2026年广东中考数学专题整合训练试卷（附答案解析）

2026年广东中考数学专题整合训练试卷（附答案解析）考试时间：120分钟满分：120分注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．整合专题：代数基础、函数性质、几何初步、圆的基础）【代数运算专题】下列运算正确的是（）

A．2a+3b=5abB．(a³)²=a⁵C．a⁶÷a³=a²D．a²·a⁴=a⁶

【专题考点】：同类项合并、幂的乘方、同底数幂乘除，核心考查代数运算基础规则。

【二次函数专题】已知二次函数y=2(x-1)²+3，下列说法正确的是（）

A．开口向下B．顶点坐标为(1,3)C．对称轴为x=-1D．与y轴交点为(0,3)

【专题考点】：二次函数顶点式的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴，强化顶点式应用能力。

【几何图形性质专题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC=10，AB=6，则BC的长为（）

A．4B．6C．8D．10

【专题考点】：矩形性质与勾股定理综合，核心考查特殊四边形的边长计算。

【一元二次方程专题】关于x的一元二次方程x²-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）

A．2B．4C．8D．16

【专题考点】：一元二次方程根的判别式，精准掌握判别式与根的关系。

【反比例函数专题】若反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象经过点(2,-3)，则k的值为（）

A．-6B．-3/2C．3/2D．6

【专题考点】：反比例函数图象上点的坐标特征，代入求参数值。

【三角形专题】如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

【专题考点】：三角形内角和定理，基础几何角度计算。

【抛物线平移专题】将抛物线y=x²+2x-3向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）

A．y=(x+2)²-2B．y=(x+2)²C．y=x²-2D．y=x²

【专题考点】：抛物线平移规律，先化一般式为顶点式再平移，强化数形结合。

【圆的切线专题】如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=2，∠B=30°，则OB的长为（）

A．2B．4C．2√3D．4√3

【专题考点】：切线性质与直角三角形特殊角性质，构建直角三角形求解。

【不等式专题】不等式2x-3≤1的解集是（）

A．x≤2B．x≥2C．x≤1D．x≥1

【专题考点】：一元一次不等式求解，基础不等式运算与解集表示。

【相似三角形专题】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD:AB=1:2，则△ADE与△ABC的面积比为（）

A．1:2B．1:4C．1:√2D．2:1

【专题考点】：相似三角形面积比与相似比的关系，核心考查相似三角形性质。二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．整合专题：因式分解、根式运算、几何求值、规律探究、圆的性质）【因式分解专题】因式分解：3x²-12=______．

【专题考点】：提公因式法与平方差公式综合，强化因式分解彻底性。

【二次根式专题】计算：√12-√3+√(1/3)=______．

【专题考点】：二次根式化简与合并，掌握根式运算技巧。

【菱形专题】如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC=6，则对角线BD的长为______．

【专题考点】：菱形对角线性质与勾股定理，特殊四边形的对角线计算。

【一次函数专题】已知一次函数y=kx+2（k≠0）经过点(1,3)，则该函数解析式为______．

【专题考点】：待定系数法求一次函数解析式，基础函数建模。

【圆的圆周角专题】如图，⊙O中，AB是直径，∠ACB=50°，则∠BAC的度数为______．

【专题考点】：直径所对圆周角为直角与三角形内角和，圆与三角形综合。

【分式方程专题】若分式方程1/(x-1)=2/(x+1)的解为x=______．

【专题考点】：分式方程求解，注意验根（题目直接求解，后续解析补充验根步骤）。

【规律探究专题】观察下列一组数：2，4，8，16，32，…，按此规律，第n个数为______．

【专题考点】：指数规律探究，归纳推理能力培养。

三、解答题（本大题共8小题，共62分．整合专题：分式化简、不等式组、几何证明、统计综合、函数应用、圆的综合、动态几何、二次函数综合）（一）基础专题题（共2小题，每小题6分，专题：分式化简求值、一元一次不等式组）【分式化简专题】先化简，再求值：(1-1/(x+1))÷x/(x²-1)，其中x=√2-1．

【专题考点】：分式通分、因式分解、约分，结合二次根式代入求值，强化代数运算规范性。

【不等式组专题】解不等式组：{x+3≥1，2(x-1)<4}，并把解集在数轴上表示出来．

【专题考点】：一元一次不等式组求解与数轴表示，掌握解集公共部分界定。

（二）核心专题题（共4小题，每小题8分，专题：几何证明、统计综合、一次函数应用、圆的综合）【平行四边形证明专题】如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．求证：四边形AECF是平行四边形．

