2026年广东中考数学综合能力提升试卷（附答案解析）

2026年广东中考数学综合能力提升试卷（附答案解析）考试时间：90分钟满分：120分（核心目标：聚焦中考核心考点与综合题型，强化知识关联、解题技巧与思维拓展，贴合教学实际与课程标准，既夯实基础能力，又突破难点瓶颈，助力学生提升中考应试综合素养与解题得分能力）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。侧重基础知识点的综合应用，梯度设计合理，兼顾速度与准确率考查）1.下列说法正确的是（）A.√8是最简二次根式B.0的倒数是0C.-π是负无理数D.有理数与无理数的和是有理数2.下列整式运算正确的是（）A.(a+2b)²=a²+4b²B.3a³·2a²=6a⁵C.a⁶-a³=a³D.(2a²)³=6a⁶3.已知点P(2,-3)关于x轴对称的点为P₁，关于原点对称的点为P₂，则P₁与P₂的距离为（）A.2B.4C.6D.84.如图，直线l₁∥l₂，△ABC为等边三角形，顶点A落在l₁上，顶点B、C落在l₂上，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A.20°B.30°C.40°D.50°5.关于x的一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定6.反比例函数y=6/x的图象上有两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，若x₁<0<x₂，则下列结论正确的是（）A.y₁>y₂>0B.y₂>0>y₁C.0>y₁>y₂D.y₁<y₂<07.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD∥OC，若∠BOC=80°，则∠ABD的度数为（）A.20°B.30°C.40°D.50°8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=6，则菱形的周长为（）A.10B.20C.24D.409.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点(0,3)，(1,0)，对称轴为x=2，则下列说法错误的是（）A.a=1B.b=-4C.c=3D.当x>2时，y随x增大而减小10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF，则EF的最小值为（）A.1.2B.2.4C.3D.4二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。强化技巧性与综合性，侧重考点迁移与解题方法应用）11.因式分解：x²-5x-6=__________；3x²-12xy+12y²=__________。12.计算：√18-√(1/2)+(√2-1)⁰-tan45°=__________。13.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(-1,2)，且与直线y=3x-1平行，则该函数解析式为__________，与y轴的交点坐标为__________。14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，若AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的周长为__________。已知二次函数y=-x²+4x-2，当0≤x≤3时，y的取值范围是__________。16.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若AB=6，⊙O的半径为5，则切线长PA=__________。17.从1、2、3、4、5五个数中随机抽取两个数，分别作为一个两位数的十位数字和个位数字，则这个两位数是偶数的概率为__________。三、解答题（本大题共8小题，共62分。分层设计基础运算、几何证明、统计应用、函数综合、几何动态题型，全面提升综合解题能力）18.（6分）先化简，再求值：(1+1/(x-1))÷x/(x²-1)，其中x=√2-1。19.（6分）解不等式组：{3(x-2)≤4x-5①；(x-1)/2<(x+1)/3②，并把解集在数轴上表示出来，写出不等式组的整数解。20.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE，求证：AD=BE。21.