2026赢在微点 高考数学考前顶层设计 数学专项微测含答案

2026赢在微点高考数学考前顶层设计数学专项微测第一部分小题标准测小题标准测1“8+3+3”73分测一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2025·全国二卷)样本数据2,8,14,16,20的平均数为(C)A.8 B.9 C.12 D.18解析15(2+8+14+16+20)=12,故选C2.(2025·全国一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为(C)A.0 B.3 C.5 D.8解析U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故∁UA={2,4,6,7,8},故∁UA中有5个元素.故选C.3.(2025·长沙模拟)在复平面内,若i是虚数单位,复数z与21+i3关于虚轴对称,则z=A.1+i B.-1-iC.-1+i D.1-i解析因为21+i3=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,由复数z与21+4.(2025·日照一模)已知α是第一象限角,且sinα+cosα=3cosαtanα,则sinα+π2的值为(A.-55 B.-255 C.5解析因为sinα+cosα=3cosαtanα,所以sinα+cosα=3sinα,所以cosα=2sinα,左右两侧平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α),所以5cos2α=4,又因为α是第一象限角,所以cosα=255,则sinα+π2=cos5.(2025·贵州模拟)已知数列{an}满足an+1=22-an,且a1=12,则a2025A.3 B.43 C.12解析由题意数列{an}满足an+1=22-an,且a1=12,得a2=22-12=43,a3=22-43=3,a4=22-3=-2,a5=22+2=12,由此可知数列{an}是周期为4的周期数列,6.(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy中,|OA|=|OB|=2,|AB|=2,设C(3,4),则|2CA+AB|的取值范围是(D)A.[6,14] B.[6,12]C.[8,14] D.[8,12]解析因为|OA|=|OB|=2,|AB|=2,所以|OA|2+|OB|2=|AB|2=4,所以OA⊥OB,且点A,B在以点O为圆心,2为半径的圆上,如图,所以|2CA+AB|=|CA+CB|=|OA-OC+OB-OC|=|OA+OB-2OC|,所以|2CA+AB|2=(OA+OB)2+4OC2-4(OA+OB)·OC=OA2+OB2+4OC2-4(OA+OB)·OC=104-4(OA+OB)·OC.令OD=OA+OB,则点D在以点O为圆心,2为半径的圆上,所以(OA+OB)·OC=OD·OC=|OD||OC|cos<OD,OC>=10cos<OD,OC>.因为<OD,OC>∈[0,π],所以(OA+OB)·OC∈[-10,10],所以|2CA+AB|2=104-4(OA+OB)·OC∈[64,144],所以|2CA+AB|∈[8,12]7.(2025·杭州模拟)已知表面积为16π的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切,若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍,则该圆台的体积为(D)A.1003π B.32π C.923π 解析设球的半径为R(R>0),由4πR2=16π,解得R=2.作出圆台的轴截面,如图,设CO1=r(r>0),则O2B=4r,由相切的性质可知MC=CO1=r,O2B=BM=4r,易知OC,OB分别是∠DCB,∠ABC的平分线,即∠OCM=12∠O1CM,∠OBM=12∠O2BM,又∠O1CM+∠O2BM=180°,所以∠OCM+∠OBM=12(∠O2BM+∠O1CM)=90°,所以∠COB=90°,所以OC⊥OB,又OM⊥BC,则∠OCM=∠BOM,所以△OCM∽△BOM,即OMMB=CMOM,所以OM2=MC·MB,所以22=4r2,解得r=1(负值已舍去),所以该圆台的体积为V=13π[r2+(4r)2+4r2]×h=138.设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点Mx1+x22,y1+y22,可得kAB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2,因为A,B在双曲线上,则x12-y129=1,x22-y229=1,两式相减得(x12-x22)-y12-y229=0,所以kAB·k=y12-y22x12-x22=9.对于选项A:可得k=1,kAB=9,则AB:y=9x-8,联立方程y=9x-8,x2-y29=1,消去y得72x2-2×72x+73=0,此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;对于选项B:可得k=-2,kAB=-92,则AB:y=-92x-52,联立方程y=-92x-52,x2-y29=1,消去y得45x2+2×45x+61=0,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2025·河南模拟)坐位体前屈(SitAndReach)是一种体育锻炼项目,也是大中小学体质健康测试项目.已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩ξ(单位:cm)服从正态分布N(20,σ2),且P(ξ≥22)=0.1,现从该地区高三女生中随机抽取3人,记ξ不在区间(18,22)的人数为X,则(BC)A.P(18<ξ<22)=0.9 B.E(3X+2)=3.8C.D(5X)=2.4 D.P(X≥1)=0.476解析对于A,由ξ~N(20,σ2),得P(ξ≤18)=P(ξ≥22)=0.1,则P(18<ξ<22)=1-0.1-0.1=0.8,A错误;对于B,由A知,ξ不在区间(18,22)的概率为0.2,X~B(3,0.2),E(X)=0.6,因此E(3X+2)=3E(X)+2=3.8,B正确;对于C,由B知,D(X)=3×0.2×0.8=0.48,因此D(5X)=5D(X)=2.4,C正确;对于D,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.83=0.488,D错误.10.(2025·哈尔滨模拟)函数f(x)=2sinωx+π3(|ω|≤1)的图象如图所示,则下列说法中正确的是(A.ω=1B.函数f(x)的图象关于点π3C.将y=f(x)向左平移π3个单位长度,得到函数g(x)=2cosD.若方程f(2x)=m在0,π2上有2个不相等的实数根,则m的取值范围是[3,解析观察可得函数f(x)的图象过点π6,2,所以2sinπ6ω+π3=2,所以π6ω+π3=2kπ+π2,k∈Z,所以ω=12k+1,k∈Z,又|ω|≤1,所以ω=1,A正确;所以f(x)=2sinx+π3,因为x=π3时,x+π3=2π3,所以点π3,0不是函数f(x)的图象的对称中心,B错误;函数y=f(x)向左平移π3个单位长度,可得函数y=2sinx+2π3的图象,又y=2sinx+2π3=2sinx+π6+π2=2cosx+π6,所以C正确;因为f(2x)=2sin2x+π3,由0≤x≤π2可得,π3≤2x+π3≤4π3,令t=2x+π3,由已知可得2sint=m在π3,4π3上有2个不相等的实数根,因为函数y=2sint在π3,π2上单调递增,在π211.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图,曲线C:(x2+y2)2=a(x2-y2)是双纽线,关于曲线A.a=9B.C上存在点(x0,y0),使得x0C.C上的点的纵坐标的最大值为3D.若直线y=kx与C恰有一个公共点,则k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)解析由题图可知,点(3,0)在C上,所以a=9,A正确.设曲线C上任一点P(x,y),由(x2+y2)2=9(x2-y2),可得0<x2+y2=9(x2-y2)x2+y2≤9,x2+y2≤3,即C上不存在点(x0,y0),使得x02+y02>3,B不正确.