人教版七年级数学上册第四章图形的初步认识知识点复习巩固

人教版七年级数学上第四章图形的初步认识

知识点复习巩固

一、思维导图

立

常见立体图形柱体、锥体、球体

体

图从不同方向看立体图形

形

立体图形的平面展开图

表示方法

直线

几基本事实

何

直线、射线、线段

图射线表示方法

形表示方法

平

基本事实

面

图大小比较-线段申点

形

表示方法

大小比较角平分线

角

余角、补角余角、补角的性质

方位角

二、知识点复习

(一)几何图形

1.立体图形与平面图形

(1)立体图形的各部分不都在同一平面内，如:

(2)平面图形的各部分都在同一平面内，如:

2.从不同方向看立体图形

4.点、线、面、体之间的联系

(1)体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点;

(2)点动成线、线动成面、面动成体.

(二)直线、射线、线段

1.有关直线的基本事实

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

2.直线、射线、线段的区别

类型端点个数延伸性能否度量

线段2个不能延伸可度量

向—^方向

射线1个不可度量

无限延伸

向两个方向

直线无端点不可度量

无限延伸

3.基本作图

(1)作一线段等于已知线段；

(2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.

4.线段的中点

•-----------•-----------•

ACB

C是线段AB的中点，AC=BC=iAB,AB=2AC=2BC

2

5.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短

6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.

(三)角

1.角的定义

(1)有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角

(2)角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

2.角的度量

度、分、秒的互化

1°=60,，1'=60"

3.角的平分线

(1)0C是NA0B的角平分线B

ZAOC=ZROC=izAOR/

2//

ZA0B=2ZA0C=2ZBOC/

(2)角是轴对称便形，有一条对称轴，是o---------A

角平分线所在的直线。

4.余角和补角

（1）定义

①如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角

（简称为两个角互余）.

②如果两个角的和等于180。（平角），就说这两个角互为补角

（简称为两个角互补）.

（2）性质

①同角（等角）的补角相等.

②同角（等角）的余角相等.

（3）方位角

①定义

物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹

角称为方位角，一般以正北、正南为基准,

用向东或向西旋转的角度表示方向.

②书写

通常要先写北或南,再写偏东或偏西

八大方位

正东:射线OA

正南:射线。3

正西:射线OC

正北:射线8

西北方向:射线。£

西南方向:射线

东北方向:射线皈

东南方向:射线。G

三、专题巩固

正方体的展开与折叠

类型1判断正方体的展开图

教材母题：（教材P122习题T7）如图，这些图形都是正方体的展

开图吗？如果不能确定，折一折,试一试.你还能再画出一些正方体

的展开图吗？

方法指导

正方体的展开图可总结为如下图所示“一四一”

三”“二二二”四种类型，共11种情况.

1.一四一型

2.二三一型

3.三三型

若小正方形摆成的平面图形呈“口m」”“型,

则不能折成正方体,若出现TI型，则另两面必须在两

侧.

变式训练

L下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（）

I

2.将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成

一个正方体，应剪去（序号）（）

A.1或2或3B.3或4或5

C.4或5或6D.1或2或6

类型2找正方体的相对面或相邻面

3.一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”

字对面的字是（）

C.顺D.利

4.如图，该平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之

和为7,贝户+）'的值是（）

A.7B.8C.9D.10

线段的计算

类型1中点问题（整体思想）

【例】如图，点C在线段力8上，点机A分别是AC,比的中点.

AMC*B

（1）若AC=9cm,CB=6cm,则线段助'的长为cm：

（2）若AC=acm,CB=Z?cm,则线段仞V的长为cm；

（3）若A3=〃?cm,求线段助、的长度；

（4）若点。为线段/吐任意一点，且=其他条件不变，你

能猜想外的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论.

【变式1】若=求线段为珊长.

【变式2】若将例题中的“点疏线段也上”改为“点疏线段力硼延

长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写

出你的结论，并说明理由.