（8分）为提升学生数学应用能力，某学校对九年级学生数学实践作业完成情况进行调查，随机抽取120名学生，按完成质量分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，统计结果如下表：等级：A、B、C、D；人数：24、48、36、12（1）求本次调查中实践作业完成质量为C等级的频率；（2）估计该校900名九年级学生中，实践作业完成质量为优秀和良好的总人数；（3）若从A、D两个等级的学生中随机抽取2名进行交流，其中A等级有15名男生，D等级有5名男生，求恰好抽到1名A等级学生和1名D等级学生的概率。22.（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作CD⊥AB于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，若AB=10，CD=4，求AE的长。23.（8分）某工厂生产A、B两种型号的数学教具，已知生产1件A型号教具需材料2kg、工时1小时；生产1件B型号教具需材料3kg、工时2小时。现有材料60kg、工时40小时，每件A型号教具可获利30元，每件B型号教具可获利50元。（1）设生产A型号教具x件，B型号教具y件，列出x、y满足的不等式组；（2）求该工厂有几种生产方案，哪种方案获利最大，最大利润是多少。24.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是AB的中点，点F是BC上的动点，连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B落在点B'处，连接AB'、B'C。（1）求AE的长及sin∠ABC的值；（2）当B'C⊥BC时，求BF的长；（3）当点B'落在△ABC的外接圆上时，求BF的长。25.（10分）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-2,0)、B(4,0)、C(0,4)，点P是抛物线上的动点，点Q是抛物线对称轴上的动点。（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）当点P在第一象限时，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）是否存在点Q，使以A、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标（写出3个即可）；若不存在，请说明理由。参考答案及解析（综合能力提升解析）一、选择题1.C解析：A项，√8=2√2，不是最简二次根式；B项，0没有倒数；C项，-π是负无理数，正确；D项，有理数与无理数的和是无理数。解析：本题考查实数的分类、最简二次根式、倒数等基础知识点，侧重概念辨析能力。2.B解析：A项，完全平方公式展开为a²+4ab+4b²，错误；B项，单项式相乘，系数相乘、同底数幂指数相加，正确；C项，a⁶与a³不是同类项，无法合并，错误；D项，积的乘方运算，(2a²)³=8a⁶，错误。解析：考查整式的综合运算，涵盖完全平方、单项式乘除、幂的运算，强化运算规则的应用。3.C解析：P(2,-3)关于x轴对称的P₁(2,3)，关于原点对称的P₂(-2,3)，两点距离为√[(-2-2)²+(3-3)²]=4？修正：距离为|2-(-2)|=4？修正：横坐标差为4，纵坐标相同，距离为4，答案B。解析：考查点的对称坐标求法及两点间距离公式，强化坐标变换与距离计算的综合。4.A解析：过点A作l₂的平行线，利用平行线性质及等边三角形内角为60°，可得∠2=60°-40°=20°。解析：考查平行线性质与等边三角形性质的综合，侧重辅助线构造与角的度数推导。5.A解析：判别式Δ=(2k+1)²-4(k²+k)=4k²+4k+1-4k²-4k=1>0，故方程有两个不相等的实数根。解析：考查一元二次方程根的判别式，通过化简判别式判断根的情况，强化运算与逻辑推理。6.B解析：反比例函数y=6/x图象经过第一、三象限，x₁<0时y₁<0，x₂>0时y₂>0，故y₂>0>y₁。解析：考查反比例函数的图象与性质，结合自变量取值范围判断函数值大小，强化直观想象能力。7.C解析：AD∥OC，∠DAO=∠BOC=80°，OA=OD，∠ADO=∠DAO=80°，∠AOD=20°，∠ABD=∠AOD=10°？修正：∠ABD与∠AOD同对弧AD，∠ABD=1/2∠AOD=10°，答案错误，重新解析：∠BOC=80°，∠AOC=100°，AD∥OC，∠DAO=∠AOC=100°，OA=OD，∠ADO=40°，∠ABD=∠ADO=40°，答案C。解析：考查圆的性质与平行线性质的综合，推导圆周角与圆心角的关系。8.B解析：菱形对角线互相垂直平分，AO=4，BO=3，由勾股定理得AB=5，周长=4×5=20。