山东省青岛西海岸新区第一中学2026届数学高二上期末综合测试试题含解析

山东省青岛西海岸新区第一中学2026届数学高二上期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有A.0个 B.1个C.2个 D.3个2．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）A. B.C. D.3．下列结论正确的个数为（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则A.4 B.3C.2 D.14．如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为，的面积为，并向正方形中随机投掷个点，用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率为附表：A. B.C. D.5．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A. B.C. D.6．在中，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形7．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离8．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.9．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）A. B.C. D.与2的大小关系不确定10．若直线与直线平行，则（）A. B.C. D.11．棱长为1的正四面体的表面积是（）A. B.C. D.12．已知p、q是两个命题，若“（￢p）∨q”是假命题，则（）A.p、q都是假命题 B.p、q都是真命题C.p是假命题q是真命题 D.p是真命题q是假命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.14．若＝，则x的值为_______15．设数列满足，则an＝________16．在棱长为2的正方体中，点P是直线上的一个动点，点Q在平面上，则的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.（1）设，，求这个几何体的表面积；（2）设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.18．（12分）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝.（1）求抛物线C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.19．（12分）已知数列中，，.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：（1）求该公司员工年龄的极差和第25百分位数；（2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由；21．（12分）设点是抛物线上异于原点O的一点，过点P作斜率为、的两条直线分别交于、两点（P、A、B三点互不相同）（1）已知点，求的最小值；（2）若，直线AB的斜率是，求的值；（3）若，当时，B点的纵坐标的取值范围22．（10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上（1）经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；（2）设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，所以四点O，Q，P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.2、D【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.故选：D3、D【解析】根据常数函数的导数为0，可判断①；根据幂函数的求导公式，可判断②；根据指数函数以及对数函数的求导公式，可判断③④.【详解】由得：，故①错误；对于，，故，故②正确；对于，则，故③错误；对于，则，故④错误，故选：D4、D【解析】每个点落入中的概率为，设落入中的点的数目为，题意所求概率为故选D5、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，故选：B6、B【解析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此判断出三角形的形状.【详解】由，得，得，由于，所以，所以.故选：B7、B【解析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心故选B考点：直线与圆的位置关系8、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B9、A【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，则由切线的性质可知：，，，所以，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.10、D【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】由于直线与直线平行，则，解得.故选：D.11、D【解析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果【详解】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以，所以可知：正四面体的表面积为，故选：D12、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命题，从而可分析判断各选项【详解】∵“（￢p）∨q”是假命题，∴￢p，q都是假命题，∴p真，q假，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接∵四面体中，，分别在，上，且，∴∴∴.故答案为：14、4或9.【解析】分析：先根据组合数性质得，解方程得结果详解：因为＝，所以因此点睛：组合数性质：15、【解析】先由题意得时，，再作差得，验证时也满足【详解】①当时，；当时，②①②得，当也成立.即故答案为：16、【解析】数形结合分析出的最小值为点到平面的距离，然后利用等体积法求出距离即可.【详解】因为，且平面，平面，所以平面，所以的最小值为点到平面的距离，设到平面的距离为，则，所以，即，解得，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可【小问1详解】上下两个扇形的面积之和为：两个矩形面积之和为：4侧面圆弧段的面积为：故这个几何体的表面积为：【小问2详解】如下图，将直线平移到下底面上为由，且，，可得：面则而G是弧DF的中点，则由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则则直线与直线的夹角为18、（1）x2＝2y；（2）证明见解析【解析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；（2）设直线l的直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行证明即可.【小问1详解】∵点N（t，1）在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝2y；【小问2详解】依题意，设直线l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣2kx﹣2＝0.则x1x2＝﹣2，∴.故k1k2为定值.【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.19、（1）证明见解析，（2）【解析】（1）由，取倒数得到，再利用等差数列的定义求解；（2）由（1）得到，利用错位相减法求解.【小问1详解】证明：由，以及，显然，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以；【小问2详解】由（1）可得，，所以数列的前项和①所以②则由②-①可得：，所以数列的前项和.20、（1）极差为；第25百分位数为（2）事件和相互独立，理由见解析【解析】（1）根据定义直接计算极差和百分位数得到答案.（2）计算得到，，，即，得到答案.【小问1详解】员工年龄的极差为，，故第25百分位数为.【小问2详解】，，，故，故事件和相互独立.21、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根据两点之间的距离公式，结合点坐标满足抛物线，构造关于的函数关系，求其最值即可；（2）根据题意，求得点的坐标，设出的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得点坐标，同理求得点坐标，再利用斜率计算公式求得即可；（3）根据题意，求得点的坐标，利用坐标转化，求得关于的一元二次方程，利用其有两个不相等的实数根，即可求得的取值范围.【小问1详解】因为点在抛物线上，故可得，又，当且仅当时，取得最小值.故的最小值为.【小问2详解】当时，故可得，即点的坐标为；则的直线方程为：，联立抛物线方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故为定值.【小问3详解】当时，可得，此时，因为两点在抛物线上，故可得，，因为，故可得，整理得：，，因为三点不同，故可得，则，即，，此方程可以理解为关于的一元二次方程，因为，故该方程有两个不相等的实数根，，即，故，则，解得或.故点纵坐标的取值范围为.【点睛】本题考察直线与抛物线相交时范围问题，定值问题，解决问题的关键是合理且充分的利用韦达定理，本题计算量较大，属综合困难题.22、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的方程为代入点的坐标