋅|OQ|=|PQ|⋅h，所以1|OP又h=|m|1+k（ⅱ）若直线l的斜率不存在，则kOP不妨设kOP=1，则xP=y所以OP|2=综上，存在这样的直线l与曲线E交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O，且1|OP17．如图，三棱台ABC−A1B1C1,AB⊥BC,AC⊥BB1，平面ABB1A1（1）求三棱锥C−A（2）平面A1B1C与平面ABC所成角为α,CC1与平面【答案】（1）解：∵平面ABB1A且平面ABB1A1∩∴BC⊥平面ABB∵BB1⊂平面AB又因为AC⊥BB1,BC∩AC=C,BC,AC⊂∴BB1⊥连接C1B，∵DE//平面BCC1B1,DE⊂平面ABC1，∵AE=2EB，∴AD∴三棱锥C−A1BS1=12×2×3=3∴三棱锥C−A1B（2）解：由题意和（1）得，以B为坐标原点，分别以BA,BC,则A6,0,0则B1设平面A1B1由n⋅B1A1=3x=0n又因为平面ABC的一个法向量为BB1所以cosα=sin又因为α,β∈0,π2，

cos=3又因为α+β∈0,π，

所以【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合线面平行的性质定理证出线线平行，根据向量共线定理和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥C−A（2）利用已知条件和（1），从而建立空间直角坐标系，则得出各点的坐标和向量坐标，得出平面A1B1C的法向量，再结合平面ABC的一个法向量求出角α与β的正余弦值，再利用α,β∈0,（1）由题意，∵平面ABB1A且平面ABB1A1∩∴BC⊥平面ABB∵BB1⊂平面AB又AC⊥BB1,BC∩AC=C,BC,AC⊂∴BB1⊥连接C1B，∵DE//平面BCC1B1,DE⊂平面AB∵AE=2EB，∴∴三棱锥C−A1BS1=1∴其体积为：V=1（2）由题意及（1）得，以B为坐标原点，分别以BA,BC,如图，A6,0,0则B1设平面A1B1由n⋅B1A1平面ABC的一个法向量为BB1所以cosα=sin又因为α,β∈0,π2cos=3又α+β∈0,π，所以18．已知函数f(x)=ln（1）当a=1时，求y=f(x)的单调减区间；（2）若0<a≤13，x∈[3（3）若x>1，恒有f(x)≥2ln2+3【答案】（1）解：令2x−1x−1>0当a=1时，f(x)=ln2x−1x−1f令f'(x)<0，得x∈(0,12)∪(1,32)，（2）证明：因为f'(x)=a−1(2x−1)(x−1)，

当因此y∈[1,3]，1y≥13，

又因为0<a≤13，

所以则f(x)≤f(3因为e32=e⋅所以f(x)≤2ln（3）解：因为f'(x)=a−1当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在当x→+∞时，ln2x−1x−1=ln当a>0时，由f'(x)=0，得记g(x)=2x2−3x+1−则g(x)=0有两个实根，一根小于1，一根大于1，则大于1的根为x0=3+注意到y=(2x−1)(x−1)=2x2−3x+1在(1,+∞)即当1<x<x0时，0<(2x−1)(x−1)<1a，

当所以，当1<x<x0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；

当x>x0时，f'当a=1时，x0=3记h(x)=ln2x−1x−1+x，

则h(x)在(1,因此，当a>1时，x0<当0<a<1时，x0>3综上所述，当a≥1时，f(x)≥2ln2+32恒成立，

所以【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，再根据导数正负判断函数的单调性，从而得出y=f(x)的单调减区间.（2）在题中条件下证明f'(x)<0，f(x)是减函数，则f(x)≤f(32)≤2（3）当a≤0时，由f'(x)<0判断出函数f(x)单调递减，则不等式不可能恒成立，当a>0时，由（2）得出当a=1时，f(32)=2ln2+32，f'(x)=0的大于1的根记为x0，再证明当a>1时，1<x0<32，0<a<1（1）令2x−1x−1>0a=1时，f(x)=lnf'令f'(x)<0，得x∈(0,12)∪(1,3（2）f'(x)=a−1(2x−1)(x−1)，因此y∈[1,3]，1y≥13，又0<a≤13，所以f(x)≤f(3因为e32=从而f(x)≤2ln（3）f'(x)=a−1当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在当x→+∞时，ln2x−1x−1a>0时，由f'(x)=0得记g(x)=2x2−3x+1−则g(x)=0有两个实根，一根小于1，一根大于1，大于1的根为x0=3+注意到y=(2x−1)(x−1)=2x2−3x+1在(1,+即1<x<x0时，0<(2x−1)(x−1)<1a，所以1<x<x0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x>x0时，a=1时，x0=3记h(x)=ln2x−1x−1+x，h(x)在(1,3因此当a>1时，x0<3当0<a<1时，x0>3综上，a≥1时，f(x)≥2ln2+32恒成立，所以19．浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取n次.每次都有12的概率抽中，11.将玩家n次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1，未抽中记作0，形成一个长度为n的仅有01的序列.2.定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1，设它长度为t，那么得分即为t23.序列的得分即为每一段连续的1的得分和.例如：如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中奖，那么序列即为1，0，1，1，1，0，1，得分为12+32+（1）若n=3，清照进行了一次游戏