北京市石景山区2025-2026学年第一学期高三年级期末考试试卷数学试卷+答案

石景山区2025-2026学年第一学期高三期末试卷本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|x>-2},则A∩B=(A){0,1,2,3}(B){-1,1,2}(3)已知向量a+b=(1,2),a-b=(-3,0),则a·b=(4)设a,b∈R,则“a²=b²”是“2⁴=2”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(A)a<b<c(B)b<a<c(6)将函的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则(A)g(x)在上单调递增(C)g(x)在上单调递增(D)g(x)在上单调递减(7)某种细胞的分裂速度v(单位：个/秒)与其年龄t(单位：岁)的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数a约为(参考数据：log₂3≈1.585)(8)设抛物线y²=2mx的焦点为F,点P为抛物线上一点，则以PF为直径的圆(A)必过原点(B)必与x轴相切(C)必与y轴相切(D)必与抛物线的准线相切(9)若数列{an}满足a₂=2,且Vm,n∈N⁴,am+n=aman,则a₂+a₄+a₆+…+a₂026=(A)21⁰13-2(10)已知M={(x,)|y=t(x-2√x)+3,0≤t≤1,0≤x≤4}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中的点与点(1,0)的距离，S是M表示的图形的面积，则(A)d≥2,S<4(C)d≤2,S>4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)双曲线的焦距是,渐近线方程是.(12)已知(1+x)⁴=ao+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴,则ao=.;(13)已知α,β∈(0,π),且sina-cosβ=0,sinβ+cosa=0.写出满足条件的一组α,β的值α=,β=(14)如图所示几何体ABCDMN,其中正方形ABCD边长为4,MN//AB,MN=3,且MN到平面ABCD的距离为3,则(15)关于定义域为R的函数f(x),g(x),f(x)是偶函数，且f(x)+g(2-x)=1,③函数f(x)是以6为周期的周期函数；④函数g(x)是以4为周期的周期函数. 其中正确结论的序号是 (16)(本小题13分)在△ABC中，2bcosA+a=2c.条件①:△ABC的面积为条件②:(17)(本小题14分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，,且AD=PD=2QA=2.(I)求证：QB//平面PDC;(Ⅱ)求直线QB与平面CPB所成角的正弦值；(Ⅲ)在棱PD上是否存在一点H,使得平面AHB与平面PBD夹角的余弦值为若存在，试确定点H的位置；若不存在，说明理由.CB(18)(本小题13分)某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，日期步数职工4日6日职工甲职工乙(I)从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于(Ⅱ)从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为X,(Ⅲ)由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大?(结论不要求证(19)(本小题15分)(Ⅱ)点B为椭圆C上一点(不与A,D重合),直线AD,BD分别与直线x=4交于M,N.若△ABD与△MND的面积相等，求直线AB的方程.(20)(本小题15分)设函数f(x)=ex-alnx(a∈R,a≠0).(Ⅲ)当a≥1时，求证：f(x)>0.(21)(本小题15分)设m为正整数，集合S={0,1,2,…,2"-1,集合为奇数},其中V(A)=(vo,Y₁,…,vm-1),其中(I)当m=3,A={0,1,2}时，求V(A);(Ⅱ)当A={a},m≥2时，求证：vk=1的充要条件是a∈Fk;(Ⅲ)当m=2时，求所有使V(A)=(1,1)的集合A.(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)数学试卷答案及评分参考一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)三、解答题(共6小题，共85分)(16)(共13分)解：(I)解法一：因为2bcosA+a=2c,所以化简可得a²+c²-b²-ac=0.所以【6分】解法二：因为2bcosA+a=2c,所以2sinBcosA+sinA=2sinC.所以2sinBcosA+sinA=2sin(A+B).化简得sinA=2sinAcosB.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以因为B∈(0,π),所以【6分】(Ⅱ)选择条件①:△ABC的面积为解得a=2.所以△ABC的周长为5+√7.选择条件②:所以△ABC的周长为5+√7.【13分】(17)(共14分)即QE//BC且QE=BC,C(Ⅱ)由在正方形ABCD中，AD⊥CD,则C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0),Q(2,0,1),因此CB=(2,0,0),CP=(0,-2,2),QB=(0,2,-1),QP=(-2,0,1).令y₁=1,则x₁=0,z₁=1,于是n=(0,1,1).(Ⅲ)存在.设H(0,0,t),t∈[0,2],AH=(-2,0,t),AB=(0,2,0).设平面AHB的法向量为m=(x₂,y₂,z令x₂=1,则y₂=0,,于是 设平面AHB与平面PBD夹角为α,则故点H为靠近D的三等分点.【14分】(18)(共13分)解：(I)根据题中数据，9月1日至9月7日这7天中，9月2日、5日、7日这3天中，甲乙步数都不低于10000,所以这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率为【3分】(Ⅱ)根据题中数据，9月1日和9月5日甲步数小于职工乙步数.所以X的可能取值为0,1,2根据题中数据，所以X的分布列为X012P【10分】(19)(共15分)(Ⅱ)解法一：设直线BD方程为：y=k(x-2),得(4k²+1)x²-16k²x+16k²-4=0.设B到直线AD的距离为d,因为直线AD的方程为D到MN距离为2,解得k=0.所以B(-2,0).所以直线AB的方程为解法二：设B(x₀,yo),则所以直线AB的方程为【15分】(20)(共15分)依题意，可得f'(1)=e-1,又f(1即y=(e-1)x+1.【4分】(Ⅱ)由得,整理可得，x·eax-1=0,令g(x)=x·ex-1,g'(x)=(ax+1)ex,则f(x)有两个极值点等价于g(x)有两个变号零点.所以根据函数零点存在定理可知，g(x)在有一个零点.综上所述，当时，有两个零点，从而f(x)有两个极值点.【10分】设h(x)=xeaˣ-1,则h'(x)=ea+axeaˣ=e×(ax+1)所以h'(x)=e“(ax+1)>0因为h(0)=-1<0,h(1)=e“-1≥e-1>0所以h(x),f'(x),f(x)情况如下x0+一0+极小值1解法二：令m(x)=eax-ax(x>0),所以m(x)>m(0)=1>0,即eax>ax.令n(x)=ax-alnx(x>0),所以ex>ax>alnx,所以eax-alnx>0,即f(x)>0.【15分】(21)(共15分)当k=1时，当k=2时，由于{4,5,6,7}∩{0,1,2}=Ø,故v₂=0.综上所述，V(A)=(1,1,0).(Ⅱ)先证集合Fk中共有2"-1个元素.设,则每个q值对应2k个连续的x值.先证必要性：因为vk=1,所以F∩A≠×,故a∈Fk.再证充分性，若a∈Fk,则F∩A={a}