方法指导

如图，只要点。在线段/i琳在直线上，点M八分别是力乙窖勺中点,

那么=

AMCNB

困1

1.

AA/BN

图2

iA1

CMANB

图3

变式训练

1.如图，C是线段上一点，材是力右的中点，N是/附中点，若

4?=8cm,AC=3.2cm,则线段助T的长为cm.

•••••

ANCMB

2.如图，已知点a妫线段/吐顺次两点，机八分别是〃；少加勺中

点.

Ii1111

AMCDNB

(1)若A3=24,CD=10,求〃Vr的长；

(2)若A3=aCD=b,请用含外加勺式子表示出，T的长.

类型2直接计算

3.如图，已知线段/区按下列要求完成画图和计算：

AB

(1)延长线段到点C使3C=2AB,取线段/打勺中点A

(2)在(1)的条件下，如果4?=4,求线段劭的长度.

类型3方程思想

4.如图，已知8炳点把线段业份成2：5：3三部分，点,妫/四中

点，BM=6cm,求C麻口力邱J长.

ABMCD

5.如图，已知线段/I屏口切的公共部分BO=1AB=LCQ,线段力反CD

34

的中点用/，之间的距离是10，m,求/I反，〃的长.

[[:]]1

AEDBFC

类型4分类讨论思想

6.已知线段A3=60cm,在直线力方上画线段伙7,使3C=20cm,点〃

是/C的中点，求⑦的长度.

7.课间休息时小明拿两根木棒玩，小明说：“较短木棒4/长40cm,

较长木棒切长60cm,将它们的一端重合，放在同一条直线上，此

时两根木棒的中点分别是点£和点F,则点£和点川旬的距离是多

少？你说对了我就给你玩.”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的

中点后和Q间的距离是多少？

类型5动态问题

8.如图，数轴上4月两点对应的有理数分别为10和15,点2从点力出

发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点0同时从原点。

出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为

[秒.

OAB

(1)当Ov/v5时，用含Z的式子填空：BP=,AQ=

(2)当,=2时，求PQ的值；

(3)当PQ=gAB时，求力的值.

与角平分线有关的计算问题

类型1单角平分线问题

1.如图，已知点0为直线AB上一点，将一个直角三角板COD的直角顶

点放在点。处，并使0C边始终在直线AB的上方，0E平分NB0C.

(1)若ND0E=70°,则NAOO；

(2)若ND0E二明求NA0C的度数.(用含。的式子表示)

2.【发现猜想】

如图（1）,若NAOB=70°,NA0D=100°,0C为NB0D的平分线，则

NA0C的度数为；

【探索归纳】

如图（1）,NA0B二如ZAOD=Z7,OC为NB0D的平分线.猜想NAOC的

度数（用含力，〃的代数式表示），并说明理由.

【问题解决】

如图（2）,已知NA0B=20°,ZA0C=90°,NA0D=120。.若射线0B

绕点。以每秒20°的速度逆时针转动，射线0C绕点0以每秒10°的速

度顺时针转动，射线0D绕点0以每秒30°的速度顺时针转动，三条射

线同时转动，当一条射线与直线0A重合时，三条射线同时停止运动

运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？

图⑴图⑵

类型2双角平分线问题

3.已知NAOB=90°,OC为一条射线,OE,OF分别平分NAOC,ZB0C,

求NE0F的度数.

4.[2020江苏高邮期末，难]如图,已知NA()B=150°,将一个直角三

角形纸片(ND=90°)的一个顶点放在点0处，现将三角形纸片绕点

。任意转动，0M平分斜边0C与0A的夹角，ON平分NB0D.

(1)将三角形纸片绕点0转动(三角形纸片始终保持在NA0B的内

部),若NC0D=30°,则NM0N二；

(2)将三角形纸片绕点。转动(三角形纸片始终保持在NA0B的内

部)，若射线0D恰好平分NM0N,且NM0N=8NC0D,求NC0D的度数;

(3)将三角形纸片绕点。从0C与0A重合位置顺时针转动到0D与0A重

合的位置，猜想在转动过程中NC0D和NM0N的数量关系，并说明理

由.

