寒假作业05 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题（专项训练）（教师版）

一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、一次函数中的规律探究问题 1题型二、一次函数中求线段和最值问题 4题型三、一次函数中直线平移的综合问题 8题型四、一次函数中分段函数探究问题 12题型五、一次函数中的新定义型综合问题 17B综合攻坚・能力跃升题型一、一次函数中的规律探究问题1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为，的坐标为．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标．【详解】解：点坐标为，，过点作轴的垂线交直线于点，∴将代入得，∴点的坐标为，点与点关于直线对称，，，点的坐标为，同理可得的坐标为，点与点关于直线对称．故点的坐标为，同理的坐标为，以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为．故答案为：，．2．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是．（结果要求最简形式）【答案】【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点，依次求出，找出规律即可解决．【详解】解：作轴于点，∵均在直线上，，，，，，，∴由勾股定理得：，，同理，，，同理，，，即点的横坐标是，故答案为：．题型二、一次函数中求线段和最值问题3.平面直角坐标系内，已知点和点，点为轴上一动点，当最小时．点的坐标为．【答案】【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，一次函数的实际应用；作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，根据轴对称求最短路径的方法可知此时点P即为最小时点的位置，然后利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求点的坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则，∴，∴与x轴的交点P即为最小时点的位置，∵，∴设直线的解析式为y=kx把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，令，解得：，∴点的坐标为，故答案为：．4.一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是．【答案】【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、线段问题(轴对称综合题)【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称最短路线问题，由点，的坐标及点，分别是，的中点，可得出点，的坐标，作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当周长最小时点的坐标．【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，点是的中点，点为的中点，点的坐标为2,0，点的坐标为．作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，如图所示．点的坐标为2,0，点的坐标为．设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，直线的解析式为．当时，，此时点的坐标为0,2．故答案为：0,2．5.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为1,4和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在一条直线，上，当的周长最小时，点的坐标是，周长的最小值是．【答案】0,3【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形【分析】此题考查了最短路线问题以及运用待定系数法求函数的解析式，作点关于轴对称点点，连接，交轴于点，根据题意确定点的位置是解题的关键．【详解】如图，作点关于轴对称点点，连接，交轴于点，∵，∴两点之间线段最短，则点即为所求；∴，∵，则对称点，设解析式为，∴，解得：，∴解析式为，当时，，则点，∵，∴周长的最小值是，故答案为：，．6.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．(1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________；(2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值．【答案】(1)，(2)当点P运动到时，的值最小，最小为【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值；（1）分别令、求解即可；（2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可．【详解】（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．∴点C纵坐标为1，当时，解得，∴，当时，解得，∴，故答案为：，；（2）点关于x轴的对称点为，则，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，设直线的表达式为将点和点分别代入上式，得解得，∴直线的表达式为当时，解得，∴点P的坐标为当点P运动到时，的值最小，最小值为．题型三、一次函数中直线平移的综合问题7.在平面直角坐标中，直线分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作交x轴于点C．过点C作y轴的平行线交于点D．(1)求线段与的长度；(2)现将线沿A至C向右平移2个单位长度得线段（如图），求线段在整个平移过程中扫过图形的面积；(3)试探索在平移过程中，在直线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)4(3)存在，或【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、平移性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线求解是解答的关键．（1）求得点A、B坐标即可求解；（2）根据平移性质得到线段在整个平移过程中扫过图形是平行四边形，且，利用平行四边形的面积公式求解即可；（3）设平移距离为b，则，，设，利用勾股定理求得，则设，分当M在下方时和当M在上方时两种情况，利用全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形列方程求的b值即可．【详解】（1）解：对于，当时，，则，∴；当时，由得，则，∴；（2）解：连接，根据平移性质，线段在整个平移过程中扫过的图形是平行四边形，且，∴线段在整个平移过程中扫过图形的面积为；（3）解：存在．理由如下，设平移距离为b，则，，设，由题意，，，∴，解得，∴设，当M在下方时，如图，过M作轴，过E作轴交于P，过F作轴交于H，则，∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，，解得，则；当M在上方时，如图，同理可证，，∴，，解得，则，综上，满足条件的点E的坐标为或．8.在平面直角坐标系中，，，，且．(1)直接写出点A，B的坐标及c的值；(2)如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标；(3)如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系．【答案】(1)，，(2)或(3)【知识点】坐标与图形、一次函数图象平移问题、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题【分析】（1）由，可得，计算求解，然后作答即可；（2）由，，可知轴，则，计算求解，然后作答即可；（3）待定系数法求直线的解析式为，则平移后的解析式为，将代入得，，整理即可．【详解】（1）解：∵，∴，解得，，∴，，；（2）解：∵，，∴轴，∴，解得，或，∴或；（3）解：设直线的解析式为，将，代入得，解得，，∴直线的解析式为，∴平移后的解析式为，将代入得，，整理得，．【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性，坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移．熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性，坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移是解题的关键．题型四、一次函数中分段函数探究问题9.小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．(1)函数的自变量的取值范围是___________．(2)下表是与的几组对应值：

