北京市第156中学2026届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

北京市第156中学2026届高二上数学期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A. B.C. D.2．等差数列中，，则（）A. B.C. D.3．已知椭圆与圆在第二象限的交点是点，是椭圆的左焦点，为坐标原点，到直线的距离是，则椭圆的离心率是（）A. B.C. D.4．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（）A. B.C.14 D.165．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．下列各式正确的是（）A. B.C. D.7．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形8．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）A. B.C. D.9．已知向量与向量垂直，则实数x的值为（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.610．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（）A.1024 B.256C.2 D.51211．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是A. B.C. D.12．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在三棱锥中，点Р在底面ABC内的射影为Q，若，则点Q定是的______心14．在等比数列中，已知，则__________15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点P，则的面积为___________.16．已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）计算：（1）求函数（a，b为正常数）的导数（2）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围18．（12分）在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一、质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.（1）请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；（2）以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.19．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点（1）求椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由20．（12分）现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表（1）若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率；（2）求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率21．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，.点满足.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程.22．（10分）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求：（1）；（2）展开式中的所有的有理项.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】列举出循环的每一步，利用裂项相消法可求得输出结果.【详解】第一次循环，不成立，，；第二次循环，不成立，，；第三次循环，不成立，，；以此类推，最后一次循环，不成立，，.成立，跳出循环体，输出.故选：B.2、C【解析】由等差数列的前项和公式和性质进行求解.【详解】由题意，得.故选：C.3、B【解析】连接，得到，作，求得，利用椭圆的定义，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解椭圆的离心率.【详解】如图所示，连接，因为圆，可得，过点作，可得，且，由椭圆的定义，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，两侧同除，可得，解得或，又因为，所以椭圆的离心率为.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，直角三角形的勾股定理，以及椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，结合直角三角形的勾股定理，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4、C【解析】根据等比数列的性质求得正确答案.【详解】是函数的两个不同零点，所以，由于数列是等比数列，所以.故选：C5、D【解析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式性质可判断D【详解】A.当时，，但，故A错；B.当时，，故B错；C.当时，，但，故C错；D.若，则，D正确故选：D6、C【解析】利用导数的四则运算即可求解.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：C7、C【解析】利用余弦定理角化边整理可得.【详解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故选：C8、A【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.【详解】如图示：连接OF,因为P为EF中点，，F为BC的中点，则，故选：A9、B【解析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值【详解】解：向量，与向量垂直，则，由数量积的坐标公式可得：，解得，故选：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题10、D【解析】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.【详解】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积，，设数列的公比为q，所以，解得，所以，故选：D.11、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选12、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、外【解析】由可得，故是的外心.【详解】解：如图，∵点在底面ABC内的射影为,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案为：外.14、32【解析】根据已知求出公比即可求出答案.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以.故答案为：32.15、【解析】先得出渐近线方程和圆的方程，然后解出点P的纵坐标，进而求出面积.【详解】由题意，渐近线方程为：，，圆的方程为：，联立：，所以.故答案为：.16、【解析】分析可知，由可求得结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可知，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据导数的运算法则，结合复合函数的求导法则，可得答案;（2）求出函数的导数，结合基本不等式求得导数的取值范围，根据导数的几何意义结合正切函数的单调性，求得答案.【小问1详解】由题意得：；【小问2详解】,由于，故，当且仅当时取等号，故，则P处的切线的斜率，由为曲线在点P处的切线的倾斜角可得，由于，故的取值范围为：.18、（1）抛物线的焦点或抛物面的焦点（2）答案见解析【解析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.【小问1详解】根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线焦点或抛物面的焦点.【小问2详解】解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，，由抛物线定义知：，当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.19、（1）；（2）存在点M满足条件，点M的坐标为.【解析】(1)根据给定条件直接计算出即可求解作答.(2)假定存在点，当直线l与x轴不重合时，设出l的方程，与椭圆C的方程联立，借助、斜率互为相反数计算得解，再验证直线l与x轴重合的情况即可作答.【小问1详解】依题意，，而离心率，即，解得，所以椭圆C的方程为：.【小问2详解】由(1)知，，假定存在点满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为：，由消去x并整理得：，设，则有，因，则直线、斜率互为相反数，于是得：，整理得，即，则有，即，而m为任意实数，则，当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点也满足，所以存在点M满足条件，点M的坐标为.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆相交的问题，常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.20、（1）；（2）.【解析】（1）选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为，由此能求出从中抽到两名男生报名表的概率；（2）设事件表示抽取到第个档案袋，，设事件表示抽取的报名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的报名表是一名男生一名女生的概率【小问1详解】（1）第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为，从中抽到两名男生报名表的概率【小问2详解】设事件表示抽取到第个档案袋，，设事件表示抽取的报名表是一名男生一名女生，则，，，，抽取的报名表是一名男生一名女生的概率为：21、（1）；（2）【解析】（1）由及两点间距离公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要两个根的的要舍去;（2）联立直线和椭圆的方程，利用弦长公式求得，再利用几何关系求得，代入，可解得c，从而得到椭圆的方程.【详解】（1）设，，因为，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得椭圆方程为，直线的方程为，A，B两点的坐标满足方程组为，消去y并整理，得，解得：，，得方程组的解和,不妨设：，，所以，于是，圆心到直线的距离为，因为，所以，整理得：，得（舍），或，所以椭圆方程为：.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率解