2026年北师大版数学九年级下册期中质量检测卷（附答案解析）

2026年北师大版数学九年级下册期中质量检测卷（附答案解析）注意事项：1.本试卷满分120分，考试时间120分钟。其中选择题30分、填空题15分、解答题75分。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔将准考证号对应信息点涂黑。3.所有答案均需写在答题卡指定区域内，在试卷、草稿纸上答题无效；选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔书写，字迹工整、卷面整洁。4.答题时不得使用涂改液、修正带等工具，如需修改，选择题用橡皮擦干净后重新填涂，非选择题应先划掉错误答案，再书写正确答案；严禁抄袭、套作。5.本试卷考查范围为北师大版数学九年级下册期中前核心知识点（反比例函数、相似三角形、三角函数初步等），答题时需紧扣数学概念、定理，规范书写解题步骤，几何题需注明推理依据，计算题需写出必要的演算过程。6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意）1.下列函数中，属于反比例函数的是（）A.y=3xB.y=3x+1C.y=3/xD.y=3x²2.若反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，-3），则k的值为（）A.6B.-6C.3/2D.-3/23.下列各组线段中，能构成相似三角形的是（）A.2cm，3cm与4cm，5cmB.3cm，4cm与6cm，8cmC.1cm，2cm与2cm，3cmD.5cm，10cm与15cm，20cm4.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD/AB=2/3，DE=4，则BC的长为（）（图形略：△ABC中，D在AB上，E在AC上，DE∥BC）A.6B.8C.10D.125.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=3/5，BC=6，则AB的长为（）A.8B.10C.12D.156.反比例函数y=k/x（k<0）的图象位于（）A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限7.如图，两个相似三角形的相似比为1:2，若较小三角形的面积为3，则较大三角形的面积为（）（图形略：两个相似的锐角三角形，标注相似比1:2）A.6B.9C.12D.188.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=4/3，AC=6，则BC的长为（）A.4B.6C.8D.109.下列说法中，正确的是（）A.相似三角形的对应边相等B.反比例函数的图象一定经过原点C.锐角三角函数值随角度的增大而增大D.相似三角形的周长比等于相似比10.如图，反比例函数y=4/x的图象上有两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），若x₁<0<x₂，则下列结论正确的是（）（图形略：反比例函数y=4/x的图象，A在第二象限，B在第一象限）A.y₁>0>y₂B.y₂>0>y₁C.y₁>y₂>0D.y₂>y₁>0二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.若反比例函数y=(m-2)/x的图象在第一、三象限，则m的取值范围是______。12.如图，在△ABC中，∠A=∠DCE，若AB=4，BC=5，CD=2，则CE的长为______。（图形略：△ABC与△DCE，∠A=∠DCE，对应边成比例）13.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=3/5，AB=10，则AC的长为______。14.已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为______。15.如图，反比例函数y=k/x的图象经过点A（1，2），过点A作AB⊥x轴于点B，则△AOB的面积为______。（图形略：直角坐标系中，A（1，2），AB⊥x轴于B，O为原点）三、解答题（本题共8小题，第16-19题每小题8分，第20-21题每小题9分，第22-23题每小题10分，共75分。要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16.（8分）计算：（1）sin30°+cos60°-tan45°；（2）2sin60°+√3cos30°。17.（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=4，求AC的长。（图形略：△ABC中，D在AB上，E在AC上，DE∥BC，标注AD=2，DB=3，AE=4）18.（8分）已知反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象经过点（-3，4），求：（1）该反比例函数的解析式；（2）该函数图象经过的另一个整点（横、纵坐标均为整数的点）。19.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求sinA、cosA和tanA的值。（图形略：Rt△ABC，∠C=90°，标注AC=8，BC=6）20.（9分）如图，求证：两角分别相等的两个三角形相似（写出已知、求证，并证明）。（图形略：△ABC和△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E）21.（9分）某反比例函数的图象经过点（2，-1），且与一次函数y=-x+1的图象相交于A、B两点，求A、B两点的坐标。22.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BD=2，DC=3，过点D作DE∥AB交AC于点E，求AE/EC的值及DE的长。（图形略：△ABC中，AB=AC，D在BC上，BD=2，DC=3，DE∥AB交AC于E）23.