方程(x2+y2)2=9(x2-y2)可化为x4+(2y2-9)x2+y2(y2+9)=0,令t=x2,得t2+(2y2-9)t+y2(y2+9)=0,由Δ=(2y2-9)2-4y2(y2+9)=-9(8y2-9)≥0,t1+t2=-(2y2-9)≥0,t1t2=y2(y2+9)≥0,可得0≤y2≤98,即-324≤y≤324,等号成立,故C上的点的纵坐标的最大值为324,C正确.直线y=kx与C均经过原点(0,0),则直线y=kx与C除原点外无其他公共点.联立方程组(x2+y2)2=9(x2-y2),y=kx,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2025·内江一模)若函数f(x)=mcosx1+ex-cosx为奇函数,则实数m解析函数f(x)=mcosx1+ex-cosx为定义在R上的奇函数,所以f(0)=mcos01+e0-cos0=m13.(2025·福建模拟)若曲线y=lnx在x=1处的切线也是曲线y=x2+3x-2+a的切线,则实数a=2.解析令y=f(x)=lnx,则f(1)=0,故切点为(1,0),设切线斜率为k,而f'(x)=1x,则k=f'(1)=1,则曲线在x=1处的切线方程为y=x-1,由题意得曲线y=lnx在x=1处的切线也是曲线y=x2+3x-2+a的切线,联立方程组y=x-1,y=x2+3x-2+a,得到x2+2x-1+a=0,则Δ=4-4(a-1)=014.若函数y=f(x)满足:对任意的正实数m,n,有f(m+n)>f(m)+f(n)恒成立,则称函数y=f(x)为“Γ函数”.若函数f(x)=ln(x+1)+ax2是“Γ函数”,则实数a的取值范围是

12,+∞解析由题可知,∀m,n∈(0,+∞),有ln(m+n+1)+a(m+n)2>ln(m+1)+am2+ln(n+1)+an2恒成立,即2amn+ln(m+n+1)-ln(m+1)-ln(n+1)>0恒成立.令φ(x)=2anx+ln(x+n+1)-ln(x+1)-ln(n+1),x≥0,n>0.所以φ'(x)=2an+1x+n+1-1x+1,令h(x)=φ'(x),所以h'(x)=-1(x+n+1)2+1(x+1)2>0,所以φ'(x)在区间[0,+∞)上单调递增.①当a≥12时,φ'(x)≥n+1x+n+1-1x+1=n1-1(x+1)(x+n+1)>0恒成立,故φ(x)在区间[0,+∞)上单调递增.因为m>0,所以φ(m)>φ(0)=0成立,符合题意;②当a≤0时,φ'(x)<0恒成立,所以φ(x)在区间[0,+∞)上单调递减.因为m>0,所以φ(m)<φ(0)=0,与题意矛盾;③当0<a<12时,φ'(0)=2an-nn+1=n·2a-1n+1,当n∈0,12a-1时,φ'(0)<0.又φ'(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且φ'12a-1=2an1-112a+n>2an(1-2a)>0,所以∃x0∈(0,12a-1),使得φ'(x0)=0,当x∈[0,x0)时,φ'(x)<0,φ(x)在区间[0,x0)上单调递减.所以∃m∈(0,小题标准测2“8+3+3”73分测一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2025·天津高考)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(D)A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}C.{2,4} D.{4}解析由题可得A∪B={1,2,3,5},所以∁U(A∪B)={4},故选D.2.(2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为(C)A.-1 B.0 C.1 D.6解析(1+5i)i=-5+i,其虚部为1.故选C.3.(2025·佳木斯模拟)在等比数列{an}中,记其前n项和为Sn,已知a3=-a2+2a1,则S8S4的值为A.2 B.17C.2或8 D.2或17解析由等比数列的通项公式可得a1q2=-a1q+2a1,整理得q2+q-2=0,解得q=1或q=-2.当q=1时,S8S4=8a14a1=2;当q=-2时,S8S4=a1(q4.(2025·齐鲁名校一模)设甲:曲线x2cos2θ+y2sin2θ=1表示焦点在x轴上的椭圆,A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析由条件可知,若甲正确,则cos2θ>sin2θ>0,即cos2θ-sin2θ>0,cos2θ>0,且sin2θ>0,得2θ是第一或第四象限角,即甲是乙的充分条件;反过来,若2θ是第一或第四象限角,则cos2θ=cos2θ-sin2θ>0,即cos2θ>sin2θ,此时sinθ≠0,即sin2θ>0,所以cos2θ>sin2θ>0,则甲也是乙的必要条件.所以甲是乙的充要条件.故选C.5.(2025·郑州二模)函数f(x)=2sin2x+π6与函数g(x)=log2x的图象交点个数为(A.3 B.5 C.6 D.7解析通过五点法π6,2,5π12,0,2π3,-2,11π12,0,7π6,2作出周期函数f(x)的图象,再通过两点法(1,0),(4,2)作出单调函数g(x)=log2x的图象,6.曲线f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(A)A.12 B.1 C.e2解析由f(x)=lnx,求导得f'(x)=1x,则f'(1)=1,而f(1)=0,因此曲线f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线为y-0=x-1,该切线交x轴于点(1,0),交y轴于点(0,-1),所以该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×1×1=7.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度,蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图,如图所示.设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点,A,B为两个固定顶点,则PA·PB的最大值为(B)A.44 B.48 C.72 D.76解析建立如图所示的平面直角坐标系,设点P(x,y),正六边形的边长为4,所以A(-8,0),B(8,0),所以PA=(-8-x,-y),PB=(8-x,-y),所以PA·PB=-(8+x)(8-x)+y2=x2+y2-64,设点P(x,y)到原点的距离为d,则PA·PB的最大值为dmax2-64,由图可知,离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点,如图,可取P(8,43),所以dmax2-64=|OP|2-64=64+48-64=48,即PA·8.(2025·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)>f(x)+f(x-1),且当x<4时,f(x)=x2,则下列结论一定正确的是(C)A.f(8)>100 B.f(8)<100C.f(16)>1000 D.f(16)<10000解析因为当x<4时,f(x)=x2,所以f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,又因为f(x+1)>f(x)+f(x-1),所以f(4)>f(3)+f(2)=13,f(5)>f(4)+f(3)>22,f(6)>f(5)+f(4)>35,f(7)>f(6)+f(5)>57,f(8)>f(7)+f(6)>92,f(9)>f(8)+f(7)>149,f(10)>f(9)+f(8)>241,f(11)>f(10)+f(9)>390,f(12)>f(11)+f(10)>631,f(13)>f(12)+f(11)>1021,f(14)>f(13)+f(12)>1652,f(15)>f(14)+f(13)>2673,f(16)>f(15)+f(14)>4325,故C正确,A错误,且无证据表明BD正确.