012313写出表中的值；(3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)；②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________．【答案】(1)全体实数(2)0(3)见详解(4)①<；②且【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的图象、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．（1）由图表可知可以是任意实数；（2）把代入即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可解决问题．【详解】（1）解：函数中自变量可以是任意实数；故答案为：任意实数；（2）当时，，∴．（3）函数图象如图所示；（4）观察该函数图象：①对于图象上两点，若，则；②当x>2时，若对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是且．故答案为：①；②且．10.探究函数的图象与性质．数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究：(1)在函数中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值．x…01234…y…01234321a…表格中a的值为________；(2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象；(3)结合图象回答下列问题：①函数的最大值为________；②写出该函数的一条性质________．【答案】(1)0(2)见解析；(3)①4；②函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）．【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想．（1）代入x的值即可求出a即可得出答案；（2）描点，连线即可；（3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可．【详解】（1）解：把代入，得，故答案为：0；（2）解：描点，画出函数图象如图所示：；（3）解：根据函数图象可知：①函数最大值为4；故答案为：4；②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）；故答案为：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）．11．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整：(1)列表：x…0123…y…b1012…其中，______；(2)描点并连线；在下面平面直角坐标系中画出函数的图象；(3)根据图象直接写出函数图象的两条性质．【答案】(1)2(2)见解析(3)①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小；②函数图象关于直线对称（答案不唯一）【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值【分析】本题考查的知识点是一次函数图像及一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像及一次函数的性质．（1）把代入函数解析式，求出y的值即可；（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（3）根据函数图象即可得出结论．【详解】（1）解：当时，．∴，故答案为：2．（2）描点、连线，画出函数图象，如图所示．（3）观察函数图象，可知：①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小；②函数图象关于直线对称；③当时，函数有最小值1．题型五、一次函数中的新定义型综合问题12.我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴一次函数”，如：一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”，又如一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”．(1)一次函数与是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由，并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”．(2)已知一次函数，，若与互为“交轴一次函数”，求的值．【答案】(1)不是，理由见详解，一次函数与是“交轴一次函数”(2)与互为“交轴一次函数”时，的值为或【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题【分析】（1）根据一次函数以坐标轴的交点坐标的计算方法，“交轴一次函数”的定义即可求解；（2）根据与互为“交轴一次函数”，分类讨论，①当与的图像都经过轴上的同一个点时，即；②当与的图像都经过轴上的同一个点时，即；由此即可求解．【详解】（1）解：根据题意，在中，令时，；令时，；∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为；同理，一次函数中，令时，；令时，；∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为；∴一次函数与的图像与轴的交点不同，与轴的交点不同，∴一次函数与不是“交轴一次函数”；当时，则时，，∴一次函数中，函数值，即一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，∴一次函数与是“交轴一次函数”．（2）解：∵一次函数，，若与互为“交轴一次函数”，①当与的图像都经过轴上的同一个点时，即，∴在中，，∴一次函数，的图像都经过轴上的同一个点，∴在中，，解得，；②当与的图像都经过轴上的同一个点时，即，∴在中，，∴一次函数，的图像都经过轴上的同一个点，∴在中，，解得，；综上所述，与互为“交轴一次函数”时，的值为或．【点睛】本题主要考查一次函数的定义新运算，掌握一次函数图形的性质，一次函数与坐标轴交点的计算方法代入求值是解题的关键．13．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．【定义辨析】（1）直线的关联点的坐标是（

