【数学竞赛】2025年广东省佛山市南海区九年级潜能学生学科核心素养监测数学试题（含答案）

【数学竞赛】2025年广东省佛山市南海区九年级潜能学生学科核心素养监测数学试题（含答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m2A.-3B.3C.-5D.3或-5答案：B解析：因为a、b互为相反数，所以a+b=0；因为c、d互为倒数，所以cd=1；因为m的绝对值为2，所以m2=4，m=±2。当m=2时，m2-cd+a+b2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)A.①②③B.②③④C.③④⑤D.②③⑤答案：C解析：①由抛物线开口向下得a<0，对称轴x=-b2a>0，得b>0，抛物线与y轴交于正半轴，得c>0②当x=-1时，y=ab+c<0，所以b>a+c，故②错误。③当x=2时，y=4a+2b+c>0，故③正确。④由对称轴x=-b2a=1，得a=-b2，把x=-1，y=ab+c<0中的a=-⑤当x=1时，y有最大值a+b+c，当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c>am2+bm+c（3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论中：①BC=BD=AD；②△ABC~△BCD；③S△ABD:SA.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解析：①因为AB=AC，∠A=36∘，所以∠ABC=∠ACB=72∘，因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=36②因为∠C=∠C，∠DBC=∠A=36∘，所以③因为△ABD与△BCD高相同，根据三角形面积公式S=12ah④由△ABC~△BCD得BCAC=DCBC，又BC=AD，所以ADAC4.已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根xA.-154B.-1C.-答案：A解析：由韦达定理得x1+xx1因为方程有两个实数根，所以Δ=(2k+1)2-4(当k=14时，-(k1)5.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处。当△CEB'A.3B.6C.3或6D.3或3答案：C解析：分两种情况讨论：当∠EB'C=90∘时，因为∠AB'由勾股定理得AC=2AB2+BC2=262在Rt△EB'C中，根据勾股定理x当∠B'EC=90∘时，此时B'落在6.如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)，B(-3,0)，以点B为圆心，5为半径作⊙B，交x轴于C、D两点，点P是⊙B上一动点，连接AP，则线段AP的最小值是（）A.3B.4C.5D.6答案：B解析：连接AB，由A(0,4)，B(-3,0)，根据勾股定理得AB=2因为点P是⊙B上一动点，⊙B半径为5，所以AP的最小值为AB5=51=4。7.已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点(2,3)，若x>2，则A.y>3B.y<3C.0<y<3D.y>0答案：C解析：把(2,3)代入y=kx得k=2×3=6，所以反比例函数解析式为当x=2时，y=3，因为k=6>0，在每个象限内y随x的增大而减小，当x>2时，0<y<3。8.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⟂AB于点E。若AB=10，则A.8B.10C.12D.14答案：B解析：因为AD是∠BAC的平分线，∠C=90∘，DE⟂AB，所以CD=DE，又因为AC=BC，所以BC=AE。△DBE的周长为BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10。9.若关于x的不等式组{xa⩾032x>-1有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）A.-2⩽a<-1B.-2<a⩽-1C.-3<a⩽-2D.-3⩽a<-2答案：D解析：解不等式xa⩾0得x⩾a，解不等式32x>-1得x<2，所以不等式组的解集为a⩽x<2。因为不等式组有且只有3个整数解，即-1，0，1，所以-3⩽a<-2。10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，顶点D在反比例函数y=kx（k>0）的图象上，顶点C在反比例函数y=4A.2B.4C.6D.8答案：B解析：设A(a,0)，B(b,0)，因为四边形ABCD是正方形，所以D(a,ba)，C(b,ba)。因为点D在y=kx上，点C在y=4x上，所以k=a(ba)，又因为AB=ba，正方形面积S=(ba)2，由k>0，可得二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.分解因式：a3答案：a(a2解析：a312.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是cm答案：15π解析：圆锥的侧面积公式为S=πrl（其中r为底面半径，l为母线长），所以S=π×3×5=15π(cm13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则答案：2解析：因为AB=AC=2，∠A=36∘，BD平分∠ABC，所以△ABC~△BCD，设AD=x，则DC=2x，由ADAB=BCAC，又BC=BD=AD=x，所以14.若关于x的分式方程xax1-3答案：1或-2解析：方程两边同乘x(x1)得x(xa)-3(x1)=x(x1)，展开得x2移项合并得(a+2)x=3。当a+2=0，即a=-2时，方程无解。当x=0或x=1是增根时，原方程无解。把x=0代入(a+2)x=3，方程不成立；把x=1代入(a+2)x=3，得a+2=3，解得a=1。15.