山东省青岛实验初级中学2025~2026学年八年级上册数学12月月考试题【附解析】

/山东省青岛实验初级中学2025−2026学年八年级上学期数学12月月考试题一、单选题1．下列各式，属于二元一次方程的个数有（

）①；②；③；④；⑤；⑥A．1 B．2 C．3 D．42．有一组数据：2，3，1，5，4，9．那么这组数据的中位数是（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（

）A． B． C． D．4．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（

）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米5．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（）A． B．C． D．6．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（

）A． B．C． D．7．已知一组数：的平均数为M，方差为N，那么数组：的平均数及方差分别是（

）A． B． C． D．8．如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．把“直角相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为．10．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是．11．已知，则，．12．已知，，，，若，则．13．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数单位：环和方差如下表：甲乙丙丁环根据表中数据，你认为应该推荐运动员去参赛，更有把握赢得比赛．14．如图，已知，若，，则．15．某人沿电车路线行走，每分钟有一辆电车从后面赶上，每分钟有一辆电车迎面开来．若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔min从起点开出一辆．16．图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，（用含a和n的代数式表示）

三、解答题17．尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法）已知直线及其两侧两点，，如图，在直线上找一点，使得．18．计算题（1）；（2）19．解方程组（1）（2）20．今年是中国共产主义青年团成立102周年，某校为了了解八年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：【收集数据】甲班10名学生测试成绩分别为：78，83，89，98，100，94，90，93，95，100乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：91，94，90，93【整理数据】班级甲11134乙12142【分析数据】班级平均数众数中位数方差甲9293.546.8乙908750.2【应用数据】（1）根据以上信息，可以求出：分，分；（2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人；（3）甲班的平均分是92分，小明的成绩是93分．小华说：“小明的成绩高于平均分，所以小明的成绩高于甲班一半学生的成绩．”你认为小华的说法正确吗？请说明理由．（4）根据以上数据，你认为甲、乙两个班哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）．21．如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分．（1）上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来；（2）选择（1）中的一个真命题加以说明．22．学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售．（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）出售．现要购买A型毛笔a支（），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由．23．如图，已知，．（1）求证：；（2）若平分，于点E，，求的度数．24．【实践与探索】幻方【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”，【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15．【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题：（1）图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________；（2）在（1）的基础上，若，则__________，e=__________；（3）图3是一个未完成的幻方，求的值．25．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角．（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程），逐一判断各式的符合情况．【详解】①：含二次项，是二元二次方程，不符合，②：化简为，仅含一个未知数，是一元一次方程，不符合，③：分母含未知数，是分式方程，不符合，④：变形为，含两个未知数且次数均为1，是二元一次方程，符合，⑤：含二次项，是二元二次方程，不符合，⑥：是代数式而非方程，不符合，综上，只有④符合条件，总个数为1，故选A．2．【正确答案】B【分析】本题考查了中位数的求法问题，解题时应先把数据按照从大到小，或从小到大的顺序排列，再求中位数．把这组数据按照从小到大的顺序排列，取中间两个数据的平均值即为这组数据的中位数．【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，，这组数据的中位数是．故选B．3．【正确答案】A【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论，∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，故选A．4．【正确答案】D【分析】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，根据题意列出二元一次方程组求解即可；【详解】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，根据题意可得：，解得：，∴每个小长方形的周长是（厘米）故选D．5．【正确答案】D【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案．【详解】解：过点作，过点作，故选D．6．【正确答案】B【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组．根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组．【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且；乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且；∴方程组为．故选B．7．【正确答案】C【分析】本题主要考查方差和算术平均数，利用平均数、方差的定义和性质直接求解．【详解】解：设的平均数为，则的平均数为，解得；设的方差为，则的方差为，解得，故选C．8．【正确答案】B【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质可得，，再结合，可得，可判断①；根据平行线的性质可得，可判断②；根据题中的条件无法确定的度数，可判断③；根据平行线的性质可得，从而得到，可判断④．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故①正确；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故②正确；∵，∴，根据题中的条件无法确定的度数，故③错误；∵，∴，∵，∴，∴，无法确定是否等于，故④错误；故选B9．