5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 课件+视频-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.6.1匀速圆周运动的数学模型学习目标1.经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系.2.掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质.3.依托现实情境，发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.复习回顾从单位圆出发

三角函数的概念角

终边与单位圆的交点为

，则点

是角

终边上异于原点的任意一点，则

，其中r是以点O为圆心以OP为半径圆的半径从特殊到一般圆中

三角函数的概念新课引入我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数刻画.思考：对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面来看一个生活中的实际问题.探索新知数学文化：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，因其省时、省力，环保又经济，至今还在农业生产中得到使用。明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车得工作原理。探索新知结合视频，假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一盛水筒都做逆时针的匀速圆周运动。盛水筒抽象为一个质点P，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒的运动状态吗？探索新知P0Pxyo假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？探索新知因筒车上盛水筒得运动具有周期性吗，可以考虑利用三角函数模型刻画它得运动规律。与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？P0Pxyo探索新知如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过ts后，盛水筒M从点P0运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t．下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型．（小组探究）如图，将筒车抽象为一个几何图形.假定筒车逆时针匀速转动建系研究

函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质．水面探索新知

探索新知匀速圆周运动的数学模型

探索新知问题2

如图，筒车半径为4m，点P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始逆时针转动，OP0与水平面所成角为30°，且每2分钟恰好转动1圈.xy（1）盛水筒M距离水面高度H（单位：m）与时间

t（单位：s）之间函数关系式是().半径为4m→r=4分析：每2分钟恰好转动1圈→ω=OP0与水平面所成角为30°→φ=→h=探索新知问题2

如图，筒车半径为4m，点P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始逆时针转动，OP0与水平面所成角为30°，且每2分钟恰好转动1圈.（2）求筒车转动1分钟时盛水筒M距离水面的高度.分析：（3）求盛水筒M第一次到达最高点所用的时间.分析：（4）求盛水筒M进入水面后至少经过多久转出水面.分析：探索新知思考：用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？实际问题数学问题三角函数模型求解三角函数问题实际问题的解抽象转化引入构建课堂小结用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？求解三角函数问题实际问题的解实际问题数学问题三角函数模型抽象转化引入构建本节课我们将一个实际问题抽象转化成了一个数学问题，并建立了一个新的函数．根据研究指数函数、对数函数等函数的经验，你认为接下来应该研究什么？函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质当堂检测

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