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，答案：25解析：连接CD，因为∠C=90∘，AC=6，BC=8，所以AB=262+82=10，因为D是AB中点，所以CD=AD=BD=5，∠A=∠DCF，又AE=CF，所以△ADE≅△CDF(SAS)设AE=CF=x，则CE=6x，CF=x，EF2=(6x)2+x2=2x216.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，⋯，An在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，⋯，Bn在直线y=233x上，若A1答案：2解析：先求出B1的坐标，因为△A1B1A2是等边三角形，A1(1,0)同理可得B2的横坐标为2×(2+1)，A3(4,0)，B3的横坐标为4×(4+1)，⋯，则Bn的横坐标为2n1(三、解答题（本大题共6小题，共66分）17.（本题满分10分）先化简，再求值：(x+2x2解：\begin{align}&(\frac{x+2}{x(x2)}-\frac{x1}{(x2)^{2}})\div\frac{x4}{x}\\=&[\frac{(x+2)(x2)}{x(x2)^{2}}-\frac{x(x1)}{x(x2)^{2}}]\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{x^{2}-4x^{2}+x}{x(x2)^{2}}\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{x4}{x(x2)^{2}}\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{1}{(x2)^{2}}\end{align}当x=2+22时，原式18.（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⟂AC于点E。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠BAC=60∘，求（1）证明：连接OD，因为OB=OD，所以∠B=∠ODB，又因为AB=AC，所以∠B=∠C，则∠ODB=∠C，所以OD∥AC。因为DE⟂AC，所以DE⟂OD，又OD是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。（2）解：因为AB=AC，∠BAC=60∘，所以△ABC是等边三角形，所以因为AB=2×3=6，所以BC=6，因为AB是⊙O的直径，所以AD⟂BC，BD=DC=3。在Rt△DEC中，sinC=DEDC，因为sin60∘=19.（本题满分12分）某商场销售一种商品，已知这种商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y=-2x+100。设销售这种商品每天的利润为W（元），已知该商品的进价为每件20元。（1）求W与x之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？（3）如果该商场要使每天的销售利润不低于500元，且销售量不低于20件，求销售单价x的取值范围。解：（1）W=(x20)y=(x20)(-2x+100)=-2x（2）W=-2x2+140x2000=-2(x35)2+450，因为-2<0，所以当即当销售单价为35元时，每天的利润最大，最大利润是450元。（3）由W=-2x2+140x2000⩾500，即-2对于方程x2-70x+1250=0，x=70±2490050002=70±102又因为y=-2x+100⩾20，即-2x⩾20100，-2x⩾80，解得x⩽40。综上，25⩽x⩽40。20.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于A(2,4)，（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出不等式kx+b>m（1）解：把A(2,4)代入y=mx得m=2×4=8，所以反比例函数表达式为把B(-4,n)代入y=8x得n=8把A(2,4)，B(-4,-2)代入y=kx+b得{2k+b=4-4k+b=-2，两式相减得6k=6，解得k=1，把k=1代入2k+b=4得2+b=4，解得b=2，所以一次函数表达式为y=x+2。（2）解：设直线y=x+2与y轴交于点C，令x=0，则y=2，所以C(0,2)。S△AOB（3）解：由图象可知，不等式kx+b>mx的解集为-4<x<0或21.（本题满分10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，BD，BD与EF交于点O。（1）求证：OE=OF；（2）若∠ABD=30∘，BD=12，求（1）证明：连接DE，BF，因为AB∥CD，E、F分别是AB、CD的中点，所以DF=12CD，BE=12AB，又AB=CD，所以DF=BE，且（2）解：因为AD=BC，AB∥CD，所以四边形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD=12。因为四边形DEBF是平行四边形，所以EF与BD互相平分，OB=1过点E作EH⟂BD于点H，因为∠ABD=30∘，所以设EH=x，则BE=2x，BH=23x，在Rt△EOH中，OH=OBBH=6-又因为EF=2OE，由∠ABD=30∘，可得OE=3，所以22.（本题满分12分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A(-1,0)，B(3,0)（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E。①当点P在对称轴右侧的抛物线上运动时，是否存在点P，使四边形OCEB的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。②当△BCE是以BC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标。（1）解：设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x3)，把C(0,3)代入得3=a(0+1)(03)，解得a=-1，所以抛物线的表达式为y