2023-2024学年广东深圳南海中学九年级(上)期中数学试题及答案

试题2023-2024学年广东省深圳市南山区南海中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．2．（3分）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（3分）一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（）A． B． C． D．4．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝75．（3分）根据下列表格的对应值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.36．（3分）如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（）​A．3 B．4 C．4.8 D．58．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（）秒时△QBP与△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒9．（3分）如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）10．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是．12．（3分）已知，则＝．13．（3分）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为米．​14．（3分）如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为cm2．15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为．​三、解答题（6小题，共55分）16．（12分）解方程：（1）x2﹣1＝4x；（2）2x2﹣7x+3＝0；（3）3x（x﹣2）＝4x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）．17．（6分）△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并写出A'，B'，C'的坐标．18．（6分）随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以领取5枚粽子．（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．20．（8分）如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？（2）求内接正方形EFGH边长EF．21．（8分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？22．（9分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．​问题发现（1）如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，＝；（2）若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，＝；类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；问题解决（4）如图3，连接EF，当CD＝时，△DEF与△ABC相似．

2023-2024学年广东省深圳市南山区南海中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：根据一元二次方程的定义可得出方程x2+1＝0为一元二次方程，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．2．（3分）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；B．因为＝，所以mn＝20，故此选项不符合题意；C．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；D．因为＝，所以4m＝5n，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．3．（3分）一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（）A． B． C． D．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：画树状图如下：总计有6种可能结果，其中我们关注的事件两个都是红球的情况有2种，∴随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为：＝．故选：B．【点评】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．4．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，则，．5．（3分）根据下列表格的对应值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2．【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（3分）如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+【分析】根据点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），可得，进一步求解即可．【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），∴，∵AB＝8，∴AD＝，故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金比是解题的关键．7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（）​A．3 B．4 C．4.8 D．5【分析】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC•BD＝24，∴×8•BD＝24，∴BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝3，故选：A．【点评】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（）秒时△QBP与△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒【分析】设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝cm，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，△BPQ∽△BAC，即；当时，△BPQ∽△BCA，即，然后解方程即可求出答案．【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得：t＝2，当时，△BPQ∽△BCA，即，解得：t＝0.8，综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，准确分析题意列出方程求解是解题的关键．9．（3分）如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）【分析】过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，得到∠CEO＝∠AFB＝90°，根据矩形的性质得到AB＝OC，AB∥OC，根据全等三角形的性质得到CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，于是得到结论．【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，∴∠CEO＝∠AFB＝90°，∵四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC，AB∥OC，∴∠ABF＝∠COE，∴△OCE≌△ABF（AAS），同理△BCE≌△OAF，∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，∵A（2，1），B（0，5），∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，∴OE＝4，∴点C的坐标是（﹣2，4）；故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】先求出∠BAE＝45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BE，∠AEB＝45°，从而得到BE＝CD，故①正确；由于∠BGE＝∠DGC，得到∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故②正确；先根据矩形的对角线相等得：AC＝BD，证明：△DCG≌△BEG，得DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，得△DGB是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，故③正确；．