正方体的展开与折叠答案

1.D2.D3.C4.C

线段的计算答案

【例】解：(1)g(2)卓(3)因为点/V分别是/C,8c的中点，所以

MC=LAC,CN=LRC.又因为MN=MC+CN，所以

22

W=-(AC+BC)=-AB=-cm.(4)猜想：MN=2cm.结论：若点C为

22222

线段上一点，且点M,/V分别是/C,8c的中点，则

2

【变式1】解：因为点〃是/C的中点，所以CM=?AC.因为点N是比的中点，所

—

以CN二;8C.所以MN=CM+CN=[(AC+8C)=]AB.所以AB=2MN=2依m.

【变式2】解：MN=£cm成立.当点C在线段28的延长线上时，如图.

2

I[，[1

AMBNC

因为点M,/V分别是/C,a'的中点，所以MC=1AC,CN=又因为

22

MN=MC-CN,=—(AC-BC)=—AB=—cm.

222

变式训I练

1.2,4

2.解：(1)因为AB=24,CO=10.所以4C+O3=14.因为闻，/V分别为47,劭的

中点，所以CM二,4。,。义二,8£).所以加。+£)N二！(4。+。8)=7.所以

222

MN=MC+DN+CD=U.(2)因为AB=a,CO=/?,所以AC+D8=a・〃.所以

MC+DN=-(AC+DB)=-(a-Z?).所以MN=MC+ON+CD='(a・b)+b

222

3.解：(1)图略.(2)因为8。=248，且AB=4,所以8c=8.所以

AC=A3+3C=8+4=12.因为。为/C中点,所以AO=』AC=6.所以

2

BD=AD-AB=6-4=2.

4.解：设A3=2xcm,8C=5xcm,CD=3xcm,则4)=A8+BC+C£)=10xcm.因为

闻是4?的中点，所以AM=MD=-AD=5xcm.所以

2

BM=AM-AB=5x-2x=3xcm.因为BM=6cm.所以3x=6.解彳导x=2.故

CM=MD-CD=5x-3x=2x=2?24(cm),AZ)=10x=10?220(cm).

5.解：设3£)=xcm,则48=3比01,。£>=415],4。=6入51.因为点E,尸分别为AB,

。的中点，所以AE=-AB=\.5.rcm,CF=—CD=2xcm,所以

22

EF=AC-AE-CF=6x-i.5x-2x=2.5x(cm),因为所=10cm，所以2.5x=10.

解得x=4.所以AB=12cm,CD=16cm.

6.解：当点C在绯殳48上时，如图1,CO=：AC=1(AB-BC)=

工？(6020)二工？4020(cm);当点C在线段的延长线上时，如图2,

22

CD=-AC=-(AB+BC)=~?(6020)=-?8040(cm).所以。的长度为

2222

20cm或40cm.

ADCB

」图］—.

ADBC

图2

7.解：如图1.当48在。的左侧且点8和点C重合时，因为点E是48的中点，所以

BE=1AB=1?4020(cm).因为点尸是。的中点，所以

22

CF--CD一一?6030(cm),所以石尸二8£+C厂=20+30=50(cm).如图2,当力6

22—

在8上且点8和点。重合时，因为点E是的中点，所以

BE=\AB=^4020(cm).因为点尸是。的中点，所以

22

CF=-CD=-?6030(cm).所以EF=CF-BE=30-20=10(cm).所以此时两根

22

木棒的中点£和尸间的距离是50cm或10cm.

AE\B(OFD

图1

1111I

DAFEB(Q

图2

8.解：（1）5T10-2,（2）当，=2时，APV5.点PffiW殳上；00<10，点

Q在线段）上.如图所示：

OiAB

—-------------------------,-----•--------------

0P

此时PQ=OP-OQ=(OA+AP)-(90=(10+0-2r=10-r=8.