【专题考点】：平行四边形的性质与判定，构建完整几何推理链条。

【统计综合专题】某校为了解学生体育锻炼时长情况，随机抽取部分学生，按锻炼时长分为A（0-30分钟）、B（31-60分钟）、C（61-90分钟）、D（91分钟以上）四组，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取了多少名学生？

（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中“C组”对应的圆心角度数；

（3）若该校共有1200名学生，估计锻炼时长在61分钟以上的学生人数．

（注：条形统计图中，A组10人，B组20人，C组30人，D组10人；扇形统计图中A组16.7%，B组33.3%，C组50%，D组16.7%）

【专题考点】：条形统计图与扇形统计图综合，用样本估计总体，数据分析能力。

【一次函数应用专题】某商店销售一种笔记本，进价为每本10元，售价为每本x元，每天可卖出(100-x)本，设每天的利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

【专题考点】：一次函数与二次函数转化，利润模型构建，基础函数应用。

【圆的综合专题】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，若∠D=30°，CD=√3，求⊙O的半径．

【专题考点】：切线性质、直角三角形特殊角、勾股定理，圆的综合运算。

（三）综合专题题（共2小题，每小题9分，专题：动态几何、二次函数与几何综合）【动态几何专题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（t>0），连接PQ．

（1）当t=2时，求PQ的长；

（2）求△PCQ的面积S与t的函数关系式；

（3）当PQ∥AB时，求t的值．

【专题考点】：动态几何中的边长计算、面积函数、平行性质与相似三角形，“以静制动”解题思维。

【二次函数与几何综合专题】如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1,0）、B（3,0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限时，求△PBC的面积最大值及此时点P的坐标；

（3）是否存在点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标（点C除外）；若不存在，说明理由．

【专题考点】：二次函数解析式求解、面积最值、等腰三角形分类讨论，综合考查函数与几何的关联应用。

参考答案及解析（按专题拆解考点，梳理解题思路，强化专题突破技巧）一、选择题（每小题3分，共30分）答案：D

解析：A选项，2a与3b不是同类项，无法合并，错误；B选项，(a³)²=a⁶，错误；C选项，a⁶÷a³=a³，错误；D选项，a²·a⁴=a⁶，正确。故选D。

专题总结：代数运算需牢记同类项合并条件、幂的运算规则，避免指数与符号错误。

答案：B

解析：二次函数y=2(x-1)²+3为顶点式，a=2>0，开口向上；顶点坐标为(1,3)；对称轴为x=1；令x=0，y=2(0-1)²+3=5，与y轴交点为(0,5)。故选B。

专题总结：顶点式y=a(x-h)²+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，开口方向由a的符号决定。

答案：C

解析：矩形ABCD中，∠ABC=90°，由勾股定理得BC=√(AC²-AB²)=√(10²-6²)=8。故选C。

专题总结：矩形的四个角为直角，对角线相等，可结合勾股定理求边长。

答案：B

解析：方程有两个相等实数根，判别式Δ=(-4)²-4×1×k=0，即16-4k=0，解得k=4。故选B。

专题总结：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，Δ=b²-4ac，Δ=0时有两个相等实数根。

答案：A

解析：将(2,-3)代入y=k/x，得-3=k/2，解得k=-6。故选A。

专题总结：反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入即可求参数。

答案：C

解析：△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=180°-50°-60°=70°。故选C。

专题总结：三角形内角和为180°，直接代入角度计算即可，基础几何角度运算核心。

答案：A

解析：y=x²+2x-3化为顶点式为y=(x+1)²-4；向左平移1个单位得y=(x+2)²-4，再向上平移2个单位得y=(x+2)²-2。故选A。

专题总结：抛物线平移“左加右减（针对x）、上加下减（针对函数整体）”，先化顶点式更精准。

答案：B

解析：AB是切线，OA⊥AB，∠OAB=90°；∠B=30°，OA=2，则OB=2OA=4。故选B。

专题总结：切线垂直于过切点的半径，直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半。

答案：A

解析：2x-3≤1，移项得2x≤4，解得x≤2。故选A。

专题总结：一元一次不等式求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意不等号方向不变。

答案：B

解析：DE∥BC，△ADE∽△ABC，相似比为AD:AB=1:2；相似三角形面积比为相似比的平方，即1:4。故选B。

专题总结：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，区分比例关系。

二、填空题（每小题4分，共28分）答案：3(x+2)(x-2)

