双曲线及其标准方程高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线及其标准方程双曲线型自然通风冷却塔生活中的双曲线定位导航声音、信号时差测定位

利用声波或电磁波到达两点的时间差来确定点的位置的方法思考：类比椭圆的研究过程，我们应按怎样的路径研究双曲线呢？温故知新方程性质概念背景应用

平面内与两个定点F1，F2的距离的和为常数（大于|F1F2

|）的点的轨迹叫做椭圆.复习：椭圆的定义是什么？温故知新

如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内,取定点F1,F2,以点F1为圆心、线段PA为半径作圆,再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.

信息技术探究

当点P在线段AB上运动时，如果

||PA|-|PB||

<|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，信息技术探究

其交点M的轨迹是椭圆.因为|AB|为定长，记|AB|=2a，探究1：如图，在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？得||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)两圆的交点M的轨迹是什么形状？探究新知由||PA|-|PB||=2a探究新知探究1.1

：当点P在点B的右侧运动时，|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|)点M的轨迹是靠近点F2的一支曲线.探究1.2：当点P在点A的左侧运动时，|MF2|-|MF1|=2a(0<2a<|F1F2|)点M的轨迹是靠近点F1的一支曲线.探究新知||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)探究1：两圆的交点M的轨迹是什么形状？双曲线两支曲线探究新知符号语言：

||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)思考定义中需要注意什么?

我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．形成概念：双曲线的定义

则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.则点M的轨迹是双曲线的一支.

则点M的轨迹是以F1、F2为端点向外的两条射线.则点M的轨迹不存在.(1)定义中去掉绝对值，

定义辨析：改变定义中的条件，点M的轨迹是什么？对称性F1OF2M探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？观察双曲线的几何特征探究新知

xyF1OF2M设M

(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c

>0)，则焦点坐标为F1(-c,0),F2(c

,0).推导方程---①建系设点xyF1OF2M推导方程---②列式化简令b2=c2-a2(b>0)

P={M

|||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)}

①

②xyF1OF2M推导方程---③检验：曲线与方程的等价性令b2=c2-a2(b>0)

P={M

|||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)}

①

②xyF1OF2M思考：你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b

吗？能，此时B的坐标为(0,b

)或(0,-b).推导方程---③检验：曲线与方程的等价性②

焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0)，这里c2=a2+b2．xyOF1F2M双曲线的标准方程F1F2

如图，xyM双曲线的标准方程F(±c,0)

F(0,±c)焦点在x轴上的双曲线

双曲线的标准方程图象方程焦点a,b,c的关系焦点位置曲线椭圆双曲线定义a,b,c关系标准方程焦点在x轴上焦点在x轴上比较椭圆、双曲线的标准方程②双曲线看符号：谁的系数为正，焦点就在哪个轴上.①椭圆看大小：谁的分母大，焦点就在哪个轴上.

思考：焦点位置怎样确定？

已知双曲线的两个焦点分别F1(-5,0),

F2(5,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.1.先用几何的眼光观察：定焦点位置，设方程.2.再用代数的方法解决：求基本量，写方程.例题讲解

求双曲线的标准方程需要注意什么？思考：例1由

2c=10，2a=6

，得

c=5，a=3，因此b2=c2-a2=25-9=16.所以，双曲线的标准方程为

.

例1反思感悟：待定系数法求双曲线的标准方程的步骤确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)设出双曲线的标准方程.求出a，b，c.写出双曲线的标准方程.定位置设方程求参数写方程

已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．P800mBA思考：如何求炮弹爆炸点的轨迹方程？例题讲解

先用几何眼光观察:由题意炮弹爆炸点与A、B两地的距离之差是680m为定值，知炮弹爆炸点的轨迹是靠近B处的双曲线的一支．例2

解：如图,建立平面直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.设炮弹爆炸点P的坐标为

(x,y)

,则PBAxyo因为|PA|-|PB|

=680>0,所以点P的轨迹是双曲线的右支,因此x≥340.所以,炮弹爆炸点的轨迹方程为

.|PA|-|PB|

=340×2=680,即2a=680,a=340.例2思考：作为查勘员的你，如何及时找到炮弹爆炸点前去勘察呢？探究：通过声音、信号时差测定位PBAy

利用两个不同的观测点A

，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P

所在双曲线的方程.

POABxC探究：通过声音、信号时差测定位

如果再增设一个观测点C，利用B，C

(或A，C)两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程.

解这两个方程组成的方程组，就能确定P点的精确位置，这是双曲线的一个重要应用.焦点坐标方程图象(1)知识:双曲线及其标准方程

(2)思想方法：课堂小结定义焦点位置a,b,c的关系||MF1|

-|MF2||=2a

(0<2a<|F1F2|)焦点在x轴上

F(±c,0)

F(0,±c)数学抽象数学运算直观想象逻辑推理数学建模数学抽象数学运算直观想象数学建模逻辑推理数形结合、类比、分类讨论坐标法、待定系数法、自主探究

将