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数、中位数、方差、极差分别记为a1,b1,c1,d1,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=kxi+2025(i=1,2,…,n),其平均数、中位数、方差、极差分别记为a2,b2,c2,d2,则(ABC)A.a2=ka1+2025 B.b2=kb1+2025C.c2=k2c1 D.d2=kd1解析对于A选项,由平均数的性质可得a2=ka1+2025,A对;对于B选项,不妨设x1≤x2≤…≤xn,若n为奇数,设n=2m+1(m∈N),则数据x1,x2,…,x2m+1的中位数为xm+1,若k>0,新样本数据由小到大依次为y1,y2,…,y2m+1,这组数据的中位数为b2=ym+1=kxm+1+2025=kb1+2025;当k≤0,新样本数据由小到大依次为y2m+1,y2m,…,y1,这组数据的中位数为b2=ym+1=kxm+1+2025=kb1+2025;若n为偶数,同理可知,b2=kb1+2025,B对;对于C选项,由方差的性质可得c2=k2c1,C对;对于D选项,若xi,xj(1≤i,j≤n)是x1,x2,…,xn中的最大值、最小值,当k>0时,则yi=kxi+2025为y1,y2,…,yn中的最大值,yj=kxj+2025为y1,y2,…,yn中的最小值,此时,d2=yi-yj=k(xi-xj)=kd1;当k≤0时,则yi=kxi+2025为y1,y2,…,yn中的最小值,yj=kxj+2025为y1,y2,…,yn中的最大值,此时,d2=yj-yi=-k(xi-xj)=-kd1,D错.10.(2025·河南四市二模)塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有tanh(x)=ex-e-xex+e-x,sig(x)=ex1+ex,设tanh(x)的值域为DA.E⊆DB.i=12025[sig(i)+sig(-i)]C.方程2sig(x)=1+tanx的所有实根之和为1D.若关于x的不等式sig(ex+e-x)+sig(-m2+2m+1)>1恒成立,则实数m的取值范围为(-1,3)解析对于A,因为tanh(x)=ex(ex-e-x)ex(ex+e-x)=e2x-1e2x+1=1-2e2x+1,所以tanh(x)在R上为增函数,且tanh(x)的值域为(-1,1)=D,又sig(x)=ex1+ex=11+e-x∈(0,1)=E,所以E⊆D,故A正确;对于B,因为sig(x)+sig(-x)=ex1+ex+e-x1+e-x=ex1+ex+11+ex=1,所以i=12025[sig(i)+sig(-i)]=2025,故B正确;对于C,因为2sig(x)=1+tanx,所以sig(x)=12+12tanx,由B知sig(x)的图象关于点0,12对称,又y=12+12tanx的图象也关于点0,12对称,所以两函数图象的交点也关于点0,12对称,则方程2sig(x)=1+tanx的所有实根之和为0,故C错误;对于D,易知sig(x)为增函数,又sig(x)+sig(-x)=1,由题得sig(ex+e-x)>1-sig(-m2+2m+1)=sig(m211.如图,是某同学发现的一种曲线,因形如小恐龙,因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线C:x2+y3-axy=20,下列说法正确的是(ABC)A.曲线C与直线x=8最多存在3个交点B.若曲线C如图所示(x轴向右为正方向,y轴向上为正方向),则a>0C.存在a,使得曲线C是偶函数的图象D.当a=3时,曲线C中x≥8的部分可以表示为y关于x的某一函数解析对于A,曲线C:x2+y3-axy=20,令x=8,得关于y的一元三次方程y3-8ay+44=0,令f(y)=y3-8ay+44,则f'(y)=3y2-8a,所以方程f'(y)=0最多有两个实根,即函数f(y)最多有两个极值点,即方程y3-8ay+44=0最多有三个实根,因此曲线C与直线x=8最多存在3个交点,故A正确;对于B,若曲线C如题图所示,则存在x0>0,使得直线x=x0与曲线C有三个交点,即存在x0>0,使得关于y的方程y3-ax0y+x02-20=0有三个实根.令f(y)=y3-ax0y+x02-20,则f'(y)=3y2-ax0.假设a≤0,则∀x0>0都有f'(y)≥0且等号不恒成立,即f(y)单调递增,则方程y3-ax0y+x02-20=0在(0,+∞)上最多有一个实根,与题图矛盾,假设错误.故a>0,故B正确;对于C,当a=0时,曲线C:x2+y3=20,即为函数y=320-x2的图象,设f(x)=320-x2,x∈R,定义域关于原点对称,且f(-x)=320-(-x)2=320-x2=f(x),所以f(x)是偶函数,故存在a,使得曲线C是偶函数的图象,故C正确;对于D,当a=3时,曲线C的方程为x2+y3-3xy-20=0.令x=8,得y3-24y+44=0,令f(y)=y3-24y+44,则f(0)=44>0,f(3)=-1<0,f(4)=12>0,由零点存在定理可知,方程f(三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知α,β满足tanαtanβ=5,sin(α-β)=15,则sin(α+β)=

3解析因为tanαtanβ=sinαcosα×cosβsinβ=5,所以sinαcosβ=5cosαsinβ,又因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=4cosαsinβ=15,所以cosαsinβ=120,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=6cosαsinβ13.(2025·呼和浩特一模)边长为2的正方形,经如图所示的方式裁剪后,可以围成一个正四棱锥,若内部小正方形的边长为12,则此正四棱锥的体积为

224解析如图①,设底面ABCD的中心为O,设线段AD的中点为E,连接PE,OE,因为PA=PD,则PE⊥AD,因为O为BD的中点,则OE∥AB,OE=12AB=14,且AB⊥AD,所以OE⊥AD,翻折前,则P,O,E三点共线,则PE+OE=PE+14=1,可得PE=34,翻折后,在正四棱锥P⁃ABCD中,如图②所示,由正四棱锥的几何性质可得PO⊥平面ABCD,因为OE⊂平面ABCD,所以PO⊥OE,由勾股定理可得PO=PE2-OE2=342-142=22,正方形ABCD的面积为S=122=14,因此,14.(2025·临汾模拟)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线与E的左支交于A,B两点,M为线段AB的中点,若|MF|=42|OF|(O为坐标原点),则双曲线解析设双曲线E的半焦距为c,则F(-c,0),直线AB方程为y=x+c,由y=x+c,b2x2-a2y2=a2b2,消去y得(a2-b2)x2+2a2cx+a2(c2+b2)=0,且a2-b2>0,Δ=8a2b4>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2a2ca2-b2,y1+y2=x1+x小题标准测3“8+3+3”73分测一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=2i2-i(i为虚数单位),则|z|=(BA.5 B.255 C.55解析因为z=2i2-i=2i(2+i)(2-i)(2+i)=4i-25=-25+45i,所以|z|=-2.已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|0<log2x<2},则A∩B=(A)A.{x|1<x<3} B.{x|0<x<4}C.{x|0<x<3} D.{x|1<x<4}解析由0<log2x<2,得1<x<4,所以B={x|1<x<4},又A={x|0<x<3},所以A∩B={x|1<x<3}.3.已知向量a,b满足a·(a-2b)=0,则b在a上的投影向量为(B)A.2a B.12a C.2a D.22解析因为a·(a-2b)=0,所以a2-2a·b=0,所以a2=2a·b,从而b在a上的投影向量为|b|cosθ·aa=b·aa·aa=b·aa|24.