过点G作GH⊥CD于H，设AD＝4x＝DF，AB＝3x，由勾股定理可求BD＝5x，由等腰直角三角形的性质可得HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，由三角形面积公式可求，故④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝BD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠F＝∠FAD，∴AD＝DF，∴BC＝DF，故①正确；∵∠BGE＝∠DGC，∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故②正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵点G为EF的中点，∴CG＝EG，∠FCG＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴BD＝BG，∴AC＝BG，∴AC：BG＝：1，故③正确；过点G作GH⊥CD于H，∵3AD＝4AB，∴设AD＝4x＝DF，AB＝3x，∴CF＝CE＝x，BD＝＝5x，∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，∴HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，∴S△DGF＝DF•HG＝x2，S△DGB＝DG•GB＝x2，∴4S△BDG＝25S△DGF；故④正确；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故答案为：k＜﹣1【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．12．（3分）已知，则＝5．【分析】根据比例的性质，设，进而得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可求解．【解答】解：设，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴．故答案为：5．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．13．（3分）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为8米．​【分析】证明△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质得到＝，把已知数据代入计算即可．【解答】解：由题意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，∴＝，解得：CD＝8，∴旗杆的高度为8米，故答案为：8．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．14．（3分）如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为15cm2．【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC；由平行线的性质可得∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，从而可判定△AEF∽△CBF，从而可得比例式，根据AE＝2DE及△AEF的面积为4cm2，由等高三角形的性质及相似三角形的性质可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∵AE＝2DE，∴AE＝AD，∴＝＝＝，∴＝，＝＝，∵S△AEF＝4（cm2），∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），故答案为：15．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为2．​【分析】过H点作HM⊥AB于M点，交BE于N，如图，设AE＝x，ED＝2x，利用正方形的性质得到AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，则利用勾股定理可计算出BE＝x，所以BG＝x，再证明△BGF∽△BAE，利用相似比可表示出BF＝x，则AF＝x，接着证明△MHF≌△ABE得到FM＝AE＝x，所以CH﹣BM＝x，然后计算的值．【解答】解：过H点作HM⊥AB于M点，交BE于N，如图，设AE＝x，ED＝2x，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝x，∵FH垂直平分BE，∴∠BGF＝90°，BG＝BE＝x，∵∠GBF＝∠ABE，∠BGF＝∠A＝90°，∴△BGF∽△BAE，∴BF：BE＝BG：BA，即BF：x＝x：3x，解得BF＝x，∴AF＝AB﹣BF＝3x﹣x＝x，∵∠HMB＝∠MBC＝∠C＝90°，∴四边形BCHM为矩形，∴MH＝BC，HC＝BM，∴AB＝MH，∵∠NMB＝∠HGN，∠BNM＝∠HNG，∴∠MBN＝∠NHG，在△MHF和△ABE中，，∴△MHF≌△ABE（ASA），∴FM＝AE＝x，∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，∴HC＝x，∴＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．三、解答题（6小题，共55分）16．（12分）解方程：（1）x2﹣1＝4x；（2）2x2﹣7x+3＝0；（3）3x（x﹣2）＝4x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）．【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（2）利用因式分解法求解即可；（3）先化简，再利用因式分解法求解即可．（4）先化简，再利用求根公式法求解即可．【解答】解：（1）原式＝x2﹣4x﹣1＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣）＝20，x＝＝2±；所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）2x2﹣7x+3＝0，（x﹣3）（2x﹣1）＝0，x﹣3＝0或2x﹣1＝0，x1＝3，x2＝﹣．（3）3x（x﹣2）＝4x2，3x2﹣6x＝4x2，x2+6x＝0，x（x+6）＝0，x＝0或x+6＝0，x1＝0，x2＝﹣6．（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）4x2+16x+16＝3x﹣14x2+13x+17＝0，Δ＝132﹣4×4×17＝﹣103＜0，∴方程无实数根．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法、配方法和因式分解法是解答本题的关键．17．（6分）△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并写出A'，B'，C'的坐标．【分析】由位似图形的性质，结合要在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，即对应点坐标乘以2即可．【解答】解：如图，△A'B'C'即为所作．由图可知A'（﹣2，﹣4），B'（﹣6，﹣2），C'（﹣4，﹣6）．【点评】本题考查作图—位似变换，坐标与图形的变化—位似变换．掌握位似的性质是解题关键．18．（6分）随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以领取5枚粽子．（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．【分析】（1）画树状图展示所以等可能的结果数即可；（2）画树状图展示出所以等可能的结果数，再找出李老师领取到5枚粽子的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：转盘B的数字转盘A的数字4561（1，4）（1，5）（1，6）2（2，4）（2，5）（2，6）3（3，4）（3，5）（3，6）（2）（1）中表格中共有9种等可能的结果，则李老师领取到5枚粽子的结果数有三种，其概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．【分析】（1）先证四边形DFBE是平行四边形，再由DE⊥AB，则∠DEB＝90°，即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠BFD＝∠BFC＝90°，再由勾股定理得BC＝10，然后由平行四边形的性质得AD＝BC＝10，AB∥DC，进而证DF＝DA＝10，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC＝＝＝10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，AB∥DC，∴∠BAF＝∠DFA，∵AF是∠DAB的平分线，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴DF＝DA＝10，∴DC＝DF+CF＝10+6＝16．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．20．（8分）如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？（2）求内接正方形EFGH边长EF．【分析】（1）根据四边形EFGH是△ABC内接正方形，得出HG∥BC，得出△AHG与△ABC相似即可；（2）根据题意易证△AHG∽△ABC，列出比例关系，可以解出内接正方形EFGH的边长．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC；（2）设AD与HG的交点为M，∵△AHG∽△ABC，∴，，解得：，故内接正方形EFGH的边长为．【点评】本题主要考查正方形的性质，三角形相似等知识点，不是很难．21．（8分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？【分析】（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30+×20）套，根据总利润＝每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解