(3)PQ=\OP-OQ\=\(OA+AP)-001=1(104-0-2r|=|10-r|,因为=,

所以110-2.5.解彳导/=7.5或/=12.5.

与角平分线有关的计算问题答案

1.答案：(1)因为NDOE=70。，NCOD=90°,

所以NCOE=90°-70°=20°。

因为OE平分NBOC,

所以NCOE=NBOE=20°,

所以NAOC=\80°-ZBOC=180°-2ZCOE=140°.

故答案为140°.

(2)因为NDOE二a,ZCOD=90°,

所以NCOE=90°-a.

因为OE平分NBOC,

所以NBOC=2/COE=18()。-2a,

所以NAOC=1800-NBOC=180°-(1800-2a)=2a.

2.答案：【发现猜想】

因为NAOB-70。，ZAOD-100°,

所以NBOD=NAOD-NAOB=30°

因为OC为NBOD的平分线，

所以NBOC」/BOD=15°,

2

所以NAOC=NAOB+NBOC=85°,

则NAOC的度数为85°.

故答案为85°.

【探索归纳】

ZAOC=-(m+n).理由如下：

2

因为NAOB=,ZAOD=M,

所以NBOD=〃-〃?.

因为OC为NBOD的平分线，

所以NBOC二;(n-m),

所以NAOC=L(n-m)+m=—(m+n).

22

故NAOC的度数为!(m+n).

2

【问题解决】

设运动的时间为x秒.

因为NAOB=20。，NAOL90。，ZAOD=120°,

所以在运动过程中，NDOA二(120-30X)°,

ZCOA=(90-lO.r)°,

ZBOA=(20+20x)°.

由题意可得，在转动过程中，当户;时，OD与0C重合；当后2时，OD与

2

7

OB重合；当尸］时，OC与OB重合；当尸4时，OD与OA重合.

a

①当0J〈彳，OC为OB,0D夹角的平分线时，

ZCOD=(120-30x)°-(90-10A-)0=(30-20x)°,

ZBOC=(90-1Ox)°-(20+20x)0=(70-30工)。，

有/COD=/BOC,

即30-20A-=70-30X,解得x=4(舍去)；

②当-<x<2,OD为OC,OB夹角的平分线时，

ZCOD=(90/Ox)°-(120-30x)°=(-30+20x)0,

ZBOD=(120-30x)°-(20+20x)°=(100-50x)°,

有NCOD=NBOD,

13

RP-30+20.r=100-50.r,解得尸一；

7

7

③当2<x<-,OB为OC,OD夹角的平分线时，

ZBOC=(90-1Ox)°-(20+20x)0=(70-30x)。，

ZBOD=(20+20X)(120-30X)°=(-1OU+5OX)°,

有NBOC二NBOD,

即70-30.r=-100+50x,解得犬二口；

8

④当!士d4,OC为OB,OD夹角的平分线时，

J

ZBOC=(20+20x)°-(90-1Ox)°=(-70+30x)°,

ZCOD=(90-10x)°-(120-30.r)°=(-30+20x),

有NBOC=NCOD,

即-70+3(k=-30+20x,解得日.

答：经过;或1或4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线.

78

3.答案：①如图，当OC在NAOB内部时.

因为OE,OF分别平分NAOC和NBOC,所以NCOE=」NAOC,NCOF二

22

BOC,

fifrUXzCOE+ZCOF=-ZAOC+-ZBOC,

22

BPzEOF=yZAOB.

又因为NAOB=90°,

所以NEOF=45°.

②如图，当OC在NAOB外部时.

因为OE,OF分另！］平分NAOC和NBOC,

所以NEDC」NAOC,ZFOC=-ZBOC,

22

fifrl^ZEOF=zFOC-zEOC=-ZBOC--ZAOC=-(ZBOC-ZAOC)=-Z

2222

AOB=45°.

综上所述,ZEOF=45°.

4.答案：见解析

解析：(1)因为NAOB=150°,NCOD=30°,

所以NAOC+NBOD=NAOBZCOD=15()°30°=120°.