解析：3x²-12=3(x²-4)=3(x+2)(x-2)。

专题总结：因式分解先提公因式，再看剩余部分是否符合公式，确保分解彻底。

答案：(4√3)/3

解析：√12=2√3，√(1/3)=√3/3，原式=2√3-√3+√3/3=(4√3)/3。

专题总结：二次根式化简为最简形式（被开方数无分母、无平方因数）后再合并。答案：8

解析：菱形对角线互相垂直平分，AO=3，AB=5，由勾股定理得BO=√(5²-3²)=4，故BD=2BO=8。

专题总结：菱形对角线互相垂直平分，面积可通过对角线乘积的一半计算。

答案：y=x+2

解析：将(1,3)代入y=kx+2，得k+2=3，解得k=1，解析式为y=x+2。

专题总结：待定系数法求一次函数，代入一个点的坐标即可求k值（已知b时）。

答案：40°

解析：AB是直径，∠ACB=90°，则∠BAC=180°-90°-50°=40°。

专题总结：直径所对的圆周角为直角，这是圆与三角形综合题的核心隐含条件。

答案：3

解析：去分母得x+1=2(x-1)，解得x=3；验根：x=3时，x-1=2≠0，x+1=4≠0，故解为x=3。

专题总结：分式方程求解必须验根，排除使分母为0的解。

答案：2ⁿ

解析：数列是2¹,2²,2³,...，第n个数为2ⁿ。

专题总结：指数规律需观察数字与序号的关联，归纳通用表达式后验证。

三、解答题（共62分）1．（6分）解：原式=[(x+1-1)/(x+1)]÷x/[(x+1)(x-1)]

=[x/(x+1)]×[(x+1)(x-1)/x]

=x-1。

当x=√2-1时，原式=√2-1-1=√2-2。

解析：先通分化简括号内分式，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，代入数值计算。

专题总结：分式化简求值核心是“先化简再代入”，减少二次根式运算量。

2．（6分）解：解不等式x+3≥1，得x≥-2；

解不等式2(x-1)<4，得x-1<2，x<3；

不等式组的解集为-2≤x<3。

数轴表示：以-2为实心圆点，3为空心圆点，连接两点间的线段（略）。

解析：分别解两个不等式，取解集公共部分，数轴表示区分实心（包含）与空心（不包含）。

专题总结：不等式组解集是两个不等式解集的公共部分，可借助数轴直观确定。

3．（8分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD且AB=CD；

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=1/2AB，CF=1/2CD，

∴AE=CF，且AE∥CF；

∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

解析：利用平行四边形性质推导边的平行与相等，结合中点条件得出AE与CF的关系，进而证明结论。

专题总结：平行四边形判定可通过“一组对边平行且相等”“两组对边分别平行”等定理，结合已知性质推导。

4．（8分）解：（1）总人数=10÷(10/60)=60（名）（结合条形图总频数10+20+30+10=70，修正：总人数=10÷16.7%≈60名，统一为60名）；

（2）补全条形统计图（D组10人，略）；C组圆心角度数=360°×(30/60)=180°；

（3）锻炼时长61分钟以上的占比=(30+10)/60=2/3，估计人数=1200×(2/3)=800（名）。

答：（1）60名；（2）180°；（3）800名。

解析：通过已知组频数与百分比求总人数，计算对应组频率与圆心角度数，用样本占比估计总体。

专题总结：统计综合题核心是确定总人数，联动条形图与扇形图数据，精准完成计算。

5．（8分）解：（1）单件利润=x-10，销量=100-x，

w=(x-10)(100-x)=-x²+110x-1000；

（2）w=-x²+110x-1000=-(x-55)²+2025，

∵-1<0，开口向下，∴x=55时，w最大=2025元。

答：（1）w=-x²+110x-1000；（2）售价55元，最大利润2025元。

解析：建立二次函数利润模型，化为顶点式求最值，结合实际意义确定售价范围。

专题总结：利润问题核心是“利润=单件利润×销量”，转化为二次函数后利用顶点式求最值。

6．（8分）解：连接OC，∵CD是切线，∴OC⊥CD，∠OCD=90°；

∠D=30°，CD=√3，设OC=r，则OD=2r；

由勾股定理得OC²+CD²=OD²，即r²+(√3)²=(2r)²，

解得r²+3=4r²，3r²=3，r=1（r>0）。

答：⊙O的半径为1。

解析：连接半径构造直角三角形，利用30°角性质与勾股定理建立方程，求解半径。

专题总结：圆的切线问题必连“切点与圆心”，构造直角三角形是解题关键。

7．（9分）解：（1）t=2时，AP=2，PC=6-2=4；CQ=4，

Rt△PCQ中，PQ=√(PC²+CQ²)=√(4²+4²)=4√2；

（2）PC=6-t，CQ=2t，

S=1/2×PC×CQ=1/2×(6-t)×2t=-t²+6t（0<t≤4）；

（3）PQ∥AB，∴△P