2026届新高考数学三轮冲刺复习分类讨论思想

2026届新高考数学三轮冲刺复习分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.思想概述方法一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.

例1思路分析

设直线方程→斜率不存在，l：x=0→k存在，l：y=kx+3→由圆心到直线l的距离d=1求解.√

解析

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思路分析

an+2-2an=1-(-1)n→n为奇数，{a2n-1}为等比数列；n为偶数，{a2n}为等比数列.√

解析

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解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(-1)n需分奇、偶两种情况，要注意分类讨论，要有理有据、不重不漏.规律方法方法二由图形位置或形状引起的分类讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.

(多选)已知P是圆O：x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线例2思路分析

分类讨论点A的位置(圆内、圆上、圆外)→求||QO|-|QA||或|QA|+|QO|→利用圆锥曲线定义判断形状.√√√当点A在圆外时，如图(1)，(2)所示，设AP的中点为B，过B作AP的垂线交直线OP于Q，连接AQ，则|QP|=|QA|，则||QO|-|QA||=|OP|=2，又|AO|>2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线；解析当点A在圆内(非原点)时，如图(3)所示，此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=2，又|AO|<2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的椭圆；当A在坐标原点时，如图(4)所示，此时B，Q重合，|QO|=1，则此时Q的轨迹为以O为原点，半径为1的圆；解析当点A在圆上时，如图(5)所示，由垂径定理，可知Q与O重合，此时Q的轨迹为点O.批注

点A在x轴上，但没明确是在圆内、圆外，还是圆上，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键.圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.规律方法方法三由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.

例3思路分析

求f'(x)→分a≤1，1<a<e，a≥e讨论求最小值→a的值；

解

解(2)讨论f(x)在[1，e]上的最大值.思路分析

讨论f(x)在［1，e］上的单调性→由单调性求f(x)的最大值.

解

解批注

本题针对闭区间上的最值问题，讨论导数等于零的根分布在所给区间的两侧和区间内，再根据单调性进行求最值.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论.规律方法专题训练

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解析三、填空题9.