山东省烟台市招远市2025~2026学年上册中考试九年级数学试题【附解析】

/山东省烟台市招远市2025−2026学年上学期中考试九年级数学试题一、单选题1．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．关于抛物线，下列说法正确的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴是C．顶点坐标是D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线3．下列说法中，正确的是（）A．在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍B．若为锐角，，则C．D．三角形的三边长为，则4．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（

）A．0 B． C．2 D．5．如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（

）A．B．C．D．6．如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点7．如图，在矩形OABC中，，，将矩形绕点C逆时针旋转至矩形，若经过点B，则的度数为（

）A． B． C． D．8．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，如下表，则代数式的值等于（）x…－3－2－10…y…－9－3－1－3…A．1 B． C． D．9．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则的值为（

）A． B． C． D．10．如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．若函数是关于x的二次函数，则m的值为．12．如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端A离墙根的垂直距离米，则梯子顶端B距地面的垂直高度的值为米．13．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．14．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为．15．如图，在平面直角坐标系中，的边轴于点A，，反比例函数的图象分别过边的中点D，顶点C，若，，则k的值为．16．如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为．三、解答题17．计算：（1）（2）18．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接．（1）求反比例函数解析式；（2）请用无刻度直尺和圆规，在轴负半轴上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）．19．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧．（1）请直接写出抛物线C的对称轴，并写出a的值；（2）在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标．20．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，）21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为．（1）则，；（2）若时，则的取值范围是；（3）过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD的长．22．【问题提出】已知，都是锐角，，，求的度数．【问题解决】（1）如图，小明同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点都在格点上）【策略迁移】（2）已知都是锐角，，，则的度数为．（要求；在备用图1中画出求解过程的图形，并直接写出答案）（3）已知都是锐角，，，，求的值．（要求：1．在备用图2中画出求解过程的图形，2．简明写出过程或直接写出答案）23．“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元．（1）求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？（2）A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围．（3）在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？24．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是．①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形；（3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是．25．已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移4个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点E的坐标；（2）连接，点是线段上一动点，连接，作射线．①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，点M的坐标为；②点N是射线上一动点，且满足．在第四象限内过点C作射线，在射线上取一点G，使．连接．求的最小值；（请在备用图中画出草图再求解）（3）点P在抛物线的对称轴上，若，请直接写出点P的坐标．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可．【详解】解：①，不是反比例函数；②，是反比例函数；③，是反比例函数；④，分母不是，不是反比例函数；⑤，即，是反比例函数；⑥，不是反比例函数；⑦，即，是正比例函数，不是反比例函数．∴是反比例函数的有②、③、⑤，共3个．故选B．2．【正确答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】A、抛物线中的，则该抛物线的开口方向向上，本选项错误；B、抛物线的对称轴是，本选项错误；C、抛物线的顶点坐标是，本选项正确；D、抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线，本选项错误．故选C．3．【正确答案】B【分析】本题考查三角函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角函数的定义和性质逐项判断正误．【详解】解：A∶在中，锐角A的两边都扩大3倍，但是邻边与斜边的比值，∴比值不变，故A错误．B∶，设对边，邻边，则斜边，∴，故B正确．C∶，两者不相等，C错误．D∶不一定是直角三角形，不一定等于，D错误．故选4．【正确答案】D【分析】本题考查了反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：点在反比例函数的图象上，，即．将代入代数式，得：．故选D5．【正确答案】C【分析】本题主要考查了解直角三角形以及计算器．先求出，再求出，即可求解．【详解】解：根据题意得：，，∴，∴，故A、B选项错误，不符合题意；，故D选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意；故选C6．【正确答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式求得对称轴，与轴交点坐标为，即可得到所在坐标系的原点．【详解】解：∵，∴对称轴是，与轴交点坐标为，∴点是二次函数所在坐标系的原点；故选D．7．【正确答案】A【分析】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．由矩形的性质得，，由旋转得，，则，所以，求得，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，若经过点，，，，，，故选A．8．【正确答案】A【分析】本题考查二次函数的对称性，顶点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键．由表格数据可知，当和时，y值均为，根据二次函数的对称性，对称轴为，顶点坐标为，代入顶点公式关系求解．【详解】解：∵时，时，∴对称轴为，∴顶点横坐标为，由表格知代入时，∴顶点纵坐标，即∴．故选A．9．【正确答案】D【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为可得，由值几何意义可知，，利用相似三角形的性质即可得到结果．