2026届新高考数学三轮冲刺复习数形结合思想

2026届新高考数学三轮冲刺复习数形结合思想数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.思想概述方法一利用数形结合求解函数与方程、不等式问题利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.

例1

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解析

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思路分析

作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象→结合图象可知直线y=ax介于切线l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.√由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象，如图所示.由图象可知，函数y=ax的图象是过原点的直线，函数y=|f(x)|在区间(-∞，0]上的解析式为y=x2-2x，求其导数可得y'=2x-2，当x=0时，y'=-2，故y=x2-2x在原点处的切线l的斜率为-2，当直线y=ax介于l与x轴之间时，符合题意，故直线y=ax的斜率a的取值范围是[-2，0].解析方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y=f(x)与y=g(x)图象的位置关系.规律方法方法二利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.

例2

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解析应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.规律方法方法三几何动态问题中的数形结合对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.

例3思路分析

由函数y=xln

x与y=-xln

x的图象可知，点P位于图中阴影部分区域→点P到直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln

x上切线斜率为1的点到直线x-y-1=0的距离的一半→求解即可.

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解析几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.规律方法专题训练一、单项选择题1.(2025·长沙检测)已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为A.2 B.4 C.3 D.1√

解析2.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是A.[-1，1]∪[3，+∞) B.[-3，-1]∪[0，1]C.[-1，0]∪[1，+∞) D.[-1，0]∪[1，3]√因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0.又f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≤0，得-1≤x≤0.解析当x>0时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3].解析

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解析当-1<k≤1时，g(x)恰有2个零点；当k>1时，g(x)恰有3个零点，要使得g(x)恰有2个零点，则满足-1<k≤1，所以实数k的取值范围为(-1，1].解析二、多项选择题9.(2025·昆明模拟)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则A.三项都参加的有1人

B.只参加拔河的有3人C.只参加4人足球的有2人

D.只参加羽毛球的有4人√√根据题意，设A={x|x是参加拔河的同学}，B={x|x是参加4人足球的同学}，C={x|x是参加羽毛球的同学}，则card(A)=8，card(B)=7，card(C)=5，又card(A∩B)=4，card(A∩C)=card(B∩C)=