（10分）如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度AB，在塔底B的正前方C处放置一个测角仪，测角仪的高度CD=1.5m，测得塔顶A的仰角为45°，再向古塔方向前进20m到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求古塔的高度AB（结果保留根号）。（图形略：测角仪CD、EF，CD=EF=1.5m，CE=20m，∠ADG=45°，∠AFG=60°，G为A在地面的垂足，BG为塔底到G的距离）参考答案及解析一、选择题（每小题3分，共30分）1.C（解析：反比例函数的定义为y=k/x（k≠0），A是正比例函数，B是一次函数，D是二次函数，故选C）2.B（解析：将点（2，-3）代入y=k/x，得k=2×(-3)=-6，故选B）3.B（解析：相似三角形的判定条件之一是两边对应成比例且夹角相等，B选项中3/6=4/8=1/2，对应边成比例，能构成相似三角形，故选B）4.A（解析：由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，相似比为AD/AB=2/3，故DE/BC=2/3，BC=DE×3/2=4×3/2=6，故选A）5.B（解析：在Rt△ABC中，sinA=BC/AB=3/5，BC=6，故AB=BC÷(3/5)=6×5/3=10，故选B）6.B（解析：反比例函数y=k/x，当k<0时，图象位于第二、四象限，故选B）7.C（解析：相似三角形面积比等于相似比的平方，相似比1:2，面积比1:4，较大三角形面积=3×4=12，故选C）8.C（解析：在Rt△ABC中，tanA=BC/AC=4/3，AC=6，故BC=AC×(4/3)=6×4/3=8，故选C）9.D（解析：A项相似三角形对应边成比例，不一定相等，错误；B项反比例函数图象不经过原点，错误；C项锐角正弦、正切值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，错误；D项相似三角形周长比等于相似比，正确，故选D）10.B（解析：反比例函数y=4/x中k=4>0，第一象限y>0，第二象限y<0，x₁<0<x₂，故y₁<0<y₂，故选B）二、填空题（每小题3分，共15分）11.m>2（解析：反比例函数图象在第一、三象限，需k>0，即m-2>0，解得m>2）12.2.5（解析：由∠A=∠DCE，∠B=∠DEC（对顶角或平行线性质），得△ABC∽△DEC，故AB/DC=BC/CE，4/2=5/CE，CE=2.5）13.8（解析：在Rt△ABC中，cosB=BC/AB=3/5，AB=10，故BC=6，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(100-36)=8）14.18（解析：相似三角形周长比等于相似比，△DEF周长=12×(3/2)=18）15.1（解析：点A（1，2），AB=2，OB=1，△AOB面积=1/2×OB×AB=1/2×1×2=1）三、解答题（共75分）16.（8分）解：（1）sin30°+cos60°-tan45°=1/2+1/2-1=0；（4分）（2）2sin60°+√3cos30°=2×(√3/2)+√3×(√3/2)=√3+3/2；（4分）17.（8分）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行线分线段成比例定理），（2分）∴AD/AB=AE/AC，（3分）AB=AD+DB=2+3=5，AE=4，（4分）即2/5=4/AC，解得AC=10。（8分）18.（8分）解：（1）将点（-3，4）代入y=k/x，得k=-3×4=-12，（3分）∴反比例函数解析式为y=-12/x；（4分）（2）当x=1时，y=-12；x=2时，y=-6；x=4时，y=-3（任选一个），故另一个整点为（1，-12）（答案不唯一）。（8分）19.（8分）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，（1分）由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(64+36)=10，（3分）sinA=BC/AB=6/10=3/5，（5分）cosA=AC/AB=8/10=4/5，（7分）tanA=BC/AC=6/8=3/4。（8分）20.（9分）已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E。（2分）求证：△ABC∽△DEF。（3分）证明：过点D作DG∥AB交EF于点G，（4分）则∠DGE=∠B，又∠B=∠E，∴∠DGE=∠E，DG=DE，（5分）∵DG∥AB，∴△DGF∽△ABC，∴DG/AB=DF/AC=GF/BC，（7分）又∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF（两角对应相等，两三角形相似）。（9分）21.（9分）解：设反比例函数解析式为y=k/x，将点（2，-1）代入，得k=2×(-1)=-2，（2分）∴反比例函数解析式为y=-2/x，（3分）联立一次函数y=-x+1，得方程组：（4分）$\begin{cases}y=-2/x\\y=-x+1\end{cases}$，（5分）解得：x₁=2，y₁=-1；x₂=-1，y₂=2，（8分）∴A（2，-1），B（-1，2）（或反之）。（9分）22.（10分）解：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠B=∠C，（2分）∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B，∴∠EDC=∠C，DE=EC，（4分）又DE∥AB，∴△CDE∽△CBA（平行线分线段成比例定理），（6分）∴CD/CB=CE/CA=DE/AB，（7分）CB=BD+DC=2+3=5，CD=3，设CE=x，CA=AE+x，（8分）则3/5=x/(AE+x)，解得AE/EC=2/3，（9分）设DE=EC=x，AB=AC=AE+EC=2k+3k=5k，由相似比得3/5=x/5k，x=3k，故DE=3k，又AB=5k，可设k=1，DE=3（或用比例直接得DE=3）。（10分）23.（10分）解：设AG=xm，由题意得，FG=BG-CE=BG-20，DG=BG，（2分）在Rt△ADG中，∠ADG=45°，tan45°=AG/DG=1，∴DG=AG=x，即BG=x，（4分）在