）A．

B．

C．

D．【定义延伸】（2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；；【定义应用】（3）点的关联直线与轴交于点，，求的值．【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或．【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解；（2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解；（3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可．【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点，直线的关联点的坐标是，故答案为：D；（2）直线，当时，，解得，点的坐标为，直线，为常数）是点的关联直线，点的关联直线为，联立得，解得，的坐标为；（3）点的关联直线为，当时，，点的坐标为，当时，，点的坐标为，①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点．，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，的坐标为，把点代入得，；②如图2，当点在直线右侧时，同理可证，，，点的坐标为把点代入得，，综上所述，的值为或．【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键．14．定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”．【定义辨析】（1）若点在上，则下列四个点①、②、③、④，在的“k倍伴随线”上的点有______（填序号）；（2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（

）；A．B．C．D．【定义延伸】（3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）；【定义应用】（4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值．【答案】（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3．【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据“k倍伴随线”求解即可；（2）依据“k倍伴随线”求解即可；（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果；（4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解．【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到，将横、纵坐标都乘以3，得到，∴在的“k倍伴随线”上的点有②、④，故答案为：②④；（2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得，设直线的“2倍伴随线”关系式为，将代入得：，解得：，∴直线的“2倍伴随线”关系式为，故选：B；（3）直线中，令，得，令，得，∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得，∵直线的“k倍伴随线”记为．∴将代入得：，故答案为：②；（4）直线中，令，得，令，得，∴，，设直线的“k倍伴随线”为，将横、纵坐标都乘以，得到，，∴，∴直线的“k倍伴随线”为，为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论：当且时，得，∴，∴，当且时，得，∴，∴，当且时，得，∴，∴，综上所述，或3一、单选题1．（25-26八年级上·全国·单元测试）在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求．【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示：，在和中∴，∴，∵点，∴∴，由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值，，∴,在中，，利用勾股定理得，故选：C．2．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】本题考查了求一次函数的函数值，正确理解一次函数的“相依函数”的定义是解题关键．先求出一次函数的“相依函数”，再将代入计算即可得．【详解】解：由题意得：一次函数的“相依函数”为，∵点在一次函数的“相依函数”图象上，且，∴，故选：A．3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题．【详解】解：将代入得，解得，所以直线l与x轴的交点坐标为．令平移后的直线函数解析式为，当平移后的直线经过点B时，，解得，所以此时直线的函数解析式为，则．当平移后的直线经过点D时，，解得，所以此时直线的函数解析式为，令得，，解得，所以，所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：．故选：A．4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正比例函数的图象与性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用正比例函数的性质是关键．依据题意，由，则，，结合在直线上，设，可得，则，同理可得，，，，，，最后即可判断得解．【详解】解：由题意，∵，∴，设直线的解析式为，代入，得，∴，∵在直线上，∴可设，∵，∴，∴（负值舍），∴，又∵轴，∴纵坐标为1，∴代入，得，∴，∴，设，∴，∴，∴，同理可得，，，，．∴当时，．故选：C．二、填空题5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，则线段的最小值为．【答案】【分析】连接，过点P作于点M，根据垂线段最短，当点Q与点M重合时，取得最小值，利用三角形面积不变性，列式解答即可．本题考查了垂线段最短，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握垂线段最短，是解题的关键．【详解】解：连接，过点P作于点M，根据垂线段最短，当点Q与点M重合时，取得最小值，∵直线与轴、轴分别交于点，，∴,,∴,∴,∵点的坐标为，∴,∵,∴,故答案为：．6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，勾股定理等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，由，则，又由勾股定理得，故，又设平移距离为，平移后点的坐标为，点的坐标为，又点在直线上，故，可得，则，进而计算可以得解．【详解】解：，，设平移距离为，平移后点的坐标为，点的坐标为，又点在直线上，．∴，，线段的长为，故答案为：．7．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解．【详解】解：由题意可得：点在x轴上，且，∵在直线上，∴，∴，∴直线为，∴，，，…，∴，∴的坐标为，故答案为：．8．（24-25八年级下·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于（）的点叫做这个函数图像的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．