已知椭圆C:x2a2+y2=1的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合,则C的离心率为A.12 B.34 C.34解析由题意得y2=8x的焦点为(2,0),则a=2,而b=1,得到c=3,即方程为x24+y2=1,则离心率为5.(2025·山东聊城二模)各项均为正数的等比数列{an}的前5项和为312,且3a3+4a1=a5,则a3=(AA.2 B.4 C.8 D.16解析设等比数列的首项为a1,公比为q(q>0),根据题意3a1q2+4a1=a1q4即q4-3q2-4=0,解得q=2(q2=-1舍),而S5=a1q5-1q-1=312,故a1=12,所以a3=a1q2=126.(2025·安徽模拟)如图,这是一朵美丽的几何花,且这八片花瓣的顶端A,B,C,D,E,F,G,H恰好可以围成一个正八边形,设∠ACG=α,∠EBH=β,则tan(α+β)=(D)A.-3 B.-22C.-22+1 D.-2-1解析如图,连接AE,BF,CG,DH,AC,BE,BH,设线段AE与CG的交点为O,线段BH与线段AE的交点为M,因为∠COB=∠AOB=π4,所以∠AOC=π2,又OC=OA,所以∠ACG=∠ACO=π4,设OA=a,则OB=OE=a,所以OM=MB=22a,所以tan∠EBH=tan∠EBM=a+22a22a=2+22=2+1,所以tanα=1,tanβ=2+1,所以tan(7.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=3|BF|,AB的中点到y轴的距离为52,则p的值为(BA.2 B.3 C.4 D.5解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点Fp2,0,准线l:x=-p2,准线交x轴于点K,由对称性,不妨令点A在第一象限,过点A,B分别作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,过点B作BG⊥AD于点G,交FK于点H,令|BE|=|BF|=n,则|AD|=|AF|=3n,|FK|=p,|AG|=2n,|FH|=p-n,由FH∥AG,得|FH||AG|=|BF||AB|,即p-n2n=n4n,则p=3n2,设线段AB的中点为M,过点M作MN⊥l于点N,则|MN|=|AD|+|BE|2=2n=4p3,由AB的中点到y轴的距离为52,得|MN|=p2+58.(2025·江苏模拟)已知函数f(x)=e-x(lna+lnx),若存在x>0,使得f(x)>1a,则实数a的取值范围是(DA.0,1e C.(0,e) D.(e,+∞)解析由题意可知,a>0,x>0,由f(x)=e-x(lna+lnx)>1a,可得lna+lnx>exa=ex-lna,可得x+lnx>ex-lna+x-lna=ex-lna+lnex-lna,令g(x)=x+lnx,其中x>0,则g'(x)=1+1x>0,所以,函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,由x+lnx>ex-lna+lnex-lna可得g(x)>g(ex-lna),则x>ex-lna=exa,可得a>exx,令h(x)=exx,其中x>0,则h'(x)=ex(x-1)x2,当0<x<1时,h'(x)<0,即函数h(x)在(0,1)上递减,当x>1时,h'(x)>0,即函数h(x)在(1,+∞)上递增,所以,a>h(x)min=h二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2025·浙江模拟)已知函数f(x)=sinπ4+x,g(x)=2f(x)f(-x)fx+π4,则下列说法正确的有A.f(x)的最小正周期为2πB.g(x)是偶函数C.g(x)在区间0,πD.g(x)在0,π2解析因为f(x)=sinπ4+x,所以函数f(x)的最小正周期T=2π1=2π,A正确;因为g(x)=2f(x)f(-x)fx+π4,所以g(x)=2sinπ4+x·sinπ4-xsinπ4+x+π4=2cosπ4-x·sinπ4-xcosx=sinπ2-2xcosx=cos2xcosx,函数g(x)的定义域为R,定义域关于原点对称,g(-x)=cos(-2x)cos(-x)=cos2xcosx=g(x),所以函数g(x)是偶函数,B正确,g'(x)=-2sin2xcosx-sinxcos2x=-sinx(4cos2x+cos2x)=-sinx(6cos2x-1),当0<x<π2时,令g'(x)=0,可得cosx=66,设方程cosx=66的解为θ0,即cosθ0=66,0<θ0<π2,当0<x<θ0时,此时sinx>0,6cos2x-1>0,所以g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,θ0)上单调递减,当θ0<x<π2时,此时sinx>0,6cos2x-1<0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)在θ0,π2上单调递增,C错误;因为函数g(x)在(0,θ0)上单调递减,在θ0,π2上单调递增,其中cosθ0=66,0<θ0<π2,又g(0)=cos0·cos0=1,gπ2=cosπ·cosπ2=0,g(θ0)=cos2θ010.(2025·黄山模拟)设函数f(x)=x3-3ax+3,则(BC)A.存在a∈R,使函数f(x)仅有一个极值点B.曲线f(x)关于点(0,3)对称C.当a=1时,9x-y-13=0是曲线f(x)的切线方程D.当a>1时,函数f(x)有唯一零点解析对于A,由题意可得f'(x)=3x2-3a,当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增,无极值点,当a>0时,令f'(x)=0,即3x2-3a=0,解得x=±a,此时函数有两个极值点,所以不存在a∈R,使函数f(x)仅有一个极值点,故A错误;对于B,设(x,y)是f(x)图象上任意一点,则y=x3-3ax+3,点(x,y)关于点(0,3)对称的点为(-x,6-y),将-x代入函数方程可得f(-x)=(-x)3-3a(-x)+3=-x3+3ax+3,而6-y=6-(x3-3ax+3)=-x3+3ax+3,所以曲线f(x)关于点(0,3)对称,故B正确;对于C,当a=1时,f(x)=x3-3x+3,f'(x)=3x2-3,若9x-y-13=0是切线方程,则其斜率为9,令f'(x)=3x2-3=9,解得x=±2,当x=2时,f(2)=23-3×2+3=5,切线方程为y-5=9(x-2),化简可得9x-y-13=0;当x=-2时,f(-2)=(-2)3-3×(-2)+3=1,切线方程为y-1=9(x+2),化简可得9x-y+19=0;所以9x-y-13=0是曲线f(x)的切线方程,故C正确;对于D,由f'(x)=3x2-3a,当a>1时,令f'(x)=0,可得x=±a,当x<-a或x>a时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当-a<x<a时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;f(-a)=(-a)3-3a(-a)+3=-aa+3aa+3=2aa+3>0,f(a)=(a)3-3aa+3=3-2aa=3-2a32.令3-2a32<0,得a>3223≈1.31,所以a>3223时,f(a)<0.当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→-∞,所以当a>3223时,函数f(x)在(-∞,-11.(2025·安徽模拟)已知△ABC中,AB⊥BC,AB=BC=2,E,F分别在线段BA,CA上,且BE=λBA,CF=λCA(λ∈(0,1)).现将△AEF沿EF折起,使二面角A⁃EF⁃C的大小为α(α∈(0,π)).以下命题正确的是(ACD)A.若λ=12,α=π3,则点F到平面ABCB.存在λ使得四棱锥A⁃BCFE有外接球C.若λ=13,则三棱锥F⁃AEB体积的最大值为D.若α=π2,三棱锥A⁃BEF的外接球的半径取得最小值时,λ=解析BE=λBA,CF=λCA(λ∈(0,1)),易知EF∥BC,折叠后的图形中,EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.故点F到平面ABC的距离即为点E到平面ABC的距离.