【数学】三角形内角和定理第4课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用第1节三角形内角和定理第4课时多边形的外角和学习目标

1.结合广场五边形等生活情境,理解多边形外角和的定义,掌握“多边形外角和等于360°”的定理,并能进行证明.2.能运用内角和与外角和的关系解决多边形边数与角度的计算问题，提升逻辑推理能力.3.关联多边形内角和、三角形外角等旧知,通过问题链逐步深入,体会“从特殊到一般”“转化”的数学思想.教学设计的基本环节协作破冰问题构建情境启航教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计情境启航

问题：小刚绕着五边形公园步道跑一圈,跑步方向改变的角度总和是多少？如果换成六边形、八边形，甚至任意多边形,这个角度总和会变吗？我们如何用数学方法证明这个结论？问题1:上节课我们学习了多边形内角和公式,你还记得n边形的内角和是多少吗？五边形的内角和是多少度？(n−2)×180°；五边形内角和540°问题2:三角形的一个外角与它相邻的内角是什么关系？互为邻补角，和为180°问题构建

问题3:小刚在五边形步道逆时针慢跑,每次从一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？请在下图上标出这些角,说说你的发现？方向改变的角是五边形的外角,即内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角.问题构建

问题4:他每跑完一圈,跑步方向改变的角的总和是多少度？你能先猜一猜,再尝试用学过的知识验证吗？根据上节课所学知识,五边形的内角和等于：(5-2)×180°=540°，图中外角∠1，∠2，∠3，∠4，∠5与内角形成5组邻补角，和为180°，内外角之和等于5×180°=900°所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°问题构建

追问:如果步道是六边形、八边形，跑完一圈方向改变的角的总和还是360°吗？请用同样的方法推导六边形和八边形的外角和.六边形内角与外角总和6×180°=1080°内角和：(6−2)×180°=720°外角和：1080°−720°=360°，验证结论.八边形内角与外角总和8×180°=1440°内角和：(8−2)×180°=1080°外角和：1440°−1080°=360°，验证结论.猜想:任意多边形的外角和都等于360°.问题构建

问题5:对于任意n边形（n≥3），你能仿照五边形、六边形、八边形的推导过程,证明它的外角和等于360°吗？1.n边形所有内角与外角的总和：n×180°2.n边形内角和：(n−2)×180°3.外角和=n×180°−(n−2)×180°=360°4.结论：多边形的外角和等于360°（与边数无关）追问：在研究多边形外角和的过程中，你经历了怎样的过程？你有怎样的思考？猜想验证归纳从特殊到一般转化问题构建

例5一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形？定理多边形的外角和等于360°解:设多边形边数为n,内角和(n−2)×180°，外角和360°可列方程：(n−2)×180°=3×360°解得n=8，即八边形.答:这个多边形是八边形.追问：解决本例主要应用了什么数学思想？方程思想协作破冰问题6:如果一个正多边形的每个外角都是45°,这个正多边形是几边形？它的每个内角是多少度？边数n=360°÷45°=8（正八边形）每个内角=180°−45°=135°追问:你还有其他的计算方法吗？1.正多边形的每个内角与外角互为邻补角,因此每个内角135°.2.多边形内角和公式：内角和=(n−2)×180°正多边形的内角和也可以表示为:n×每个内角的度数.可列方程：(n−2)×180°=n×135°3.解得：n=8结论：这个正多边形是正八边形，每个内角是135°.协作破冰多边形内外角综合大挑战（改编课本p12页第15题）课堂小组竞赛版任务单竞赛规则分组:全班分为8个小组,每组6人,取一个响亮的队名.积分:完成基础任务得10分,挑战拓展任务得20分,抢答正确得5分,错误不扣分.胜负：竞赛结束时积分最高的小组获得“几何先锋队”称号，并获得小奖品.第一关：基础任务（必答）题目：在四边形的四个内角中,最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？请写出完整推导过程.协作破冰步骤探究内容你的推导（请写在白板上）1四边形内角和是多少？2最多能有几个钝角？3最多能有几个锐角？(4−2)×180°=360°钝角＞90°,若4个钝角,内角和＞360°,矛盾；3个钝角时,第4个角=360°-3×钝角,可取正数,故最多3个钝角锐角＜90°,对应外角＞90°;若4个锐角，外角和＞360°,矛盾；3个锐角时,第4个外角=360°-3×外角,可取正数,故最多3个锐角完成时间:5分钟,完成后举手示意,老师检查并给分.协作破冰第二关：抢答挑战（共3题）1.三角形中最多能有几个钝角？（抢答,5分）2.五边形中最多能有几个锐角？（抢答,5分）3.一个多边形的外角和是360°,它一定是四边形吗？（抢答,5分）三角形中最多能有几个钝角？答案：最多1个钝角解析：三角形内角和为180°,钝角的定义是大于90°且小于180°.若存在2个钝角,仅这两个角的和就会超过180°,与三角形内角和为180°矛盾.因此,三角形中最多只能有1个钝角.教师示范第二关：抢答挑战（共3题）1.三角形中最多能有几个钝角？（抢答,5分）2.五边形中最多能有几个锐角？（抢答,5分）3.一个多边形的外角和是360°,它一定是四边形吗？（抢答,5分）2.答案：最多3个锐角.解析:任意多边形的外角和恒为360°，锐角的外角是大于90°的角.若五边形有4个锐角,对应的4个外角都大于90°,则这4个外角的和会超过4×90°=360°，与外角和为360°矛盾.若有3个锐角,对应的3个外角各取100°（共300°）,剩下2个外角的和为360°−300°=60°，可以是30°和30°,满足条件.因此,五边形中最多能有3个锐角.教师示范第二关：抢答挑战（共3题）1.三角形中最多能有几个钝角？（抢答,5分）2.五边形中最多能有几个锐角？（抢答,5分）3.一个多边形的外角和是360°,它一定是四边形吗？（抢答,5分）3.答案：不一定.解析:多边形外角和的性质是:任意多边形的外角和都恒为360°与边数无关.例如，三角形、五边形、六边形的外角和都是360°,所以外角和360°的多边形不一定是四边形.第三关：拓展任务（选做,20分）题目:如果一个多边形的内角中,锐角的个数为k,请你推导出k的最大值与多边形边数n的关系?巩固拓展定理任意多边形的外角和为360°内角与外角的关系:若一个内角是锐角,则它的外角为180°−内角,满足90°＜外角＜180°.不等式推导:设多边形有k个锐角,这k个锐角对应的外角均大于90°,其余(n−k)个外角均大于0°,所有外角之和为360°,因此：k×90°＜360°,化简得:k＜4,由于k是正整数,故k≤3.结论:对于任意边数n≥3的多边形,其内角中锐角的个数k的最大值为3,与边数n无关.举例验证：三角形:最多3个锐角（如等边三角形）.四边形:最多3个锐角.五边形:最多3个锐角.十边形:最多3个锐角。这是因为如果有4个或更多锐角,对应的4个外角之和就会超过4×90°=360°，与外角和为360°矛盾.巩固拓展积分表小组名称基础任务抢答得分拓展任务总积分🏅颁奖环节竞赛结束后,为积分最高的小组颁发“几何先锋队”奖状,并赠送几何尺套装.问题7:如果一个多边形的内角和是外角和的k倍（k为正整数），你能写出边数n与k的关系式吗？(n−2)×180°=k×360°，化简得n=2k+2当堂检测第1题图

A

当堂检测

第2题图当堂检测3.

当堂检测（2）请用文字描述上述关系式.解：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.

反思总结1.多边形内角和与外角和的核心区别是什么？分别适合解决