江西省赣州市四校2026届高三上学期12月联考数学试卷（含答案）

江西省赣州市四校2026届高三上学期12月联考数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．若复数z满足则()A.1 B. C.2 D.2．已知集合,,则()A. B. C. D.3．已知等差数列的前n项和为,若,则使得成立的正整数n的最大值为()A.20 B.21 C.22 D.234．已知，，，则()A. B. C. D.A.若，则必有 B.若，则必有C.若，则必有 D.若，则必有6．已知双曲线的左、右焦点分别为,,焦距为6,离心率为.过点且倾斜角为的直线l与双曲线C交于A,B两点,则()A. B. C. D.7．已知等差数列的前n项和为，且，，则的最大值为()A. B.92 C.91 D.908．已知的内角A,B,C满足,其面积,则的外接圆半径R为()A.2 B. C.4 D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．已知平面向量,则下列说法正确的是()A. B.C.向量与的夹角的余弦值为 D.向量在上的投影向量为10．近年来，随着乡村振兴战略的深入实施，乡村农户借助电商平台的力量，实现了区域内生产、加工、销售一体化，在探索农产品销售与经济发展的新路径上取得了显著成效.某农户通过直播电商模式销售当地特色绿色生态农产品，为了进一步提高销售效益，统计了某种农产品在40天内每天的销售额，绘制频率分布直方图如图所示，则以下结论正确的是()A.B.在40天内，每天的平均销售额约为4.10万元C.在40天内的销售额的分位数约为4.75万元D.若规定每天的销售额不低于3万元为完成销售任务，则某天完成任务的概率约为0.7511．设,且,则下列关系式可能成立的是()A. B. C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知椭圆的左顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,若,则E的离心率为___________________.13．设，若函数在单调递增，则a的取值范围是______.14．正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为________.四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知函数.(1)求的最小正周期及对称中心坐标；(2)已知函数在区间上的最大值为1,最小值为,求m的取值范围.16．（15分）如图,四棱锥的侧面为正三角形,底面为梯形,,平面平面,已知,.(1)证明：平面；(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.17．（15分）现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的，.(1)从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；(2)从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用X表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计X的数学期望.18．（17分）已知抛物线，斜率为的直线l交抛物线于M，N两点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)试探究：抛物线C上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.19．（17分）已知，(1)时，证明：；(2)若对任意的，恒成立，求a的取值范围；(3)证明：对任意的正整数n，总有.

数学答案1．答案：B2．答案：B3．答案：B4．答案：B5．答案：C6．答案：D7．答案：B8．答案：A9．答案：ABD10．答案：ACD11．答案：AC12．答案：13．答案：14．答案：15．答案：(1)最小正周期为,对称中心坐标为,(2)解析：(1)因为,所以的最小正周期,令,,解得,,所以的对称中心的坐标为,；(2)当时,,因函数在区间上的最大值为1,最小值为,则在上的最大值为1,最小值为,因,结合正弦函数图象可知,,得,所以m的取值范围为.16．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)取上的点N,使,则,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面；(2)取中点O,连,因为,所以,因为为正三角形,所以,,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以,,以O为坐标原点,分别为轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,则,,,设为平面的法向量,则,可取,,故直线与平面所成角的正弦值为.17．答案：(1)；(2)解析：（1）不难知，第1台加工零件的次品率为，第2台加工零件的次品率为.记事件A表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第i台车床加工的”，.则.（2）X的可能取值为0，1，2，3，…，10，且X服从二项分布.由（1）知，.，.18．答案：(1)(2)存在，和解析：(1)由在抛物线上，则，解得，因此可得抛物线C的方程为.(2)存在点P在抛物线C上，设点，由直线l的斜率为，且过，则直线l的方程为：，即，联立，可得，解得，或，即可得N点的纵坐标为8，代入，得，即，若，则，即，又，则可得，整理得，，解得，或，或，或，当时，与M重合，舍去，当时，与N重合，舍去，当时，，当时，，综上知，抛物线C上存在点P，为和时，.19．答案：(1)证明见解析(2)(3)证明见解析解析：（1）构造，当时，，.可知，，单调递增；，，单调递减.则，故，即，所以.（2）依题意，设，则，且有，.（i）当，时，显然中，则恒成立；（ii）当，时，，则单调递增，，单调递增，.（i