因为AB⊥BC,所以AB⊥EF,所以EF⊥BE,EF⊥AE,所以∠BEA为二面角A⁃EF⁃C的平面角,又AE,BE为平面ABE内两条相交直线,所以EF⊥平面ABE,所以BC⊥平面ABE,又BC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面ABE,所以点E到平面ABC的距离即为点E到AB的距离,A选项:λ=12,α=π3,即BE=AE=1,∠BEA=π3,所以三角形ABE为等边三角形,可得点E到AB的距离为1×sin60°=32,故A正确;B选项:由于直角梯形EFCB不可能共圆,所以四棱锥A⁃BCFE无外接球,所以B错误;C选项:设BE=2λ,则AE=2-2λ,EF=2-2λ,∠AEB=α,VF⁃AEB=13S△ABE·EF=16AE·BE·sin∠AEB·EF=16×2λ(2-2λ)(2-2λ)sin∠AEB,由基本不等式可知:4λ(2-2λ)(2-2λ)≤4λ+2-2λ+2-2λ33=6427,当且仅当4λ=2-2λ=2-2λ,即λ=13时取得最大值,所以VF⁃AEB=16×2λ(2-2λ)(2-2λ)sin∠AEB≤1681sin∠AEB,所以当λ=13,∠AEB=α=π2时,体积取到最大值1681,故C正确;D选项:由题意可知BE=2λ,AE=2-2λ,EF=2-2λ,α=π2,也即EF,EB,EA两两垂直,可以依此构造长方体,长方体的体对角线即为外接球的直径,设外接球半径为r,则(2r)2=4λ2+2(2-2λ)2=12λ2-16λ+8,λ∈(0,1),所以λ=2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知等差数列{an}的首项a1=-3,公差d=2,则该数列的前6项和为12.解析该数列的前6项和为6×(-3)+6×52×2=1213.(2025·天津高考)若a,b∈R,∀x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为-4.解析令t=2a+b,则b=t-2a,所以tx2+(t-2a)x-a-1≤0在[-2,2]上恒成立,即t·(x2+x)≤2ax+a+1在[-2,2]上恒成立,所以∀x∈[-2,2],函数y=t(x2+x)的图象总在直线y=2ax+a+1的下方或与直线相切.函数y=t(x2+x)的图象过点(-1,0)和点(0,0),直线y=2ax+a+1=a(2x+1)+1过定点A-12,1.当t=-1时,如图①,二次函数y=t(x2+x)=-(x2+x)图象的顶点坐标为-12,14,存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.当t∈(-1,0)时,随着t逐渐增大,总存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.当t∈(-∞,-1)时,若t逐渐减小,如图②,取临界位置,即二次函数图象与直线相切时,二次函数y=t(x2+x)的图象过点-12,1,此时t=-4,存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立;若t继续减小,如图③,则定点-12,1在二次函数图象开口的内部,则不存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.①②③14.如图,已知圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,且P是直线l:x+2y+2=0上的一个动点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则线段AB长度的最小值为

2305解析显然P,A,C,B四点共圆,且PC为该圆的一条直径.设这四点所在圆的圆心为Q,而P在直线l:x+2y+2=0上,设P(-2t-2,t),由C(1,1),可知Q-2t+12,t+12,又|QC|2=2t+322+1-t22,则圆Q的方程为x+2t+122+y-t+122=2t+322+1-t22,即x2+y2+(2t+1)x-(t+1)y-t-2=0①,又圆C的半径r=2,圆C的方程可化为x2+y2-2x-2y=0②,由①-②可得圆C与圆Q的公共弦AB所在直线的方程为(2t+3)x+(1-t)y-t-2=0,点C到直线AB的距离d=22t+3)2+(1-t)2小题标准测4“8+3+3”73分测一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2025·全国二卷)已知z=1+i,则1z-1=(AA.-i B.i C.-1 D.1解析1z-1=1i=-i.故选2.(2025·天津高考)设x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由x=0得sin2x=0,所以充分性成立;由sin2x=0得x=kπ2(k∈Z),所以必要性不成立.故“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.故选A3.(2025·湖北一模)集合A=ω>0|函数y=sinωx+π6的最小正周期不小于π2,B={x|y=log2(x-1)-1A.[3,4] B.[4,+∞)C.[3,4) D.(3,4]解析依题意,2πω≥π2,ω>0,解得0<ω≤4,则集合A=(0,4];log2(x-1)-1≥0,解得x≥3,则集合B=[3,+∞),所以A∩B=4.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k是正的常数,如果前10h消除了50%的污染物,那么从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历(A)A.10h B.4h C.40h D.8h解析由题意可知:当t=0时,P=P0,当t=10时,P=50%P0,所以0.5P0=P0e-10k,即0.5=e-10k,即k=ln210,设消除60%的污染物对应时间为t1,即0.4P0=P0e-kt1,设消除80%的污染物对应时间为t2,即0.2P0=P0e-kt2,两式相除可得:2=e-k(t1-t2),即ln2=-k(t1-t2),所以5.(2025·荆州模拟)已知cosθ+π4=-1010,θ∈0,π2,则sinA.4+3310 C.4-3310 解析因为θ∈0,π2,则θ+π4∈π4,3π4,且cosθ+π4=-1010,可得sinθ+π4=1-cos2θ+π4=31010,则sin2θ=sin2θ+π4-π2=-cos2θ+π4=1-2cos2θ+π4=45,cos2θ=cos6.(2025·苏州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且S22=S66=2,则a2025A.122024 B.2 C.2025 解析因为S22=S66=2,则S2=4,S6=12,设等比数列{an}的公比为q(q≠0),当q≠1时,S2=a1(1-q2)1-q=4,S6=a1(1-q6)1-q=12,整理得q4+q2-2=0,即(q2+2)(q2-1)=0,解得q=1或q=-1,若q=-1,S2=a1+a2=a1+a1q=0≠4,所以q≠-1;当q=1时,S2=27.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数,且y=f(2x)的图象关于直线x=1对称,若f(0)=-1,则i=150f(i)=(CA.-1 B.0 C.1 D.2解析由f(x+1)为奇函数,知f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(1)=0,由f(0)=-1,得f(2)=-f(0)=1.由y=f(2x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(4)=f(0)=-1,f(1)=f(3)=0,综上,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,由上f(x)+f(2-x)=0,f(2-x)=f(2+x),得f(x)=-f(2+x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),则4为f(x)的一个周期,所以i=150f(i)=0×12+f(1)+f(2)=18.