【正确答案】如果两个角相等，那么它们是直角．【分析】本题考查逆命题，命题的题设与结论，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．先要明确命题中的已知条件和结论，原命题“直角相等”意为“如果两个角是直角，那么它们相等”，其逆命题是交换条件和结论，据此作答即可．【详解】解：原命题“直角相等”可表述为“如果两个角是直角，那么它们相等”，那么其逆命题为：“如果两个角相等，那么它们是直角”．10．【正确答案】【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．根据两条直线的交点坐标即可得．【详解】解：∵直线与直线相交于点，∴方程组的解是.11．【正确答案】；【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，绝对值的非负性和平方的非负性等知识点，根据绝对值的非负性和平方的非负性，列出关于x和y的方程组，解方程组即可．【详解】解：由非负数的性质，得，，解方程组，将两式相减，得，，即，解得，代入第二式，得，，解得.12．【正确答案】88°【分析】根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案是：13．【正确答案】乙【分析】此题考查了平均数和方差，首先比较平均数，选平均数最大的并且方差较小运动员的参赛即可．【详解】解：由表中数据可知：乙的平均数最高，成绩最好；虽然丙的方差最小，但其平均数过低，而乙的方差也较小，发挥稳定；综合考虑，应推荐运动员乙去参赛14．【正确答案】/度【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∵，∴，∴15．【正确答案】【分析】本题考查了相遇问题和追及问题，每分钟有一辆电车从后面赶上属于追及问题，等量关系为：电车分走的路程行人分走的路程两辆电车相间隔的路程；每分钟有一辆电车迎面开来，是相遇问题，等量关系为：电车分走的路程行人4分走的路程两辆电车相间隔的路程，两辆电车间隔的路程为两辆电车相隔的时间电车的速度．【详解】解：设电车的每分走米，行人每分走米，电车每隔a分钟从起点开出一辆，根据题意可得：，得：，可得：，解得：．16．【正确答案】【分析】由折叠的性质折叠次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案．【详解】解：折叠2次可得：，折叠3次可得：，折叠4次可得：，…由折叠的性质折叠次可得，在四边形内有四边形的内角和为知：．17．【正确答案】见详解【分析】本题考查了作图-复杂作图：作线段垂直平分线．作的垂直平分线交直线l于P点即可．【详解】解：如图，点P即为所作，18．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式、平方差公式以及根式的化简和运算．解题时需注意公式的应用和根式的简化．（1）先利用完全平方公式和二次根式的除法进行计算，最后合并即可；（2）先利用平方差公式进行计算，将除法化成乘法，之后计算乘法，最后化简二次根式后合并即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．19．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择恰当的方法进行求解是解题的关键．（1）先用加减消元法求出，将代入①求出，即可求解；（2）原方程组可化为，将方程组的第二个方程化为，用代入消元法进行求解即可．【详解】（1）解：①得，③，②③得，，解得：，将代入①得，，解得：，原方程组的解为；（2）解：原方程组可化为，由②得，③，将③代入①得，，解得：，将代入③得，，原方程组的解为．20．【正确答案】（1）100，90.5（2）成绩为优秀的有390人（3）不对，理由见详解（4）甲班，理由见详解【分析】本题考查了频数分布表、中位数、众数和方差，用样本估计总体，利用平均数和方差做决策，熟练掌握中位数、众数和平均数定义是解题的关键．（1）根据中位数和众数的求法解答，即可求解；（2）用600乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解；（3）根据中位数的意义求解即可；（4）从平均数和方差的角度分析，即可求解（答案不唯一）．【详解】（1）解：在78，83，89，98，100，94，90，93，95，100这组数据中，100出现的次数最多，故；乙班10名学生测试成绩中，中位数是，∴．故100，90.5；（2）解：根据题意得：（人）．答：估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有390人；（3）解：小华的说法不正确，理由如下：小明的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数93.5比较，∵小明的成绩是93分低于中位数93.5，∴小明的成绩低于一半学生的成绩；（4）解：甲班本次测试的整体成绩较好．理由如下：∵甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班平均数90，且甲班方差46.8＜乙班方差50.2，∴甲班本次测试的整体成绩较好（答案不唯一）．21．【正确答案】（1）有三种正确命题，命题1：；命题2：；命题3：（2）答案不唯一，见详解【分析】（1）根据题意，结合平行线的性质和角平分线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．（2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明．【详解】（1）解：上述问题有三种正确命题，分别是：命题1：；命题2：；命题3：．（2）解：选择命题1：．证明：∵，∴，．∵，∴．∴平分．选择命题2：．证明：∵，∴，．∵平分，∴．∴．选择命题3：．证明：∵平分，∴．∴，∵，∴．∴，∴．22．【正确答案】（1）这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元（2）用原来的方法购买花钱少【分析】（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，根据题中的数量关系，全组共有20名同学，若每人各买1支型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元，若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，列出方程组求解即可．（2）在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少，这就要计算一下，按新的销售方法，需要出多少钱，然后比较．如果安原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元，则．如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则．【详解】解:（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，则根据题意得：解得：答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元；（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元，则，如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则于是，∵，∴，∴可见，当时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多．答：用原来的方法购买花钱少．23．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用．（1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论；（2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，，由（1）知，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．24．【正确答案】（1）60，20（2）19，24（3）【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）由