黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2025~2026学年九年级上册12月期末数学试题【附解析】

/黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2025−2026学年九年级上学期12月期末数学试题一、单选题1．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（

）A． B． C． D．2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（

）A．2027 B． C．2023 D．3．如图所示几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．4．、是方程的两个根，则（

）A．4 B．10 C． D．5．如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（

）A． B． C． D．6．如图，在正方形的外侧，作等边，连接DE、AC，相交于点F，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（

）A．40 B．80 C．160 D．8．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（

）A．1 B．4 C．8 D．210．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB．12．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B对应点的坐标是．14．如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是．15．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是．16．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则．17．如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则．18．已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则式子的值是．三、解答题19．解方程：（1）；（2）．20．三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源P的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）．21．如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，．（1）求证：四边形为菱形；（2）若，，求四边形的面积．22．如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．（1）求，，的值；（2）当时，求不等式的解集．（3）求的面积．23．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”．（1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由；（2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值．24．《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．A—哪吒

B—太乙真人

C—申公豹

D—敖丙

（1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____；（2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率．25．如图，在中，，点D在上，连接，点E在上，连接，，且．（1）求证：；（2）若点D是的中点，求证：．26．“我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人．（1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．（2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？27．观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图1中，，是中边的二等分点，图2中、是边的三等分点，图3中、、是边的四等分点…图4中、、、是边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，，，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：①当是边的二等分点：__________________；②当、是边的三等分点：__________________；③当、、是边的四等分点：__________________；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第④个等式：_____________．（2）从①，②，③中，任选一个，写出求解过程．（3）请你猜想出的结果（用含的式子表示）．28．如图1，在正方形中，，点E在边上，连接，且，点F是的中点．（1）求的长；（2）如图2，过点F作直线，分别交，于点G，H，且，求的长；（3）如图3，过点F作的垂线，分别交，，于点M，O，N，连接，求的长．

答案1．【正确答案】D【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式．【详解】解：∵反比例函数图象经过点，∴设解析式为，代入得，∴，∴解析式为．验证选项：A．：当时，，不满足；B．：当时，，不满足；C．：当时，，不满足；D．：当时，，满足．∴函数图象必经过点．故选D．2．【正确答案】B【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，求代数式的值，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较系数求出和，再计算的值，熟练掌握配方法是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵用配方法将方程转化为的形式，∴，，∴，故选B．3．【正确答案】D【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上面看到的图形，据此求解即可．【详解】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，且有四条竖直的线段，其中两条实线分别在两条虚线的外侧，即看到的图形如下：，故选D．4．【正确答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，即，，∴．故选A．5．【正确答案】B【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，，又点是边的中点，，，故选B．6．【正确答案】A【分析】由等腰可求度数，则度数可知，证明，可得，在中利用三角形内角和定理可知度数．【详解】解：∵四边形是正方形，∴．又，∴．∴．∵是等边三角形，∴．又，∴，且，∴．∴．∴．故选A．7．【正确答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键．由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面积．故选B．8．【正确答案】C【分析】本题考查由函数图象解不等式，熟练掌握不等式与函数图象的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图象的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图象对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．【详解】解：由图可知，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，∴点的横坐标为，当或时，有反比例函数图象在一次函数图象上方，即当时，的取值范围是或，故选C．9．【正确答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值．【详解】解：∵四边形为矩形，的中点为D，∴设点D的坐标为：，则，∴，∵，∴，解得：，故选B．10．【正确答案】B【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键．根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可．【详解】把代入反比例函数得，把代入，得，∴，故①错；联立两函数解析式，解得，∴，故②对；观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③对；由、、可知，，∴，故④错．综上，结论②③正确，正确的个数是2个，故选B．11．【正确答案】∠D=∠C或∠E=∠B或【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB12．【正确答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．由题意得出，计算即可得出答案．【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，，解得.13．【正确答案】或【分析】本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案．【详解】解：，以原点O为位似中心，相似比为，对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，的坐标是或.14．【正确答案】【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案为；．15．【正确答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解．【详解】解：，且，，，即：，解得：，（），树高是.16．【正确答案】【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可．【详解】解：作轴，轴，垂足分别为，则：，∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴（负值舍去）.17．【正确答案】15【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可．【详解】解：过点作交的延长线于点，如图：，，、，，、，，，，，，，、，，设，则、，，，解得，.18．【正确答案】【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，联立两个函数解析式得到一个关于x的一元二次方程，进而得到，再求出，则可推出，据此可得答案．【详解】解：联立得，∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点，∴，，∴.19．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查了因式分解法和公式法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法法求解即可．（2）利用公式法求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，解得．（2），其中，∴∴，解得．20．【正确答案】见详解【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．过影子顶端与竹竿顶端作射线，交点P即为所求；连接光源P与影子顶端F，过E作垂直于地面的直线，与交于点M，即为所求．【详解】解：如图，点P为光源的位置，线段是影子为的竹竿．21．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可；（2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可．【详解】（1）证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，∴直线是线段的垂直平分线，∴，，∵四边形是矩形，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；（2）解：设，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，在中，，根据勾股定理得，，∴，解得，∴，∴菱形的面积．22．【正确答案】（1）；；（2）（3）【分析】（1）将点坐标代入解析式即可；（2）求出直线与双曲线的交点即可得出结论；（3）求出两点的坐标即可求得三角形的面积.【详解】（1）解：将点坐标代入得，解得，将点坐标代入得，，解得，

将点坐标代入得，∴；（2）解：由（1）知，由，得或，

则直线与双曲线的另一个交点坐标为：

由函数图象可知：当时，直线在双曲线y的上方，且都在y轴的右侧所以当时，不等式的解集为；（3）解：由得，∴点的坐标为，

∵得，，∴点的坐标为，

∴的面积为.23．【正确答案】（1）该方程是“联合方程”，见详解（2）的值为，的值为6【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键．（1）根据“联合方程”的定义进行计算即可；（2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可．【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下：在一元二次方程中，，，，，一元二次方程是“联合方程”；（2）解：是关于的“联合方程”，，是此“联合方程”的一个根，，即，解得，的值为，的值为6．24．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．（1）利用概率公式直接求解；（2）先画出树状图，再求概率．【详解】（1）解：∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四张，∴从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为.（2）画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片恰好一套的结果有4种，∴抽到的两张卡片恰好一套的概率为．25．【正确答案】（1）见详解（2）见详解【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，（1）由两角相等得到，根据相似三角形的性质即可得到，从而得到答案；（2）点D是的中点，得到，再由（1）中，推出，进而得到，即可得到．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴．（2）证明：∵点D是的中点，∴．又∵，∴，又，∴，∴．26．【正确答案】（1）；（2）降价元【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从年的万人增加到年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；（2）设设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【详解】（1）解：设该市，这两年参加健身运动人数的年均增长率，由题意得：，解得：（不符合题意，舍去），答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为；（2）解：设该哑铃组每组应降价m元，由题意得：，整理得：，解得：，答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元，27．【正确答案】（1）；（2）①；②；