(2025·辽宁鞍山二模)如图,圆O:x2+y2=4与x轴交于A,B两点,l1,l2是分别过A,B的圆O的切线,过圆O上任意一点P作圆O的切线,分别交l1,l2于C,D两点,记直线AD与BC交于点M,则点M的轨迹方程为(B)A.x2+y2=1(y≠0) B.x24+y2=1(yC.x2+y2=2(y≠0) D.x24+y22=1解析设点P(x0,y0),当圆心O与切点P所成直线的斜率不存在时,即当点P(0,±2)时,易知点C(-2,2),D(2,2),所以此时点M为矩形ABDC的对角线的交点,即M(0,1);当圆心O与切点P所成直线的斜率存在时,则kOP=y0x0,因为OP⊥CD,所以切线CD的斜率为kCD=-1kOP=-x0y0,又切线CD过点P(x0,y0),所以切线CD的方程为y-y0=-x0y0(x-x0),整理得x0x+y0y=x02+y02,又点P在圆O上,所以x02+y02=4,故切线CD的方程为x0x+y0y=4.易知A(-2,0),B(2,0),在切线CD的方程中,令x=-2,则y=4+2x0y0,令x=2,则y=4-2x0y0,所以C-2,4+2x0y0,D2,4-2x0y0,所以直线AD的斜率kAD=4-2x0y02-(-2)=2-x02y0,直线AD的方程为y=2-x02y0(x+2),直线BC的斜率kBC=4+2x0y0-2-2=2+x0-2y0,直线BC的方程为y=2+x0-2y0(x-2),联立直线AD和直线BC的方程y=2-x02y二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知定义域为R的函数f(x)满足∀a,b∈R,f(a+b)+f(a)f(b)=9ab,且f-13≠0,记an=f(n),n∈N*,则下列结论正确的是(ABCA.f(0)=-1 B.f(1)=2C.{an}为等差数列 D.i=120ai解析对于A,令a=-13,b=0,则f-13+f-13f(0)=0,又f-13≠0,所以1+f(0)=0,即f(0)=-1,A正确.对于BC,令a=13,b=-13,则f(0)+f13f-13=9×13×-13=-1,由f(0)=-1,f-13≠0,可得f13=0,令b=13,则fa+13=3a,令m=a+13,则a=m-13,所以f(m)=3m-13=3m-1,所以f(a)=3a-1,则f(1)=2,an=f(n)=3n-1,故10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=b(a+b),则(BCD)A.c<b B.C=2BC.B∈0,π3 D.ab∈(0解析对于A,因为c2=b(a+b),a+b>c>0,所以c2>bc,所以c>b,所以A错误,对于B,因为c2=b(a+b),所以由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=a2+ab2ac=a+b2c=c2b2c=c2b,所以由正弦定理得cosB=sinC2sinB,所以sinC=2sinBcosB=sin2B,因为C∈(0,π),2B∈(0,2π),所以C=2B或C+2B=π,若C+2B=π,则A=B,所以a=b,此时c2=b(a+b)=a2+b2,所以C=π2,则A=B=π4,此时C=2B,所以B正确,对于C,由选项B可知C=2B,所以B+C=3B∈(0,π),所以B∈0,π3,所以C正确,对于D,由正弦定理得ab=sinAsinB=sin(π-B-C)sinB=sin(B+C)sinB=sinBcosC+cosBsinCsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB=cos2B+2sinBcos2BsinB=2cos2B-1+2cos2B=4cos2B-1,因为B∈0,π3,所以cosB∈12,1,所以cos2B∈14,1,所以11.(2025·青岛一模)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点,O为坐标原点,点P(2,x0)为C上一点,且|PF|=3,则(BD)A.过点M(2,3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条B.当△AOB的面积为22时,|AF|·|BF|=8C.△AOB为直角三角形D.2|AF|+|BF|的最小值为3+22解析抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2.因点P(2,x0)为C上一点,且|PF|=3,由抛物线定义可得2+p2=3⇒p=2,则抛物线方程为:y2=4x.对于A,注意到32>4×2,则点M在抛物线外,如图所示,则过M点可做抛物线的两条切线,另外直线y=3过点M,且与抛物线只有一个公共点,故过点M(2,3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条,故A错误;对于B,设直线AB的方程为:x=my+1,将直线AB的方程与抛物线联立,可得:y2=4(my+1)⇒y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,可得:y1+y2=4m,y1y2=-4,由图可得S△AOB=12|OF||y1-y2|=|y1-y2|2=22⇒(y1-y2)2=32,则(y1+y2)2-4y1y2=16(m2+1)=32⇒m2=1.又由抛物线定义可得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=-4m2+8m2+4=8,故B正确;对于C,可得注意到OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),则OA·OB=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-4(m2+1)+4m2+1=-3<0,故∠AOB为钝角,则△AOB为钝角三角形,故C错误;对于D,由B,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-4m2+4m2+1=1,则由抛物线定义:2|AF|+|BF|=2(x1+1)+x2+1=2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)是偶函数,当x>32时,f(x)=ln(2x-3),则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为-2解析因为f(x+1)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2-x)=f(x),当x<12时,2-x>32,所以f(2-x)=ln[2(2-x)-3]=ln(1-2x),则f(x)=ln(1-2x),此时f'(x)=-21-2x,f'(0)=-2,即曲线y=f(x)在点(0,f(0))13.(2025·蚌埠二模)键线式可以简洁直观地描述有机物的结构,在有机化学中极其重要.有机物萘可以用左图所示的键线式表示,其结构简式可以抽象为右图所示的图形.已知六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形,且AB=4,点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界),则AB·AM的取值范围是[16,48].解析如图,过点M作直线AB的垂线,垂足为M1,则AB·M1M=0,AM=AM1+M1M,所以AB·AM=AB·AM1,当点M与点H重合时,AB·AM取最小值,(AB·AM)min=4×4=16,当点M与点E重合时,AB·AM取最大值(AB·AM)max=4×12=48,所以AB·AM14.圆柱O1O2的轴截面是正方形,O1,O2分别是上、下底面的圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,若圆柱O1O2的侧面积为16π,则圆柱O1O2内切球的表面积是16π;点B到直线AO1距离的最大值为