解析：考查菱形的性质与勾股定理，通过对角线长度求边长，强化几何计算能力。9.D解析：将(0,3)、(1,0)代入解析式，结合对称轴x=-b/(2a)=2，解得a=1，b=-4，c=3，抛物线开口向上，x>2时y随x增大而增大，D错误。解析：考查二次函数的解析式求解与性质，强化待定系数法与函数性质的综合应用。10.B解析：连接CD，四边形CECF是矩形，EF=CD，当CD⊥AB时CD最短，CD=AC×BC/AB=12/5=2.4，故EF最小值为2.4。解析：考查矩形性质与垂线段最短，通过线段转化求动态线段的最值，强化模型构建能力。二、填空题11.(x-6)(x+1)；3(x-2y)²解析：x²-5x-6用十字相乘法分解；3x²-12xy+12y²先提公因式3，再用完全平方公式分解。解析：考查因式分解的多种方法，强化代数式变形能力。3√2/2解析：√18=3√2，√(1/2)=√2/2，(√2-1)⁰=1，tan45°=1，原式=3√2-√2/2+1-1=5√2/2？修正：原式=3√2-√2/2+1-1=5√2/2，答案5√2/2。解析：考查实数的综合运算，涵盖二次根式化简、零次幂、特殊角三角函数值，规范运算步骤。y=3x+5；(0,5)解析：两直线平行斜率相等，k=3，将(-1,2)代入得2=-3+b，b=5，解析式为y=3x+5，与y轴交点为(0,5)。解析：考查一次函数的解析式求解与图象性质，强化平行性质与待定系数法的应用。16解析：AC平分∠BAD，∠BAC=∠DAC，AD∥BC，∠DAC=∠ACB，故∠BAC=∠ACB，AB=BC=3，周长=2×(3+5)=16。解析：考查平行四边形的性质与等腰三角形的判定，通过角平分线性质转化线段，推导边长。-2≤y≤2解析：二次函数顶点式为y=-(x-2)²+2，顶点坐标(2,2)，x=0时y=-2，x=3时y=1，故取值范围为-2≤y≤2。解析：考查二次函数在限定区间内的取值范围，结合顶点式与增减性求解，强化函数性质应用。20/3解析：连接OA、OP，OP垂直平分AB，AD=3，OA=5，OD=4，△OAP∽△ODA，PA/AD=OA/OD，PA=(5×3)/4=15/4？修正：OP=√(OD²+PD²)，通过面积法求PA=20/3，答案20/3。解析：考查切线的性质与相似三角形，通过构造直角三角形求解切线长，强化几何综合计算。2/5解析：从5个数中抽取两个数组成两位数，共20种情况，偶数有8种（12、14、24、32、34、42、52、54），概率=8/20=2/5。解析：考查概率的计算，通过列举法确定符合条件的情况，强化数据分析能力。三、解答题18.解：原式=(x-1+1)/(x-1)×(x²-1)/x=x/(x-1)×(x+1)(x-1)/x=x+1。代入x=√2-1，得原式=√2-1+1=√2。解析：考查分式的化简求值，通过通分、因式分解约分简化运算，代入后精准计算，强化代数式化简能力。19.解：解不等式①：3x-6≤4x-5，x≥-1；解不等式②：3(x-1)<2(x+1)，3x-3<2x+2，x<5。解集为-1≤x<5，整数解为-1、0、1、2、3、4。数轴表示：原点左侧标-1（实心圆点），右侧标5（空心圆点），中间线段连接。解析：考查一元一次不等式组的解法，规范步骤并通过数轴表示解集，强化运算与直观呈现能力。20.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。在△ABD和△BCE中，AB=BC？修正：AB=AC，∠ABD=∠ACB，BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE。解析：考查等腰三角形的性质与全等三角形的判定，通过角的关系构建全等条件，强化几何证明的逻辑严谨性。21.解：（1）C等级频率=36/120=0.3；（2）优秀和良好总人数=900×(24+48)/120=540名；（3）A等级24人，D等级12人，共36人，抽取2人的总情况数C(36,2)，符合条件的情况数C(24,1)×C(12,1)，概率=（24×12）/630=32/70=16/35。解析：考查统计与概率的综合应用，涵盖频率、样本估计总体、概率计算，强化数据处理与分析能力。22.解：连接OC，OC=5，OD=√(OC²-CD²)=3，AD=8，CE∥AB，CD⊥AB，CD⊥CE，CE=2OD=6，AE=√(AD²+DE²)=√(8²+6²)=10？修正：DE=CD=4，AE=√(8²+4²)=√80=4√5，答案4√5。解析：考查圆的性质与勾股定理，通过平行线性质转化线段长度，综合计算求解，强化几何综合解题能力。23.解：（1）不等式组为{2x+3y≤60；x+2y≤40