如果关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为．【答案】或【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，新定义，根据题意得到当时，经过或；当时，经过或；计算即可.【详解】解：∵关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，∴当时，经过或，∴或，解得：（舍去）或；当时，经过或，∴或，解得：（舍去）或；综上所述，的值为或.故答案为：或.三、解答题9．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上．(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；(2)若点M在y轴上，求的最小值；(3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标．【答案】(1)1，2(2)的最小值为．(3)【分析】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可；（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可．【详解】（1）解：已知点，，到y轴的距离为，到y轴的距离为2；（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示：关于轴对称，，，，，取得最小值，且最小值为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，，，，，，，的最小值为．（3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，关于轴对称，，，设直线为，代入，，，直线为，当时，，解得，故．【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，已知直线：交轴于，交轴于．(1)求直线的表达式；(2)如图2，直线的表达式为，点为线段的中点，在直线上找一点，使得最小，并求出最小值；(3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求的值．【答案】(1)(2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为(3)【分析】（1）把，代入，即可求解；（2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解；（3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，故直线的表达式为．（2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，理由：，设交于点，则点是的中点，∵，，点为线段的中点，∴点的坐标为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为．令，则，解得：，即点的坐标为；则，设点的坐标为，则，，在中，，即，解得：或（不符合题意，舍去），故点的坐标为；又∵点是的中点，∴点的坐标为，∴；即最小值为．（3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图：则，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴在直线上，∵，，∴，，∴，∵，，，∴，∴，，∴点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，得，解得：，∴直线的解析式为．∵点在直线上，故当时，，即点的坐标为，∴，解得．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．11．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图①，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，且．(1)直线的函数表达式为______，(2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标；(3)如图②，在轴负半轴有一点，，，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含角的直角三角形的特征、一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．（1）当时，得，进而可得，进而可得，再求出，利用待定系数法即可求解；（2）过点作轴垂线交于点，设，则，根据得，进而可求解；（3）先求出，可得，进而可得，由，根据由平移的性质得出直线的解析式为，然后分两种情况分析：当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M；当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，分别利用一次函数的性质及平行线的性质求解即可．【详解】（1）解：当时，，解得：，，，，，∵在上，∴，故点，将，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：．（2）解：∵，，，∴，过点作轴垂线交于点，如图：设，则，，即：∴，或，∴或．（3）存在，理由如下：由（1）得：，令，则，，，，，，，∴，∵将直线平移过点得直线，直线的解析式，∴设直线的解析式为，将点代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M，如图所示：∴，∴，∴，符合题意，设直线的函数解析式为，将点B、M代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为，联立，解得：，∴；当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，如图所示：∵，，，∵，直线的解析式为，∴当时，，解得，∴，综上可得：或．12．（24-25八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．(1)下表是y与x的几组对应值：x…0123…y…m…写出表中m的值：___________．(2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)小明结合该函数图象，解决了以下问题：①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）；②对于函数，当时，y的取值范围是___________；③写出由函数的图象得到的图象的平移方式．【答案】(1)0(2)见解析(3)①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．（1）把代入即可求得；（2）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（3）观察图象即可解决问题．【详解】（1）解：当时，，∴；故答案为：0；（2）解：函数图象如图所示；；（3）解：观察该函数图象：①对于图象上两点，若，则；②对于函数，当时，y的取值范围是；③当时，，当时，，∴函数的图象得到的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移个单位．故答案为：①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位．13．（24-25九年级