855解析设圆柱O1O2的底面半径为r,所以母线为2r,因为圆柱O1O2的侧面积为16π,所以2πr·2r=16π⇒r=2.所以母线为4,所以圆柱O1O2内切球的半径为2,所以圆柱O1O2内切球的表面积是4π·22=16π.建立如图所示的空间直角坐标系,O1(0,0,4),B(0,2,0),C(0,2,4),设A(2cosθ,2sinθ,0),sinθ≠1,AO1=(-2cosθ,-2sinθ,4),BC=(0,0,4),设a=AB=(-2cosθ,2-2sinθ,0),直线AO1的单位方向向量为u=AO1AO1=14cos2θ+4sin2θ+16(-2cosθ,-2sinθ,4)=55(-cosθ,-sinθ,2),所以点B到直线AO1的距离为d=a2-(a·u)2=4cos2θ+4-8sinθ+4sin小题标准测5“8+3+3”73分测一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z+2i=zi,则|z|=(C)A.5 B.55 C.2 D.解析因为(1-i)z=-2i,所以z=-2i1-i=1-i,故|z|=22.若集合A={-1,0,1,2},B={x|log2(2-x)≤1},则A∩B=(B)A.{-1,1} B.{0,1}C.{1,2} D.{-1,2}解析解法一:由题得B={x|log2(2-x)≤1}={x|0≤x<2},所以A∩B={0,1}.解法二:当x=-1时,log2(2-x)=log23>1,所以-1∉(A∩B),排除A,D;易知2∉B,所以2∉(A∩B),排除C.故选B.3.(2025·邯郸模拟)已知tanθ+π4=-23,则sinθcos2θsinθ-cosθA.-1310 B.-1013 C.1解析由tanθ+π4=tanθ+11-tanθ=-23,解得tanθ=-5,故sinθcos2θsinθ-cosθ=sinθ(cos2θ-sin2θ)sinθ-cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)(cosθ-sinθ)sinθ-cosθ=-sinθ(cos4.某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力,设计了一种活性炭污水净化装置.现污水中该种污染物含量为W0(单位:mg/L),测得污水通过长度为l(单位:m)的净化装置后污染物的含量W如下表:l0123WW00.5W00.25W00.125W0研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是(D)A.W=W0+0.5l B.W=W0·log0.5(l+1)C.W=0.5W0l D.W=W0·(0.5)l解析由图表中数据可知函数模型满足:第一,定义域为[0,3];第二,在定义域单调递减且单位减少率变慢;第三,函数图象过(0,W0).函数W=0.5W0l和W=W0·log0.5(l+1)图象不过(0,W0),不符合条件,故BC错误;函数W=W0+0.5l单调递增,故A错误;D选项:W=W0·(0.5)l满足上述条件,故D正确.5.已知某圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=2r1,若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积为(C)A.28π3 B.40π3 C.56π3解析如图①,设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处,设球O与母线AB切于M点,所以OM⊥AB,所以OM=OO1=OO2=2,所以△AOO1与△AOM全等,所以AM=r1,同理BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1,如图②,过A作AG⊥BO2,垂足为G,则BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,所以AG2=AB2-BG2,所以16=3r1)2-r12=8r12,所以r1=2,所以r2=22,所以该圆台的体积为13(2①②6.(2025·湖北一模)已知数列{an}为等比数列,a5=2,若{an}的前9项和为125,则数列1an的前9项和为A.512 B.125 C.53解析记数列{an}的公比为q且q≠1,则S9=a1(1-q9)1-q=125,故1-q91-q=125·1a1,所以1a9,1a8,…,1a1的公比也为q,则1an前7.(2025·黑龙江二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C交于A,B两点,若|AF1|=3|BF1|,且∠F2AB=π3A.13 B.12 C.22解析设|BF1|=t,由|AF1|=3|BF1|,得|AF1|=3t,由椭圆定义可知|AF2|=2a-3t,|BF2|=2a-t,因为∠F2AB=π3,所以在△ABF2中,由余弦定理得(2a-t)2=(4t)2+(2a-3t)2-2·4t·(2a-3t)·cosπ3,解得t=4a9或t=0(舍去),所以在△F1AF2中,|AF1|=4a3,|AF2|=2a3,|F1F2|=2c,所以(2c)2=4a32+2a32-2·4a3·2a3·cosπ3,解得8.(2025·湖北九校联盟联考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,设g(x)=f'(x),h(x)=g'(x),且g(0)>0,若g(xy+1)=g(x+1)g(y+1),h(2)=4g(2),则下列结论错误的是(B)A.g(1)=0 B.f(1)=0C.h(1)=0 D.i=-20232025h(i)解析令x=1,y=-1,可得g(0)=g(2)g(0),因为g(0)>0,则g(2)=1,h(2)=4,令x=0,则g(1)=g(1)g(y+1),所以g(1)=0或g(y+1)=1,若g(y+1)=1,则h(y+1)=0,与h(2)=4矛盾,故g(1)=0,A对;令x=-1,y=-1,得g(2)=g(0)g(0)=1,则g(0)=1,令y=-1,得g(1-x)=g(0)g(1+x),即g(1-x)=g(1+x),即函数g(x)的图象关于直线x=1对称,在等式g(1-x)=g(1+x)两边求导得-g'(1-x)=g'(1+x),即h(1+x)=-h(1-x),所以函数h(x)的图象关于点(1,0)对称,因为g(1+x)=g(1-x),即f'(1+x)=f'(1-x),可得出f(1+x)=-f(1-x)+c(c为常数),无法判断f(x)的图象是否关于点(1,0)对称,B错C对;因为函数h(x)的图象关于点(1,0)对称,所以h(0)+h(2)=h(-1)+h(3)=h(-2)+h(4)=…=h(-2023)+h(2025)=0,因此,i=-20232025h(i)=0,D对二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在一次考试后的数学成绩分析中,分别采用简单随机抽样的方式抽取A班的一组数据:a1,a2,a3,a4,a5,a6和B班的一组数据:b1,b2,b3,b4进行分析.经计算,两组数据的平均数分别为a=90,b=80,方差分别为sa2=36,sb2=16.将两组数据合并为一组数据c1,c2,c3,…,c9,c10,A.平均数为85 B.平均数为86C.方差为28 D.方差为52解析c=6a+4b10=540+32010=86,sc2=610[sa2+(90-86)2]+410.(2025·南宁模拟)已知函数f(x)=13x3+ax2+3x-1,则下列结论正确的是(ABD)A.当a=2时,函数y=f(x)只有一个零点B.若函数f(x)的对称中心为1,43,则C.若函数f(x)在12,3上为减函数,则D.