【数学】三角形内角和定理第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用第1节三角形内角和定理第1课时三角形的外角学习目标

1.能准确识别三角形的外角,并画出三角形的所有外角.2.理解三角形外角的两个推论,并能结合三角形内角和定理完成证明.3.会运用三角形外角的推论，解决角的数量关系证明、平行关系判定等简单几何问题.教学设计的基本环节协作破冰问题构建情境启航教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计情境启航

问题：观察上面美丽的图案，能让你产生哪些思考？问题构建

问题1:图中的∠1和∠2满足怎样的关系？你的依据是什么？位置关系：相邻数量关系：互补依据是平角的定义，∠1和∠2是一对邻补角.追问1:观察右边的图形，你能否找到和问题1中类似的角？∠1和∠4，相邻且和为180°.追问2:我们知道∠4是△ABC的一个内角，从三角形的角度观察，对∠1的命名你有怎样的猜想？∠1是∠4的外侧的角，且与∠4具有互补关系问题构建

追问3:再次观察这2组角，说说它们有怎样的区别与联系？从数量关系来着：两组图形中的两个角和都是180°从位置来看：左图中∠1与∠2邻补角的定义只针对两条相交直线；右图中的∠1与∠4必须在三角形条件下，两个的位置有区别，一个在三角形内部，另一个在三角形外部.问题构建

问题2：如图,∠1是△ABC的一个外角.你能在图中画出△ABC的其他外角吗？△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角.三角形外角的定义三角形三个内角，一共有6个外角.∠4的外角是∠1与∠5；∠2的外角是∠6与∠7；∠3的外角是∠8与∠9.问题构建

问题3:观察下图，∠1与其他角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流.∠1与图中其他角的关系主要有：与∠4的关系：∠1与∠4互为邻补角，即∠1+∠4=180°.与∠2、∠3的关系：∠1等于∠2与∠3的和，即∠1=∠2+∠3.大小关系：∠1大于任何一个与它不相邻的内角，即∠1＞∠2,∠1＞∠3.问题构建

追问：如图，在△ABC中，∠1是∠4的外角，求证：（1）∠1=∠2+∠3（2）∠1＞∠2，∠1＞∠3证明：（1）在△ABC中∵∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和等于180°）∵∠1+∠4=180°（平角的定义）∴∠1=∠2+∠3（2）由（1）得：∠1=∠2+∠3∴∠1＞∠2，∠1＞∠3协作破冰由三角形内角和定理，可以得到推论

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.由此可得推论三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角,已知∠A=50°，∠B=65°,则∠ACD=_____°，不计算即可可判断∠ACD>_____°11565像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫作这个基本事实或定理的推论.协作破冰例2:已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC求证:AD∥BC分析：只要具备什么条件，就能说明AD∥BC？

你还有其他的证明方法吗？协作破冰已知：在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC

协作破冰例3：已知：如图,P是△ABC内一点,连接PB，PC.求证：∠BPC＞∠A.问题4:你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？追问1:你遇到的困难是什么？三角形外角推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，不能直接使用.困难在于∠BPC和∠A不在同一个三角形中，缺少能关联二者的角的桥梁.教师示范追问2:你能通过添加辅助线,构造出直接使用相关定理的图形吗？延长BP交AC于点D构造外角证明:如图,延长BP交AC于点D,

∵

∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）,∴

∠BPC>∠PDC

(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵

∠PDC是△PDC的一个外角（外角的定义）∴

∠PDC＞∠A

(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴

∠BPC＞∠A你还有别的证明方法吗？教师示范方法二：辅助线:连接AP并延长,交BC于点E证明：在△ABP中,∠BPE是外角（外角的定义）∴∠BPE＞∠BAP(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)在△ACP中,∠CPE是外角（外角的定义）∴∠CPE＞∠CAP(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠BPE+∠CPE＞∠BAP+∠CAP∵∠BPE+∠CPE=∠BPC,∠BAP+∠CAP=∠BAC=∠A∴∠BPC＞∠A巩固拓展如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角,那么∠1,∠2,∠3的和是多少度？∠1+∠2+∠3=360°问题5:观察上面的结论，你有怎样的猜想？三角形的外角和等于360°.追问1:你是怎样计算的？方法一：同一组内角和外角的和是180°，3组共计180°×3=540°，内角和为180°，外角和等于：540°-180°=360°.巩固拓展三角形外角的两个推论是初中几何证明角相等、角的和差关系的关键工具——这是邻补角知识完全无法替代的.方法2：每一个外角都等于不相邻两内角的和，三个外角之和等于一组内角和的两倍.如右图：∵∠1=∠A+∠C∠2=∠A+∠B∠3=∠B+∠C∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠C+∠A+∠B+∠B+∠C=2(∠A+∠B+∠C)=2×180°=360°当堂检测

C

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反思总结1.推导三角形外角推论的过程中,我们用到了哪些已学的旧知识？这些旧知识是如何帮我们得出新结论的？2.三角形外角的两个推论,分别能帮我们