【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，，，，，∵，，，．故选D．10．【正确答案】C【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由时函数取最大值可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线对称轴为，∴，②正确．∴，①正确．∵时，∴时，，③不正确．由图象可得时，函数值取最大值，即，∴，④正确．故选C．11．【正确答案】1【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值．【详解】解：函数是关于x的二次函数，，，解得.12．【正确答案】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正切的定义计算即可．【详解】解：在中，，，米，，（米.13．【正确答案】－3＜x＜1【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．14．【正确答案】【分析】本题考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意得，从而得出，设，则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案．【详解】解：如图，由题意得：，，∴，设，则，，在中，，．15．【正确答案】10【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，三角形的面积，正确表示出线段的长度是解题的关键．设，由反比例函数的图象过顶点C，可知，由题意，，，利用三角形面积公式，根据即可求得．【详解】解：设，∵反比例函数的图象过顶点C，∴，∵的边轴于点A，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．16．【正确答案】或【分析】利用分类思想，当，延长交于M，过点F作，交的延长线于N，结合三角形相似，三角函数解答即可．【详解】解：①如图1所示，当，延长交于M，过点F作，交的延长线于N．∴．∵，∴．设，∴．∵，∴四边形是矩形．∴．∴．∵，∴．∴，即．∴．∴；②如图2所示，，由邻补角定义可得．在中，．综上所述，BE的长度是或．17．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）先计算零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数，再进行加减计算；（2）先计算特殊角的三角函数值，然后再进行加减计算．【详解】（1）解：；（2）解：．18．【正确答案】（1）（2）见详解【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，尺规作图：（1）把代入，即可求解；（2）过点B作交x轴于点D，即可．【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，，，反比例函数解析式为；（2）解：如图所示，点即为所求．理由：由作法得：，∵轴，即，∴，平行x轴，∴，，∴．19．【正确答案】（1），8（2）线段的长度为，【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键。（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令，转化为方程求出即可；（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．【详解】（1）解：原解析式变形为顶点式得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，此时取得最大值5．把代入得，（舍去）．；故，8；（2）解：变形为顶点式得，，顶点坐标为，根据平移规律可知，抛物线向左平移了3个单位，向下平移了5个单位．点坐标为，的坐标为，即，线段的长度为，线段的长度为．20．【正确答案】，【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角，解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）根据教学楼门前台阶斜坡的坡比为计算即可；（2）作于，根据矩形的性质得到，，设，则，可证得，则，根据列方程求解得到答案．【详解】解：教学楼门前台阶斜坡的坡比为，为，，，即台阶的高度为；如图所示，作于，由题意得，四边形是矩形，，，设，则，在中，，，，，即，解得，经检验，是原方程的解，答：孔子雕像的高度约．21．【正确答案】（1），（2）或（3）【分析】此题考查了反比例函数的图形和性质，勾股定理，三角形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．（1）先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式中求出；（2）根据图象直接得出结论；（3）先求出，，再求出，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为，在反比例函数的图象上，，，故，；（2）解：由（1）知，，，，当或时，，故或；（3）解：轴，，，，点到的距离，作轴，轴，由勾股定理得：，，，．22．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】本题考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是学会数形结合的思想解决问题．（1）连接，利用勾股定理逆定理和等腰直角三角形的性质求解；（2）构造等腰直角三角形可得结论；（3）构造直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如图，连接，，，，，，；（2）如图，连接，由题意，，，，∵，∴，是等腰直角三角形，且，，故；（3）如图，，，，由勾股定理得：，∴，∴为直角三角形，且，在中，，，．23．【正确答案】（1）A类腊肠的售价为元/件，B类腊肠的售价为元/件（2）（）（3）²，每件A类腊肠降价2元时利润最大，最大利润为元【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数或一元一次方程．（1）根据题意设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可；（2）根据降价1元，每天可多售出件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到得取值范围；（3）结合（2）中类腊肠降价元与每天的销售量件，得到类腊肠的利润，整理得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元，根据题意得，解得，则每件类腊肠的售价（元，答：类腊肠的售价为元件，类腊肠的售价为元件；（2）解：由题意得，类腊肠进价元件，售价为元件，且每件售价不低于进价，，答：；（3）解：，，当时，有最大值，答：类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元．24．【正确答案】（1）③；（2）、、；（3）．【分析】本题主要考查了三角函数的应用、三角形内角和定理以及三角形的边角关系等知识点．解题关键在于对于解直角三角形，要清楚不同条件下能否唯一确定三角形的其他元素．解三角形时，通过作高将三角形转化为直角三角形，利用三角函数建立边与角的关系．确定三角形解的个数时，根据直角三角形的边角关系和图形特点来分析边的取值范围．（1）判断解直角三角形的条件：根据直角三角形的性质和三角函数的定义，分析每个条件能否求出其他未知元素．（2）解三角形：通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出相关边的长度，再根据三角形内角和定理求出第三个角．（3）确定的取值范围：作高构造直角三角形，求出高的长度，再结合三角形解的个数与边的关系，确定的取值范围．【详解】解：（1）判断解直角三角形的条件：①已知两条边：根据勾股定理可求出第三边，再利用三角函数可求出两个锐角，所以能解直角三角形．②已知一条边和一个锐角：利用三角函数可求出其他边，再根据直角三角形两锐角互余可求出另一个锐角，所以能解直角三角形．③已知两个角：只知道三角形的三个角，没有边的信息，无法确定三角形的大小，所以不能解直角三角形．故③．（2）如图，过点作于点在中，,设，则，．在中，,设，则．∴即∴，，,在中，由勾股定理可知（3）如图，过点作于点在中，,∴由勾股定理可知∴当时，无法构成三角形，故舍去；当时，是直角三角形有一解；当时，以为圆心，为半径画弧与有两个交点，此时有两解．当时，有一解；综上所述的取值范围是．25．【正确答案】（1