当a=-2时,设f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,曲线f(x)在点(x1,0),(x2,0),(x3,0)处的切线斜率分别记为k1,k2,k3,则1k1+1k解析对于A,a=2时,f(x)=13x3+2x2+3x-1⇒f'(x)=(x+3)(x+1),令f'(x)>0⇒x∈(-∞,-3)∪(-1,+∞),令f'(x)<0⇒x∈(-3,-1),即y=f(x)在(-∞,-3),(-1,+∞)上单调递增,在(-3,-1)上单调递减,则y=f(x)的极大值为f(-3)=-1<0,极小值f(-1)=-2-13<0,又f(1)=13+4>0,即函数y=f(x)只有一个零点,在区间(-1,1)内,故A正确;对于B,若函数f(x)的对称中心为1,43,则有f(x+1)+f(1-x)=13(x+1)3+a(x+1)2+3(x+1)-1+13(1-x)3+a(1-x)2+3(1-x)-1=83,即(2+2a)x2+143+2a=83,所以a=-1,故B正确;对于C,可知f'(x)=x2+2ax+3,若函数f(x)在12,3上为减函数,则有x2+2ax+3≤0在12,3上恒成立,分离参数得3x+x≤-2a在12,3上恒成立,结合对勾函数的性质可知:3x+xmax=132,故a≤-134,故C错误;对于D,当a=-2时,f(x)=13x3-2x2+3x-1⇒f'(x)=(x-3)(x-1),令f'(x)>0⇒x∈(-∞,1)∪(3,+∞),令f'(x)<0⇒x∈(1,3),即y=f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减,则y=f(x)的极大值为f(1)=13>0,极小值f(3)=-1<0,又f(0)=-1<0,f(4)=13>0,即函数y=f(x)有三个零点,分别在区间(0,1),(1,3),(3,4)内,则有f(x)=13(x-x1)(x-x2)(x-x3),故f'(x)=13[(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-x2)],所以f'(x1)=13(x1-x2)(x1-x3),f'(x2)=13(x2-x1)(x2-x3),f'(x3)=13(x311.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,A,B是抛物线上两动点,且|AF|的最小值为1,M是线段AB的中点,P(2,3)是平面内一定点,则(ACD)A.p=2B.若|AF|+|BF|=8,则M到x轴的距离为4C.若AF=2FB,则|AB|=9D.|AP|+|AF|的最小值为4解析抛物线x2=2py(p>0)上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1,则有p2=1,解得p=2,A正确;抛物线的方程为x2=4y,焦点F(0,1),准线l:y=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),对于B,点Mx1+x22,y1+y22,由抛物线的定义知,|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8,有y1+y2=6,所以M到x轴的距离y1+y22=3,B不正确;对于C,AF=(-x1,1-y1),FB=(x2,y2-1),由AF=2FB得:1-y1=2(y2-1),即y1+2y2=3,又|AF|=2|FB|,即y1+1=2(y2+1),则y1-2y2=1,解得y1=2,y2=12,于是得|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=92,C正确;对于D,抛物线x2=4y中,当x=2时,y=1<3,因此点P(2,3)在抛物线x2=4y上方,过点P作PP'⊥l于P',交抛物线于点Q,连接QF,过A作AA'⊥l于A',连AF,AP,PA',如图,显然|AP|+|AF|=|AP|+|AA'|≥|PA'|≥|PP'|=|PQ|+|QP'|=|PQ|+|QF|,当且仅当点A与Q重合时取等号,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2025·广东一模)已知θ是第三象限角,则曲线C:4x2+y2cosθ=4cosθ的离心率的取值范围为

1,52.(解析因为θ是第三象限角,则-1<cosθ<0,曲线C的方程可化为x2cosθ+y24=1,曲线C为双曲线,且a2=4,b2=-cosθ,所以双曲线C的离心率为e=ca=1+13.如图所示,制作某回旋飞梭的飞行翅膀时,需从一个直角三角形的塑料板上裁去一个以其斜边为一边且对角为150°的三角形(图中的阴影部分)再加工而成.为游戏者安全考虑,具体制作尺寸为∠ABC=90°,∠BPC=120°,AC=2BC=23,则tan(∠PAB+60°)=53.解析由题意可得,AB=AC2-BC2=3.又∠APC=150°,∠BPC=120°,所以∠APB=90°.设∠PAB=θ,则AP=3cosθ.因为∠PAB+∠ABP=90°,且∠ABP+∠PBC=90°,所以∠PBC=∠PAB=θ.又∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=60°,且∠ACP+∠PCB=60°,所以∠ACP=∠PBC=θ.在△ACP中,由正弦定理可得APsin∠ACP=ACsin∠APC,即3cosθsinθ=23sin150°,解得tanθ=34.故tan(14.2025年春晚,一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作,机器人从原点O出发,每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位,共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点M(-1,0)位置的条件下,水平方向移动2次的概率为

817解析设事件A=“有且仅有一次经过M(-1,0)”,事件B=“水平方向移动2次”,按到M(-1,0)位置需要1步,3步分类讨论.记L=向左,R=向右,U=向上,D=向下,(1)若1步到位为事件A1,则满足要求的是LU(L或U或R),LL(L或U或D),LD(L或R或D),LR(U或D或R),所以P(A1)=4×3×143=1264=316;(2)若3步到位为事件A2,则满足要求的是ULD,DLU,RLL,UDL,DUL,所以P(A2)=5×143=564;所以P(A)=P(A1)+P(A2)=1764,满足AB的情况有:LU(L或R),LD(L或R),LL(U或D),LR(U或D).所以P(AB)=864=18,所以P小题标准测6“8+3+3”73分测一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2025·八省八校联考)已知集合P={x|y=ln(1-2x)},Q=y|y=1-ex2,则P∩QA.-∞,12 C.0,12解析对于集合P,由1-2x>0,得x<12,所以P=-∞,12,对于集合Q,由ex>0,得1-ex2<12,所以Q=-∞,12.已知复数z1,z2在复平面内所对应的点分别为(1,-3),(-2,5),则z2z1+1A.22 B.1 C.2 解析由复数的几何意义可得z1=1-3i,z2=-2+5i,所以z2z1+1=-2+5i1-3i+1=3.已知等差数列{an}的公差d=1,且a3,a5+1,2a6成等比数列,则数列{(-1)n+1an}的前2025项和为(D)A.-1013 B.-505 C.505 D.1013解析设首项为a1,因为a3,a5+1,2a6成等比数列,所以(a5+1)2=a3×2a6,则(a1+5)2=(a1+2)×2(a1+5),解得a1=1或a1=-5,当a1=-5时,a6=0,此时与a3,a5+1,2a6成等比数列矛盾,故排除,当a1=1时,an=1+n-1=n,此时令bn=(-1)n+1an=(-1)n+1n,而其前2025项和为1-2+3-4+…-2024+2025=(1-2)+(3-4)+…+(2023-2024)+2025=1012×(-1)+2025=1013.4.(2025·兰州一模)若函数y=ex+e-x2的一条切线与x轴平行A.(1,0) B.(0,1) C.(1,1) D.(1,e)解析设切点坐标为(x0,y0),函数y=ex+e-x2,所以y'=ex-e-x2,因为切线与x轴平行,所以y'|x=x0=ex0-e-x02=05.(2025·哈尔滨一模)已知一个圆锥的母线长为3,则当其体积最大时,该圆锥的内切球半径为(A)A.6-2 B.1C.3-2 D.1解析设圆锥的底面半径为r,高为h,则h2+r2=3,则V=f(h)=13πr2h=-π3h3+πh,h∈(0,3),则f'(h)=π(1-h)(1+h),当0<h<1时,f'(h)>0,当1<h<3时,f'(h)<0,所以f(h)在(0,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以当圆锥体积取得最大值时,h=1,r=2,设圆锥内切球的半径为R,则由轴截面面积可得12·2rh=12(2r+23)R,解得R6.在(x2+x+y)6的展开式中,x7y的系数为(C)A.3 B.6 C.60 D.30解析根据二项式定理,可得[(x2+x)+y]6展开式的通项为Tr+1=C6r(x2+x)6-ryr(r=0,1,2,…,6).要求x7y的系数,则y的次